2010年數(shù)學(xué)周報(bào)杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及詳細(xì)解答

讓我們?yōu)槿Υ蛟旄拭C名校-華亭縣皇甫學(xué)校而共同努力吧!中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題詳細(xì)解答一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1若，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】 【解析1】由題設(shè)知，于是【解析2】 由題設(shè)知，于是，故選D.2若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C）或 （D） 【答案】C【解析】可以看作是關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以的判別式,即，解得或故的取值范圍是或,故選C.3如圖，在四邊形ABCD中，,，則邊的長(zhǎng)為（ ）（A） （B）（第3題）（C） （D）【答案】【解析1】如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于,交的延長(zhǎng)線(xiàn)于;過(guò)點(diǎn) 作于; 過(guò)點(diǎn)作于, 四邊形為矩形，,在中，, ,（第3題）答案圖1,在中，【解析2】如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，（第3題）答案圖2，在中，,又，, 于是在中，根據(jù)勾股定4在一列數(shù)中，已知，（）,（取整符號(hào)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】B【解析】由和可得，歸納可得 ，（為自然數(shù)），因2010=4502+2，故=25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P4，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2， 則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是（ ） （A）（2010，2） （B）（2010，） （第5題）（C）（2012，） （D）（0，2）【答案】B【解析1】由已知得，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為,記，其中,根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系，依次可以求得：，,令，同樣可以求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為（），即，因2010=4502+2，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（2010，）【解析2】由已知得， 歸納可得 （為自然數(shù)）因2010=4502+2，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（2010，）二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6已知，則的值等于 【答案】0【解析】由已知得，于是原式=.7一輛客車(chē)、一輛貨車(chē)和一輛小轎車(chē)在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛在某一時(shí)刻，客車(chē)在前，小轎車(chē)在后，貨車(chē)在客車(chē)與小轎車(chē)的正中間過(guò)了10分鐘，小轎車(chē)追上了貨車(chē)；又過(guò)了5分鐘，小轎車(chē)追上了客車(chē)；再過(guò)t分鐘，貨車(chē)追上了客車(chē)，則t 【答案】15 【解析1】畫(huà)出某一時(shí)刻三輛車(chē)的位置示意圖，如圖所示，設(shè)在某一時(shí)刻，貨車(chē)與客車(chē)、小轎車(chē)的距離均為S千米，小轎車(chē)、貨車(chē)、客車(chē)的速度分別為（千米/分），并設(shè)貨車(chē)經(jīng)x分鐘追上客車(chē)，依題意得 ， ， 由，得，與比較得，x=30，故 （分）【解析2】設(shè)在某一時(shí)刻，客車(chē)在前，小轎車(chē)在后，貨車(chē)在客車(chē)與小轎車(chē)的正中間，客車(chē)與小轎車(chē)間隔為2，則小轎車(chē)與貨車(chē)的速度差為，小轎車(chē)與客車(chē)的速度差為，則貨車(chē)與客車(chē)的速度差為，貨車(chē)追上了客車(chē)需分鐘，所以貨車(chē)追上了客車(chē)，需再過(guò)分鐘8如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式是 （第8題）（第8題）答案圖【答案】【解析】如圖，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)；連接;連接,且相交于點(diǎn)則,由已知得點(diǎn)是的中點(diǎn)，即點(diǎn)為矩形的中心，所以直線(xiàn)把矩形分成面積相等的兩部分又因?yàn)辄c(diǎn)是矩形的中心，所以，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)把矩形分成面積相等的兩部分于是，直線(xiàn)即為所求的直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，則解得 ,故所求直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為（第9題）9如圖，射線(xiàn)，都垂直于線(xiàn)段，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)分別交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為D若,則 【答案】 【解析】如圖，因，所以,即， , 即，解得, 或（舍去）又,而,故=10對(duì)于=2，3，k，正整數(shù)除以所得的余數(shù)為若的最小值滿(mǎn)足，則正整數(shù)的最小值為 【答案】 【解析】因?yàn)闉榈谋稊?shù)，所以的最小值滿(mǎn)足，（其中表示的最小公倍數(shù)）由于，因此滿(mǎn)足的正整數(shù)的最小值為 三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11(A).如圖，拋物線(xiàn)（a0）與雙曲線(xiàn)相交于點(diǎn)A，B. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；（2）過(guò)拋物線(xiàn)上點(diǎn)A作直線(xiàn)ACx軸，交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)C，求所有滿(mǎn)足EOCAOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線(xiàn)上，所以k=4. 故雙曲線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)，所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，則有（第11(A)題） 解得，. 故，于是，直線(xiàn)AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或（舍去）故點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，所以 解得 （10分）（2）由（1）知，因?yàn)檩S且,所以（第11(A)題）答案圖令，得，解得，或，故，于是. 又，所以.設(shè)拋物線(xiàn)與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D， 則點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）.因?yàn)?，所?（i）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到.此時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn),延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，這時(shí)點(diǎn)是符合條件的點(diǎn).（ii）作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圖形，得到點(diǎn)；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，這時(shí)點(diǎn)是符合條件的點(diǎn)故點(diǎn)的坐標(biāo)是，或. （20分）11(B). 設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足：，求的最小值. 解：由已知得,，即，所以，或.（5分）（i）當(dāng)，即時(shí)，于是當(dāng)時(shí)，的最小值為，此時(shí)，.（15分）（ii）當(dāng)，即時(shí)，于是時(shí)，的最小值為，此時(shí)，. 綜上可知，的最小值為.（20分）12(A). 如圖，為銳角三角形，點(diǎn)為邊上的兩點(diǎn)，和的外接圓圓心分別為和,試判斷的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)是否可能在的外接圓上，并說(shuō)明理由.（第12A題）答案圖（第12A題）解：答案是否定的，即的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)不可能在ABC的外接圓上. （5分） 理由如下:如圖，連接,設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，則，所以 ，即, 故.（15分）由于點(diǎn)為邊上的兩點(diǎn)，所以，即因此，點(diǎn)不在的外接圓上（20分）12(B).如圖，ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線(xiàn)段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是ABD和ACD的外接圓直徑，連接EF. 求證：（第12A題） （第12(B)題）答案圖（第12（B）題）（第12B題）證明：如圖，連接. 因?yàn)楹投际侵睆?，所?因此三點(diǎn)共線(xiàn). （5分）連接,則，所以，（10分）過(guò)點(diǎn)作于,則. 由,可得，從而，所以 . （20分）13(A). 實(shí)數(shù)使得關(guān)于的方程組有實(shí)數(shù)解. （1）求證； （2）求的最小值.解: (1)(證法1)由方程知,且 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)). 即(5分)(或書(shū)寫(xiě)如下:)由方程知，且. 所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故. （5分）(證法2)由方程得，此方程可視為關(guān)于的一元二次方程，由于為實(shí)數(shù)，故即.（5分） (2)(解法1) 由方程得，將代入方程，得，即， . 由于方程組有實(shí)數(shù)解，故方程在，或的范圍內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.（i）當(dāng)時(shí)，有，或，故，或，即或.若，即時(shí)，或，由此得，于是 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí).）若即時(shí)，對(duì)于滿(mǎn)足，或的任意實(shí)數(shù)，均有.（15分）（ii）當(dāng)時(shí)， .綜上（i）、（ii）可知，的最小值為.（20分）（解法2：）由方程得，將代入方程，得，即， ， 于是，當(dāng)時(shí)，有最小值，又， 從而，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 故當(dāng)時(shí)，有最小值. (解法3:) 由方程得,將代入得, 即 (i) 當(dāng)，即時(shí)，方程變?yōu)?，由方程知?此時(shí)變?yōu)椋?，若，則由方程得，因，故，由（1）知，從而， ，為不等于0的實(shí)數(shù)， （當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）（10分）(ii)當(dāng)，即時(shí)，方程可視為關(guān)于的一元二次方程.為不等于0的實(shí)數(shù)， （當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)成立，即，時(shí)取等號(hào)） 綜上(i)、(ii)可知，的最小值為.（20分）13(B). 求滿(mǎn)足的所有素?cái)?shù)和正整數(shù). 解：由題設(shè)得，所以，由于是素?cái)?shù)，故，或. （5分） （1）若，令，是正整數(shù)，則又是素?cái)?shù) 從而，于是故,從而. 所以解得 （10分）（2）若，令，是正整數(shù). 當(dāng)時(shí)，有，故，從而或. 由于是奇數(shù)，故，從而.于是，解得 ，這不符合題意. 當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)，無(wú)正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，無(wú)正整數(shù)解. 綜上所述，所求素?cái)?shù)，正整數(shù).（20分）14(A)從1，2，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？解：首先，如下的61個(gè)數(shù)：11，（即1991）滿(mǎn)足題設(shè)條件. （5分） 另一方面，設(shè)（）是從1，2，2010中取出的滿(mǎn)足題設(shè)條件的數(shù)，對(duì)于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，因?yàn)?，?即所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).（10分）設(shè)，i=1，2，3，n.由，得，所以，即. （15分），故. 所以，.綜上所述，n的最大值為61. （20分）14(B). 將凸五邊形ABCDE的5條邊和5條對(duì)角線(xiàn)染色，且滿(mǎn)足任意有公共頂點(diǎn)的兩條線(xiàn)段不同色，求顏色數(shù)目的最小值. 解：由于頂點(diǎn)是條線(xiàn)段的公共點(diǎn)，因此至少需要種顏色. 若只有種顏色，不妨設(shè)為紅、