高考數(shù)學(xué)恒成立問題

高考中有關(guān)恒成立問題的解題策略恒成立問題是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn).這類問題的解決涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.恒成立問題在解題過程中有以下幾種方法和策略.現(xiàn)在我們一起來探討其中一些典型的問題.方法一、賦特值利用特殊值求解等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對(duì)解決填空題、選擇題能很快求得.例1（2012江西）在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則A.2 B.4 C.5 D.10.略解：題目是對(duì)所有直角三角形恒成立，故取等腰直角三角形并且直角邊長為2這樣一種特殊的三角形，由此，|PA|，|PB|，|PB|都為定值。易得答案D.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.方法二、一次函數(shù)型利用單調(diào)性求解 對(duì)于一次函數(shù)有：例2若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求x的范圍圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及m,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，我們的原則是誰有范圍誰當(dāng)自變量，顯然將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)磳⒃坏仁交癁椋?，；令，則時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.策略三、二次函數(shù)型利用判別式,韋達(dá)定理及根的分布求解對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a0)在實(shí)數(shù)集R上恒成立問題可利用判別式直接求解，即 f(x)0恒成立；f(x)0上恒成立策略四、變量分離型分離變量，巧妙求解利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對(duì)任意x都成立；（2）對(duì)任意x都成立。簡單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的”例5（07年山東卷文15)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是 解析: 當(dāng)時(shí)，由得令，則易知在上是減函數(shù)，所以時(shí)，則所以 利用變量分離解決恒成立問題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.策略五、數(shù)形結(jié)合直觀求解例6 (07安徽理科3)若對(duì)任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是O(A) (B) (C) （D） 解析：對(duì),不等式恒成立，則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即上述例子剖析了近年數(shù)學(xué)高考中恒成立問題的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方