地圖投影 第二章地圖投影方法變形分類

.,1,2.1地圖投影的基本方法2.2地圖投影的變形2.3球面極坐標及其換算2.4地圖投影的分類,第2章地圖投影方法、變形和分類,.,2,投影面：將地球表面的點、線、面投影于其上的承受面地圖投影的原理是在原面與投影面之間建立點、線、面的一一對應(yīng)關(guān)系地圖投影的方法：幾何透視法數(shù)學(xué)分析法,2.1地圖投影的基本方法,.,3,地圖投影，簡單的說就是將參考橢球面上的元素（大地坐標、角度和邊長）按一定的數(shù)學(xué)法則化算到平面上的過程。,.,4,二、投影方式：1.平行投影,.,5,2.透視投影,.,6,3.廣義投影,.,7,三、地圖投影實質(zhì)：建立平面上的點（用平面直角坐標或極坐標表示）和地球表面上的點（用緯度和經(jīng)度表示）之間的函數(shù)關(guān)系，用數(shù)學(xué)式表達這種關(guān)系，就是：,就是將參考橢球面上的元素（大地坐標、角度和邊長）按一定的數(shù)學(xué)法則化算到平面上的過程。,.,8,橢球面上的各點的大地坐標，按照一定的數(shù)學(xué)法則，變換為平面上相應(yīng)點的平面直角坐標，通常稱為地圖投影。地理坐標為球面坐標，不方便進行距離、方位、面積等參數(shù)的量算地球橢球體為不可展曲面地圖為平面，符合視覺心理，并易于進行距離、方位、面積等量算和各種空間分析,地球曲面轉(zhuǎn)換成地圖平面，不僅僅存在著比例尺變換，而且還存在著投影轉(zhuǎn)換的問題,2.2地圖投影的變形,.,9,地圖投影，簡單的說就是將參考橢球面上的元素（大地坐標、角度和邊長）按一定的數(shù)學(xué)法則化算到平面上的過程。,.,10,地圖投影的基本思想是，先將參考橢球面上的點化算到投影面上（可展曲面），再將投影面沿母線切開展為平面。從本質(zhì)上講，地圖投影就是按一定的條件確定大地坐標和直角坐標之間的一一對應(yīng)關(guān)系。,.,11,.,12,沿經(jīng)線直接展開?,.,13,沿緯線直接展開?,.,14,沿經(jīng)線直接展開?,.,15,沿經(jīng)線直接展開?,.,16,2.2地圖投影的變形一、投影變形的概念1.投影變形產(chǎn)生原因地球的形狀,.,17,2.投影變形的概念地圖投影不能保持平面與球面之間在長度（距離）、角度（形狀）、面積等方面完全不變。,地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格和地圖上比較:,.,18,球面經(jīng)緯網(wǎng)經(jīng)過投影之后，其幾何特征受到扭曲地圖投影變形：長度（距離）、角度（形狀）、面積。,.,19,地圖投影的變形,長度變形面積變形角度變形,地圖投影中不可避免地存在著變形，建立一個投影時不僅要建立（x,y)與(,)之間的關(guān)系，而且要研究投影變形的分布與大小。地圖投影的變形主要體現(xiàn)在：,.,20,二、變形橢圓取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。,為經(jīng)線長度比,為緯線長度比,.,21,代入：X2+Y2=R2，令R=1，得,微小圓變形橢圓,該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓，即以O(shè)為原點，以相交成q角的兩共軛直徑的坐標軸的橢圓方程式。,.,22,主方向（底索定律）：無論采用何種轉(zhuǎn)換方法，球面上每一點至少有一對正交方向線，在投影平面上仍然保持其正交關(guān)系”。在投影后仍保持正交的一對線的方向成為主方向。取主方向為作為微分橢圓的坐標軸,長軸方向（極大值）a短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向m；緯線方向n,據(jù)阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2mnsinq=ab,主方向,特殊方向,.,23,通過變形橢圓形狀顯示變形特征,結(jié)論：微分圓長、短半軸的大小，等于該點主方向的長度比。也就是說，如果一點上主方向的長度比（極值長度比）已經(jīng)確定，則微分圓的大小和形狀即可確定。,.,24,.,25,三、投影變形的性質(zhì)和大小長度比和長度變形：投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲?。m表示長度比，Vm表示長度變形長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。,=0不變0變大0變大0變小,.,29,2.3球面坐標及其換算球面坐標的意義和換算公式地理坐標換算球面極坐標,.,30,球面坐標系的意義,正軸投影以地理坐標，為參數(shù)，投影經(jīng)緯網(wǎng)形狀比較簡單，計算方便。但在使用上受到地理位置的限制。例如，正軸方位投影只適用于兩極地區(qū)，正軸圓柱投影適用于赤道附近地區(qū)，正軸圓錐投影適用于沿緯線延伸的中緯度地區(qū)。,當(dāng)制圖區(qū)域的中心點是在兩極以外的任一點以及制圖區(qū)域是沿經(jīng)線或任一方向延伸的情況，為了減少投影誤差，常采用斜軸或橫軸投影。,但是，斜軸或橫軸投影的經(jīng)緯線形狀往往是較復(fù)雜的曲線，如果直接根據(jù)地理坐標推求投影的直角坐標公式將是很復(fù)雜的。,.,31,把地球作為球體時，地理坐標也是一種球面坐標，即由通過南北地極的經(jīng)圈和平行于赤道的緯圈來確定地面上任一點的位置。,球面極坐標系,現(xiàn)在采用另一種確定地面點位的球面坐標，為了區(qū)別起見，稱之為球面極坐標。,為了簡化投影公式的推導(dǎo)和計算工作，可以通過地理坐標與球面極坐標的換算，仍然利用正軸投影公式，就可以實現(xiàn)斜軸或橫軸投影的計算以及經(jīng)緯網(wǎng)的構(gòu)成。,.,32,通常根據(jù)制圖區(qū)域的形狀和地理位置，選擇一個新極點Q（0，0），球面上的各點便以新極點Q為原點，以方位角和天頂距Z表示其位置，從而構(gòu)成球面極坐標系。,球面極坐標系的建立,球面極坐標系,.,33,在地圖測制中是把地球表面作為旋轉(zhuǎn)橢球面處理。地球橢球面上各點的位置，是以地理坐標即經(jīng)度和緯度來確定。經(jīng)緯度是一種絕對的坐標系統(tǒng)。,第二節(jié)地理坐標,P,P1北、南極O球心PP1橢球旋轉(zhuǎn)軸子午面子午圈（經(jīng)線圈）赤道面平行圈（緯線圈）,.,34,過新極點Q所在的直徑的所有大圓，叫做垂直圈，相當(dāng)于地理坐標的經(jīng)線圈。,垂直圈,垂直于垂直圈的各圓，叫做等高圈，其中通過球心的為大圓，其余為小圓。,等高圈,球面極坐標系,方位角,天頂距,過A點的垂直圈與過新極點的經(jīng)線圈的交角，為方位角。從意義上來看，方位角相當(dāng)于。,A點至新極點Q的垂直圈弧長，即天頂距。從形式上來看，天頂距相當(dāng)于。,.,35,在球面三角形PQA中，利用球面三角學(xué)的有關(guān)公式，可以求得地理坐標與球面極坐標之間的關(guān)系式：,于是，地球面上任一點A，它既可以用地理坐標,確定，也可以用球面極坐標,Z來確定，而且兩種坐標系可以進行換算。,球面極坐標系,（1）由邊的余弦定理，有：,.,36,（2）由邊正弦與鄰角余弦之積的定理，有：,（3）由正弦定理，有：,化簡得，,球面極坐標系,.,37,空間平面截球面所得的截口是圓。過球心的平面所截得的圓稱為這個球面的大圓。不在同一條直徑的球面上兩點能夠而且只能作一個大圓。過球心與球面上任一個圓垂直的直線與球面相交兩點，稱為該圓的極。極與圓上各點的角距相等，如果它是大圓，則角距為90。不在一個大圓的球面上三點，可以用三條大圓弧聯(lián)結(jié)起來圍成一個球面三角形。這三條大圓弧稱為球面三角形的邊，一般用a，b，c來表示。每兩個大圓弧可以圍成一個角稱為球面角，這樣球面三角形有三個球面角，一般用A，B，C來表示，它們稱為球面三角形的六個元素。邊和角的對應(yīng)關(guān)系如圖1所示。球面三角形三邊之和大于0而小于360，三角之和大于180而小于540。,補充：球面三角形及其基本公式,.,38,球面三角形的基本公式（基本定理）是：,（1）正弦公式：,（2）邊的余弦公式：,（3）角的余弦公式：,.,39,（4）第一五元素公式：,（5）第二五元素公式：,.,40,（6）余切公式,.,41,如果球面三角形中有一個角假設(shè)A是直角的話，它稱為直角球面三角形。用sinA=1，cosA=0和ctgA=0分別代入正弦公式邊的余弦公式，角的余弦公式和余切公式，則可以依次得到：,.,42,2.4地圖投影的分類按投影變形性質(zhì)分類按正軸投影經(jīng)緯網(wǎng)形狀分類,.,43,按投影變形性質(zhì),等角投影(ConformalProjection)等面積投影(EquivalentProjection)任意投影(ConventionalProjection)其中包括等距離投影(EquidistantProjection),.,44,1.按地圖投影的變形性質(zhì)分類等角投影:投影面上某點的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零=0（或a=b，m=n）。,微分圓正圓a=b不同點上長度比大小不同a=b或m=nP=ab=mn,等角投影面積變形大，角度不變。適用于交通圖，洋流圖，風(fēng)向圖等,.,45,等積投影:投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等，即面積變形為零Vp=0（或P=1，a=1/b）。,面狀地物輪廓投影后面積不變。ab=1長軸越長短軸越短在等積投影上以破壞圖形的相似性來保持面積上的相等。因此，角度變形最大。適用于面積精度較高的自然地圖和社會經(jīng)濟地圖。,.,46,任意投影:投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。,適用于對面積精度和角度精度沒有什么特殊要求的，或?qū)γ娣e變形和角度變形都不希望太大的用戶，一般用于參考圖和中小學(xué)教學(xué)用圖。,.,47,.,48,圓錐投影(ConicalProjection),圓柱投影(CylindricalProjection),方位投影(AzimuthalProjection),偽圓錐投影(Pseudo-conicalProjection),偽圓柱投影(Pseudo-cylindricalProjection),偽方位投影(Pseudo-azimuthalProjection),多圓錐投影(Poly-conicalProjection),地圖投影的分類,2.按正軸投影經(jīng)緯網(wǎng)形狀分類,.,49,方位投影(AzimuthalProjection),緯線投影為同心圓，經(jīng)線投影為同心圓的直徑，兩經(jīng)線間的夾角與相應(yīng)經(jīng)差成正比。在方位投影中，又分為透視方位投影和非透視方位投影。,.,50,圓柱投影(CylindricalProjection),緯線投影為平行直線，經(jīng)線投影為與緯線垂直而且間距相等的平行直線，兩經(jīng)線間的距離與相應(yīng)經(jīng)差成正比。,.,51,圓錐投影(ConicalProjection),緯線投影為同心圓弧，經(jīng)線投影為同心圓的直徑，兩經(jīng)線間的夾角與相應(yīng)經(jīng)差成正比。,.,52,多圓錐投影（Poly-conicalProjection）,緯線投影為同軸圓弧，其圓心位于投影成直線的中央經(jīng)線上，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。,.,53,偽方位投影(Pseudo-azimuthalProjection),緯線投影為同心圓，經(jīng)線投影為交于緯線共同中心并對稱于中央直經(jīng)線的曲線。,.,54,偽圓柱投影(Pseudo-cylindricalProjection),緯線投影為平行直線，經(jīng)線除中央經(jīng)線投影為直線外，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。,.,55,偽圓錐投影(Pseudo-conicalProjection),緯線投影為同心圓弧，經(jīng)線投影為對稱于中央直經(jīng)線的曲線。,.,56,.,57,.,58,.,59,.,60,.,61,.,62,.,63,正軸,圓柱,方位,圓錐,斜軸,橫軸,幾何投影,.,64,地圖投影的分類,根據(jù)投影面與球面相關(guān)位置的分類,正軸,圓柱,方位,圓錐,斜軸,橫軸,.,65,3.地圖投影的分類,地球表面經(jīng)投影變換后其角度、面積、形狀、距離會產(chǎn)生畸變，為保證某種畸變最小，產(chǎn)生了各種不同的投影變換。,1）按變形的性質(zhì),等角投影(Conformalprojections)等積投影(Equalareaprojections)等距投影(Equidistantprojections),.,66,2）按構(gòu)成方法分類,幾何投影按展開方式方位投影(AzimuthalProjections)圓柱投影(CylindricalProjections)圓錐投影(ConicProjections)按投影面與地球相割或相切割投影(Secant)切投影(Tangent)軸