多元正態(tài)分布

第一章多元正態(tài)分布及其參數(shù)估計(jì),多元正態(tài)分布的重要性：（1）多元統(tǒng)計(jì)分析中很多重要的理論和方法都是直接或間接地建立在正態(tài)分布基礎(chǔ)上的，許多統(tǒng)計(jì)量的極限分布往往和正態(tài)分布有關(guān)。（2）許多實(shí)際問(wèn)題涉及的隨機(jī)向量服從多元正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布。因此多元正態(tài)分布是多元統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)。,一、多元正態(tài)分布的定義定義1：若p維隨機(jī)向量的密度函數(shù)為：其中，是p維向量是p階正定矩陣，則稱X服從p維正態(tài)分布，記為,定義2：獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的有限線性組合,稱為m維正態(tài)隨機(jī)變量，記為其中但是的分解一般不是唯一的。定義3：若隨機(jī)向量X的特征函數(shù)為：其中t為實(shí)向量，則稱X服從p元正態(tài)分布。特征函數(shù)定義的優(yōu)點(diǎn)在于可以包含的情況。,二元正態(tài)分布曲面(11=1,22=1,12=0),二元正態(tài)分布曲面(11=2,22=4,12=0.75),二、多元正態(tài)分布的性質(zhì)性質(zhì)1：若，是對(duì)角矩陣，則相互獨(dú)立。性質(zhì)2：若則,性質(zhì)3：若，將作剖分：則,特別地，二元正態(tài)分布：,的邊緣密度函數(shù)為：,當(dāng)時(shí)X1與X2不相關(guān)，對(duì)于正態(tài)分布來(lái)說(shuō)不相關(guān)和獨(dú)立等價(jià)。因?yàn)椋?為X1和X2的相關(guān)系數(shù)。,三、正態(tài)分布數(shù)據(jù)的變換,若一批多元數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)分布時(shí)，一般要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)變換。一般來(lái)說(shuō)常采用冪變換，如果想使值變小可以采用變換：,如果想使值變大，則采用變換：,不管使用哪種冪變換，還應(yīng)該對(duì)變換后的數(shù)據(jù)的正態(tài)性做檢驗(yàn)（如Q-Q圖方法）,2多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)一、多元樣本及其樣本數(shù)字特征多元樣本記,2、多元樣本的數(shù)字特征樣本均值,樣本離差陣,樣本協(xié)方差矩陣或,二、多元正態(tài)總體的最大似然估計(jì)及其性質(zhì)利用最大似然法求出和的最大似然估計(jì)為：,求解過(guò)程似然函數(shù)為：,對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：,（引理：設(shè)A為p階正定矩陣，則當(dāng)A=I等號(hào)成立。,最大似然估計(jì)的性質(zhì)，即是的無(wú)偏估計(jì)。，即不是的無(wú)偏估計(jì)。，即是無(wú)偏估計(jì)。分別是的最小方差無(wú)偏估量。3.分別是的一致估計(jì)。,維斯特（Wishart）分布-一元分布的推廣,定義：設(shè)個(gè)隨機(jī)向量獨(dú)立同分布于，則隨機(jī)矩陣服從自由度為n的非中心維斯特分布，記為,三、正態(tài)總體下的抽樣分布,隨機(jī)矩陣的分布：,將該矩陣的列向量（或行向量）連接起來(lái)組成的長(zhǎng)向量稱為拉直向量，拉直向量的分布定義為該矩陣的分布，如果是對(duì)稱矩陣則只取其下三角的部分拉直即可。,性質(zhì)：,（1）若W1和W2獨(dú)立，其分布分別和，則分布為，即維斯特(Wishart)分布有可加性。,（2），C為mp階的矩陣，則的分布為分布。,定理：設(shè)分別是來(lái)自正態(tài)總體的樣本均值和離差陣，則(1)(2)相互獨(dú)立。S為正定矩陣的充分必要條件是np。,11,一元正態(tài)總體：,為來(lái)自一元正態(tài)總體的一組樣本,定理：,證明：構(gòu)造正交矩陣,做變換,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),HotellingT2分布一元t分布的推廣,定義設(shè)，且X與S相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量的分布為非中心的HotellingT分布，記為，當(dāng)時(shí)稱為中心的HotellingT2分布。記為,一元t分布：,設(shè)總體是一組樣本,則統(tǒng)計(jì)量,其中,與類似,并且,基本性質(zhì):,定理：設(shè)且X與S相互獨(dú)立，令,則,一、多元正態(tài)總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn),1.單個(gè)正態(tài)總體,(1)協(xié)方差矩陣已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,設(shè)水平為，查表確定，使得,（當(dāng)H0成立時(shí)）,拒絕域?yàn)椋?當(dāng)原假設(shè)成立時(shí),(2)協(xié)方差矩陣未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域?yàn)椋?2.協(xié)方差陣相等時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn),3.協(xié)方差陣不相等時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn),一元方差分析,一、方差分析的概念及有關(guān)術(shù)語(yǔ)方差分析研究的是分類型自變量對(duì)數(shù)值型因變量的影響，包括它們之間有沒(méi)有關(guān)系、關(guān)系的強(qiáng)度如何等，所采用的方法就是檢驗(yàn)各個(gè)總體的均值是否相等來(lái)判斷分類型自變量對(duì)數(shù)值型因變量是否有顯著影響。,例子：為了對(duì)幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，消費(fèi)者協(xié)會(huì)在零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。每個(gè)行業(yè)中所抽取的樣本在服務(wù)對(duì)象、服務(wù)內(nèi)容、企業(yè)規(guī)模等基本上是相同的，統(tǒng)計(jì)出消費(fèi)者對(duì)23家企業(yè)的投訴次數(shù)，現(xiàn)判斷幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量是否有差別。投訴次數(shù)如下表：,4.多個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)（多元方差分析）,要分析4個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異，實(shí)際上就是判斷“行業(yè)”對(duì)投訴次數(shù)是否有顯著影響，做出這種判斷最終歸結(jié)為檢驗(yàn)4個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等。如果相等則認(rèn)為行業(yè)因素對(duì)投訴次數(shù)是沒(méi)有影響的，如果均值不全相等，則意味著行業(yè)因素對(duì)服務(wù)質(zhì)量有影響。方差分析主要用來(lái)對(duì)多個(gè)總體均值是否相等作出假設(shè)檢驗(yàn)。,相關(guān)術(shù)語(yǔ),因素（因子）：在方差分析中，所要檢驗(yàn)的對(duì)象稱為因素或因子。例子中的“行業(yè)”水平：因素中的不同表現(xiàn)成為水平。例子中的零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)是“行業(yè)”因素的具體表現(xiàn)，即水平。,單因素方差分析：只針對(duì)一個(gè)因素進(jìn)行分析；多因素方差分析：同時(shí)針對(duì)多個(gè)因素進(jìn)行分析。,（1）每個(gè)總體的相應(yīng)變量（因素的各個(gè)水平）服從正態(tài)分布。也就是說(shuō)，對(duì)于因素的每個(gè)水平，其觀測(cè)值是來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本上例中每個(gè)行業(yè)的投訴次數(shù)應(yīng)服從正態(tài)分布。（2）所有總體的方差相等2。也就是說(shuō)，各組觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自相同方差的正態(tài)總體。上例中4個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的方差相同。（3）不同觀察值相互獨(dú)立。（每個(gè)樣本點(diǎn)的取值不影響其他樣本點(diǎn)的取值）上例中，每個(gè)企業(yè)被投訴的次數(shù)與其他企業(yè)被投訴的次數(shù)是相互獨(dú)立的。,方差分析的三個(gè)基本假定,問(wèn)題的一般提法,設(shè)因素有k個(gè)水平，每個(gè)水平的均值分別為，要檢驗(yàn)k個(gè)水平（總體）的均值是否相等，提出如下假設(shè)：,與原來(lái)兩兩總體的假設(shè)檢驗(yàn)方法相比，方差分析不僅可以提高檢驗(yàn)的效率，同時(shí)由于它是將所有的樣本信息結(jié)合在一起，因此增加了分析的可靠性。，上例中如果用一般的假設(shè)檢驗(yàn)方法，需要兩兩組合作6次檢驗(yàn)。,某因素不同水平的影響（系統(tǒng)性影響）,其他隨機(jī)因素的影響（隨機(jī)性影響）,水平間方差（組間方差）,某因素不同水平的影響（系統(tǒng)性影響）,方差分析的思想：,組內(nèi)離差平方和：衡量因素的同一水平下（同一總體）樣本數(shù)據(jù)的誤差。（隨機(jī)誤差）組間離差平方和：衡量因素的不同水平下（不同總體）樣本數(shù)據(jù)的誤差。（系統(tǒng)性誤差）總的離差平方和：組內(nèi)+組間,如果原假設(shè)成立：說(shuō)明某因素不同水平的影響不顯著（無(wú)系統(tǒng)性影響），只剩下隨機(jī)性影響，因此組間方差與組內(nèi)方差差別不大，它們的比接近于1。如果原假設(shè)不成立：說(shuō)明某因素不同水平的影響顯著（存在系統(tǒng)性影響），組間方差與組內(nèi)方差差別較大，它們的比遠(yuǎn)超出1構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：,一、單因素方差分析（一）離差平方和的計(jì)算方差分析需考察某因素的影響是否具有系統(tǒng)性，因此，需要將樣本總體離差分解為兩部分：（1）反映系統(tǒng)性影響（因素水平影響）的組間離差（2）反映隨機(jī)性影響（其他隨機(jī)因素影響）的組內(nèi)離差。,為全體樣本合并的大樣本的樣本均值,為第j個(gè)總體的樣本均值,xij=第j個(gè)子樣本中第i個(gè)觀測(cè)值；nj=第j個(gè)子樣本的樣本容量,其中，n=n1+n2+nkk為總體的個(gè)數(shù),于是，大樣本的總離差平方和(SumofSquaresforTotal，SST)為：,設(shè),可以證明：,第一項(xiàng)是各子樣本均值與合并的大樣本的公共均值的離差平方和，它反映了因素（變量）不同水平對(duì)總離差平方和的影響（系統(tǒng)性影響），稱為組間離差平方和（SumofSquaresforFactorA,SSA)；第二項(xiàng)是各子樣本內(nèi)部離差平方和之和，反映了隨機(jī)性因素的影響(誤差性影響），稱為組內(nèi)離差平方和(SumofSquaresforError，SSE）。,各誤差平方和的大小與觀測(cè)值的多少有關(guān)，為了消除觀測(cè)值多少對(duì)誤差平方和大小的影響，用各個(gè)平方和除以自由度即得到平均平方(MeanSquare)：,即SST=SSA+SSE總離差平方和=組間離差平方和+組內(nèi)離差平方和,構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量：,原假設(shè)成立,根據(jù)給定的顯著性水平，查表得到拒絕域：,上例中，經(jīng)計(jì)算,說(shuō)明不同行業(yè)被投訴次數(shù)的均值有顯著差異，這意味著行業(yè)（自變量）與投訴次數(shù)（因變量）之間的關(guān)系是顯著的。,關(guān)系強(qiáng)度的測(cè)量,上述F統(tǒng)計(jì)量只能表明自變量和因變量之間是否有關(guān)系，不能表明關(guān)系的強(qiáng)弱，為了度量相關(guān)強(qiáng)度定義判定系數(shù)：,R2越大說(shuō)明關(guān)系越強(qiáng)，越小關(guān)系越弱。類似于相關(guān)系數(shù)。,上例中，R2=0.349759。這表明行業(yè)對(duì)投訴次數(shù)的影響效應(yīng)占總效應(yīng)的34.9759%，而殘差效應(yīng)則占65.0241%。,方差分析中的多重比較,上面的分析得出的結(jié)論是不同行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是不全相同的，但是究竟哪些均值不相等呢，也就是這種差異究竟出現(xiàn)在哪些行業(yè)之間呢？則需要對(duì)總體均值進(jìn)行兩兩比較。多重比較的方法有很多，我們簡(jiǎn)單介紹一下由Fisher提出的最小顯著差異方法（LSD方法）。檢驗(yàn)步驟為：,第一步：提出原假設(shè)：,第二步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：,第三步：計(jì)算LSD，公式為：,第四步：根據(jù)顯著性水平做出決策：如果則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。,例：對(duì)4個(gè)行業(yè)的均值作多重比較,第一步：提出假設(shè),第二步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,第三步：計(jì)算LSD,第四步：做出決策,不能拒絕原假設(shè)，說(shuō)明零售業(yè)和旅游業(yè)之間的投訴次數(shù)沒(méi)有顯著差異。,.,雙因素方差分析,單因素方差分析只是考慮一個(gè)分類型自變量對(duì)數(shù)值型因變量的影響。如果同時(shí)需考慮兩個(gè)因素A與B的影響，則可進(jìn)行雙因素方差分析。,例：分析影響彩電銷售量的因素，需要考察品牌、銷售地區(qū)等因素的影響?，F(xiàn)有4種品牌的彩電在5各地區(qū)進(jìn)行銷售，為分析彩電的“品牌”因素和“地區(qū)”因素對(duì)銷售量是否有影響，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：,在雙因素方差分析中如果兩個(gè)因素，例如“品牌”和“銷售地區(qū)”兩個(gè)因素對(duì)銷售量的影響是相互獨(dú)立的，我們分別判斷兩個(gè)因素對(duì)銷售量的影響，稱為無(wú)交互作用的雙因素方差分析。如果除了兩個(gè)因素的單獨(dú)影響外，兩個(gè)因素的搭配還會(huì)對(duì)銷售量產(chǎn)生新的影響效應(yīng)，稱為有交互作用的雙因素方差分析。,無(wú)交互作用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),無(wú)交互作用的雙因素方差分析,為了檢驗(yàn)兩個(gè)因素的影響，需要分別對(duì)兩個(gè)因素提出假設(shè)。,對(duì)行因素提出的假設(shè)為：,對(duì)列因素提出的假設(shè)為：,地區(qū)對(duì)銷售量沒(méi)有顯著影響,品牌對(duì)銷售量沒(méi)有顯著影響,離差平方和的分解,其中:,可以證明:,分別構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量,關(guān)系強(qiáng)度的測(cè)量,有交互作用的方差分析,例：分別在兩個(gè)路段和高峰期及非高峰期進(jìn)行駕車實(shí)驗(yàn)，得到20個(gè)駕車時(shí)間的數(shù)據(jù)：,Wilks分布,在一元統(tǒng)計(jì)中，方差是刻畫隨機(jī)變量分散程度的一個(gè)重要特征，而在多元情況下方差變?yōu)閰f(xié)防差矩陣。如何用一個(gè)數(shù)量指標(biāo)來(lái)反映協(xié)方差矩陣所體現(xiàn)的分散程度呢？有的用行列式，有的用跡，目前使用較多的是行列式。,定義1：若,定義2：若,的分布為Wilk