植樹問題公式.docx

精品文檔植樹問題公式 單邊植樹（兩端都植） ：距離間隔長 +1=棵數(shù) 單邊植樹（只植一端） ：距離間隔長=棵數(shù) 單邊植樹（兩端都不植） ：距離間隔長 1=棵數(shù) 雙邊植樹（兩端都植）：（ 距離間隔長+1）2=棵數(shù) 雙邊植樹（只植一端）：（ 距離間隔長）2=棵數(shù) 雙邊植樹（兩端都不植）：（ 距離間隔長-1）2=棵數(shù) 循環(huán)植樹： 距離間隔數(shù)=棵數(shù) 解釋：1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形: 1 在非封閉線路的兩端都要植樹,那么: 株數(shù)=段數(shù)+1=全長株距+1 全長=株距(株數(shù)1) 株距=全長(株數(shù)1) 2 在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么: 株數(shù)=段數(shù)=全長株距 全長=株距株數(shù) 株距=全長株數(shù) 3 在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么: 株數(shù)=段數(shù)1=全長株距1 全長=株距(株數(shù)+1) 株距=全長(株數(shù)+1) 2 封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下 株數(shù)=段數(shù)=全長株距 全長=株距株數(shù) 株距=全長株數(shù) 3、如果植樹路線的兩邊與兩端都植樹，那么植樹的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1，再乘二，即：棵樹=（段數(shù)+1）2。 二、在封閉線路上植樹，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=間隔數(shù)。 三、在正方形線路上植樹，如果每個(gè)頂點(diǎn)都要植樹。則棵數(shù)=（每邊的棵數(shù)1）邊數(shù)。 例1 長方形場地：一個(gè)長84米，寬54米的長方形蘋果園中，蘋果樹的株距是2米，行距是3米這個(gè)蘋果園共種蘋果樹多少棵？ 解： 解法一： 一行能種多少棵？842=42(棵)| 這塊地能種蘋果樹多少行？543=18(行) 這塊地共種蘋果樹多少棵？4218=756(棵) 如果株距、行距的方向互換，結(jié)果相同： (843)(542)=2827=756(棵) 解法二： 這塊地的面積是多少平方米呢？ 8454=4536(平方米) 一棵蘋果樹占地多少平方米呢？ 23=6(平方米) 這塊地能種蘋果樹多少棵呢？ 45366=756(棵) 當(dāng)長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時(shí)，可用上述兩種方法中的任意一種來解；當(dāng)長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時(shí)，就只能用第二種解法來解 但有些問題從表面上看，并沒有出現(xiàn)“植樹”二字，但題目實(shí)質(zhì)上是反映封閉線段或不封閉線段長度、分隔點(diǎn)、每段長度三者之間的關(guān)系。鋸木頭問題就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹問題。所鋸的段數(shù)總比鋸的次數(shù)多一。上樓梯問題，就是把每上一層樓梯所需的時(shí)間看成一個(gè)時(shí)間間隔，那么： 上樓所需總時(shí)間 =（終點(diǎn)層起始層）每層所需時(shí)間。而方陣隊(duì)列問題，看似與植樹問題毫不相干，實(shí)質(zhì)上都是植樹問題 例2 直線場地：在一條公路的兩旁植樹，每隔3米植一棵，植到頭還剩3棵；每隔2.5米植一棵，植到頭還缺少37棵，求這條公路的長度。 解法一：（代數(shù)解法） 設(shè)一共有x棵樹 【（x-3）/2-1】X3=【（x+37）/2-1】X2.5 x=205 公路長:【（205-3）/2-1】X3=300 得:公路長度為300米 解法二：（算術(shù)解法） 這道題可以用解盈虧問題的思路來考慮：首先，我們?cè)趦蛇吰瘘c(diǎn)處各栽下一棵樹，這兩棵樹與路長沒有關(guān)系，以后每栽下一棵樹，不論栽在哪一側(cè)，植樹的路線（不是路）就增加一個(gè)間距，為了簡單起見，我們按單側(cè)植樹來考慮。當(dāng)按3米的間距植樹時(shí)，最后剩下3棵，也就是說植樹的路線要比路長出3個(gè)間距，33=9米，當(dāng)按2.5米的間距植樹時(shí)，最后還缺37棵樹，也就是說植樹的路線比路短了37個(gè)間距，2.537=92.5米，兩次相差9+92.5=101.5米，兩次植樹的間距相差是32.5=0.5米，據(jù)此可以求出樹的棵數(shù)：（不包括起點(diǎn)的2棵） 101.50.5=203（個(gè)） 知道了樹的棵數(shù)，就可以求出植樹路線的長度了： 3（2033）=600（米） 或2.5（203+37）=600（米） 因?yàn)槭请p側(cè)植樹，所以路長為： 6002=300（米） 綜合算式為： 3 （33+2.537）（32.5）3 2=300（米） 或2.5 （33+2.537）（32.5）+37 2=300（米） 答：（略）例3 圓形場地（難題）：有一個(gè)圓形花壇，繞它走一圈是120米。如果在花壇周圍每隔6米栽一株丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花?？稍远∠慊ǘ嗌僦?？可栽月季花多少株？每2株緊相鄰的月季花相距多少米 解： 解：根據(jù)棵數(shù)=全長間隔可求出栽丁香花的株數(shù)： 1206=20 （株） 由于是在每相鄰的2株丁香花之間栽2株月季花，丁香花的株數(shù)與丁香花之間的間隔數(shù)相等，因此，可栽月季花： 220=40（株） 由于2株丁香花之間的2株月季花是緊相鄰的，而2株丁香花之間的距離被2株月季花分為3等份，因此緊相鄰2株月季花之間距離為： 63=2（米） 答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株緊相鄰月季花之間相距2米。 例4 例4 在圓形水池邊植樹，把樹植在距離岸邊均為3米的圓周上，按弧長計(jì)算，每隔2米植一棵樹，共植了314棵。水池的周長是多少米？（適于六年級(jí)程度） 解：先求出植樹線路的長。植樹線路是一個(gè)圓的周長，這個(gè)圓的周長是： 2314=628（米） 這個(gè)圓的直徑是： 6283.14=200（米） 由于樹是植在距離岸邊均為3米的圓周上，所以圓形水池的直徑是： 200-32=194（米） 圓形水池的周長是： 1943.14=609.16（米） 綜合算式： （23143.14-32）3.14 =（200-6）3.14 =1943.14 =609.16（米）例5 小明家門前有一條10米長的水溝，在溝的一側(cè)每隔2米栽一棵樹，一共可栽幾棵？（兩端都植樹） 按常規(guī)解法，答案應(yīng)該是6（102+1）棵，同理，如果小光家門前也有一段10米長的水溝，同樣可以栽6棵，也就是兩家一共可以栽12棵，這并看不出有什么不妥。但是，當(dāng)小明與小光家是鄰居時(shí)，我們?cè)儆?jì)算一下：兩家的水溝總長是20米，202+1=11(棵)，也就是兩家一共可以栽11棵樹，結(jié)果比上次計(jì)算少了一棵（本人稱之為“鄰里沖突”），這是因?yàn)樵诙它c(diǎn)處有兩棵樹“重合”了，這兩棵樹的間距為0，與題中要求間距2米不符，因此，可以看出兩端植樹是不妥當(dāng)?shù)摹５绻麅啥硕疾恢矘?，又?huì)出現(xiàn)公共點(diǎn)沒有樹鄰近的兩棵樹間距4米的情況，仍與題意不符。那么一端植樹又會(huì)怎樣呢？這種要求是無法實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)楫?dāng)一方在與鄰家相接的端點(diǎn)上植上樹后，就會(huì)使鄰家地段兩端都有樹存在，還是不合題意。因此，要求在端點(diǎn)上植樹（或不植樹）都會(huì)出現(xiàn)矛盾，這樣的計(jì)算方法也不能正確的反映出各個(gè)數(shù)量間的關(guān)系。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，出題者固然可以任意給定條件，但用不同的計(jì)算方法得出的結(jié)果應(yīng)該是相同的，當(dāng)計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)矛盾時(shí)，應(yīng)該找出問題的原因所在，不能簡單的用“兩樹重合”來解釋解釋。 再按照“棵樹=段數(shù)”的方法計(jì)算一下： 小明家可栽樹：102=5（棵） 小光家可栽樹：102=5（棵） 兩家一共可栽樹10棵。 當(dāng)兩家是鄰居時(shí)，可栽樹：（10+10）2=10(棵) 兩次計(jì)算結(jié)果相同，因此可以說這種計(jì)算方法才能正確的反映出各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。 為什么說常規(guī)的解法不夠正確呢？那是因?yàn)樵诔Ｒ?guī)解法中，只考慮了植樹路段為一家獨(dú)有的情況，多栽或少栽一棵都不會(huì)出現(xiàn)“爭議”，也就無法判定栽法是否妥當(dāng)。然而當(dāng)植樹路段為多家共有時(shí)就會(huì)出現(xiàn)一方或雙方將樹栽到了公共端點(diǎn)上的情況，從理論上講這是不正確的。相對(duì)于“路邊加一”，“樓間減一”也無道理，因?yàn)橥耆梢园础伴g距2米”栽下5棵