2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽天津賽區(qū)復(fù)賽試卷（4月5日上午 9301130）題 號(hào)一二三總 分(1)(5)(6)(10) (11)(12)(13)(14)得 分評(píng)卷人復(fù)查人得分評(píng)卷人一、選擇題（本題共5小題，每小題7分，滿分35分每小題均給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里）（1）已知非零實(shí)數(shù)a，b 滿足 ，則等于（ ）（A）1 （B）0 （C）1 （D）2（2）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)O是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且OAa，OBOCOD1，則a等于（ ）（第2題）（A） （B） （C）1 （D）2（3）將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為（ ） （A） （B） （C） （D）（4）如圖1所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿梯形的邊由BCDA運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，ABP的面積為y把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖2所示，則ABC的面積為（ ）（A）10 （B）16 （C）18 （D）32圖1圖2（第4題） （5）關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（ ）（A）2組 （B）3組 （C）4組 （D）無(wú)窮多組得分評(píng)卷人二、填空題（本題共5小題，每小題7分，滿分35分把答案填在題中橫線上）（6）一個(gè)自行車的新輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛 km （7）已知線段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，在線段AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使得BDAC；再以點(diǎn)D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑作圓，與A分別相交于F，G兩點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H，則的值為 （8）已知是滿足條件的五個(gè)互不相同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為 （9）如圖，在ABC中，CD是高，CE為的平分線若AC15，BC20，CD12，則CE的長(zhǎng)等于 （第10題）（第9題）（10）10個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來(lái)若報(bào)出來(lái)的數(shù)如圖所示，則報(bào)3的人心里想的數(shù)是 三、解答題（本題共4小題，每小題20分，滿分80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）得分評(píng)卷人（11）（本小題滿分20分）函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是否都在直線的右側(cè)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不一定是，請(qǐng)求出兩個(gè)交點(diǎn)都在直線的右側(cè)時(shí)k的取值范圍得分評(píng)卷人（12）（本小題滿分20分）如圖，給定銳角三角形ABC，AD，BE是它的兩條高，過(guò)點(diǎn)作ABC的外接圓的切線，過(guò)點(diǎn)D，E分別作的垂線，垂足分別為F，G試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論得分評(píng)卷人(13)（本小題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)為整數(shù)、縱坐標(biāo)為完全平方數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，求二次函數(shù)的圖象上所有“好點(diǎn)”的坐標(biāo) 得分評(píng)卷人(14