計算機(jī)組成原理：浮點數(shù)表示及運算ppt課件

.,計算機(jī)組成原理,浮點數(shù)表示及運算,.,一、浮點數(shù)的表示,N=Rem=2EM=2e(m),E0,M0,91028=0.910-2721033=0.21034任意一個十進(jìn)制數(shù)可以寫成=10E（十進(jìn)制表示）,計算機(jī)中一個任意進(jìn)制數(shù)可以寫成,m：尾數(shù)，是一個純小數(shù)。e：浮點的指數(shù),是一個整數(shù)。R：基數(shù)，對于二進(jìn)計數(shù)值的機(jī)器是一個常數(shù)，一般規(guī)定為2，8或16,.,浮點數(shù)的表示范圍,負(fù)上溢,N=2EM|N|產(chǎn)生正上溢或者負(fù)上溢|N|0產(chǎn)生正下溢或者負(fù)下溢,尾數(shù)：用定點小數(shù)表示，給出有效數(shù)字的位數(shù)，決定了浮點數(shù)的表示精度階碼：用定點整數(shù)形式表示，指明小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置，決定了浮點數(shù)的表示范圍。,一個機(jī)器浮點數(shù)由階碼和尾數(shù)及其符號位組成：,最大正數(shù),最小正數(shù),最小負(fù)數(shù),最大負(fù)數(shù),.,8位定點小數(shù)可表示的范圍0.0000001-0.11111111/128-127/128設(shè)階碼2位，尾數(shù)4位可表示2-11*0.0001-211*0.11110.0000001-111.1設(shè)階碼3位，尾數(shù)3位可表示2-111*0.001-2111*0.1110.0000000001-1110000,機(jī)器字長一定時，階碼越長，表示范圍越大，精度越低浮點數(shù)表示范圍比定點數(shù)大，精度高,.,一個浮點數(shù)有不同的表示：0.5；0.05101；0.005102；5010-2,為提高數(shù)據(jù)的表示精度，需做規(guī)格化處理。,浮點數(shù)是數(shù)學(xué)中實數(shù)的子集合，由一個純小數(shù)乘上一個指數(shù)值來組成。,二、浮點數(shù)規(guī)格化,把不滿足這一表示要求的尾數(shù)，變成滿足這一要求的尾數(shù)的操作過程，叫作浮點數(shù)的規(guī)格化處理，通過尾數(shù)移位和修改階碼實現(xiàn)。,在計算機(jī)內(nèi)，其純小數(shù)部分被稱為浮點數(shù)的尾數(shù)，對非0值的浮點數(shù)，要求尾數(shù)的絕對值必須=1/2，即尾數(shù)域的最高有效位應(yīng)為1,稱滿足這種表示要求的浮點數(shù)為規(guī)格化表示：0.1000101010,.,規(guī)格化目的：為了提高數(shù)據(jù)的表示精度為了數(shù)據(jù)表示的唯一性尾數(shù)為R進(jìn)制的規(guī)格化：絕對值大于或等于1/R二進(jìn)制原碼的規(guī)格化數(shù)的表現(xiàn)形式：,正數(shù)0.1xxxxxx負(fù)數(shù)1.0 xxxxxx,正數(shù)0.1xxxxxx負(fù)數(shù)1.1xxxxxx,補(bǔ)碼尾數(shù)的規(guī)格化的表現(xiàn)形式：尾數(shù)的最高位與符號位相反。,.,解：12310=11110112=0.11110110002277移=10000+00111=101110.1111011000補(bǔ)=0.1111011000123浮=1011101111011000=BBD8H,例：對數(shù)據(jù)12310作規(guī)格化浮點數(shù)的編碼，假定1位符號位，基數(shù)為2，階碼5位，采用移碼，尾數(shù)10位，采用補(bǔ)碼。,.,S尾數(shù)符號，0正1負(fù)；M尾數(shù),純小數(shù)表示,小數(shù)點放在尾數(shù)域的最前面。采用原碼表示。E階碼，采用“移碼”表示（移碼可表示階符）;階符采用隱含方式，即采用移碼方法來表示正負(fù)指數(shù)。,為便于軟件移植，使用IEEE（電氣和電子工程師協(xié)會）標(biāo)準(zhǔn)IEEE754標(biāo)準(zhǔn)：尾數(shù)用原碼；階碼用“移碼”；基為2。,三、浮點數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)格式IEEE754,.,規(guī)格化浮點數(shù)的真值,x=(-1)s(1.)2127e=127,一個規(guī)格化的32位浮點數(shù)的真值為：,32位浮點數(shù)格式：,x=(1)s(1.)21023,一個規(guī)格化的64位浮點數(shù)的真值為：,這里e是真值，是機(jī)器數(shù),1.隱藏位技術(shù),2.階碼用“移碼”偏移值127而不是128,Emin=1,Emax=254/2046,原碼非0值浮點數(shù)的尾數(shù)數(shù)值最高位必定為1，則在保存浮點數(shù)到內(nèi)存前，通過尾數(shù)左移,強(qiáng)行把該位去掉,用同樣多的位數(shù)能多存一位二進(jìn)制數(shù)，有利于提高數(shù)據(jù)表示精度，稱這種處理方案使用了隱藏位技術(shù)。,當(dāng)然，在取回這樣的浮點數(shù)到運算器執(zhí)行運算時，必須先恢復(fù)該隱藏位。,.,例：若浮點數(shù)x的二進(jìn)制存儲格式為(41360000)16，求其32位浮點數(shù)的十進(jìn)制值。,解：0100,0001,0011,0110,0000,0000,0000,0000數(shù)符：0階碼：1000,0010尾數(shù)：011,0110,0000,0000,0000,0000指數(shù)e階碼127100000100111111100000011=(3)10包括隱藏位1的尾數(shù)：1.M1.011011000000000000000001.011011,于是有x(1)s1.M2e(1.011011)231011.011(11.375)10,.,例:將十進(jìn)制數(shù)20.59375轉(zhuǎn)換成32位浮點數(shù)的二進(jìn)制格式來存儲。,解：首先分別將整數(shù)和分?jǐn)?shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：20.5937510100.10011然后移動小數(shù)點，使其在第1，2位之間10100.100111.01001001124e4于是得到：e=127S0，E4127131=1000,0011，M010010011最后得到32位浮點數(shù)的二進(jìn)制存儲格式為01000001101001001100000000000000(41A4C000)16,.,解：-0.75=-3/4=-0.112=-1.12-1=(-1)1(1+0.10000000000000000000000)2-1=(-1)1(1+0.10000000000000000000000)2126-127s=1，E=12610=011111102，F(xiàn)=1000000。1011,1111,0100,0000,0000,0000,0000,0000BF400000H,例：將十進(jìn)制數(shù)-0.75表示成單精度的IEEE754標(biāo)準(zhǔn)代碼。,.,單精度浮點數(shù)編碼格式,+0/-0,0,0,0/1,(-1)S(0.f)2(-126),f(非零),0,0/1,(-1)S(1.f)2(e-127),f,1254,0/1,-,0,255,1,+,0,255,0,sNaNSignalingNaN,非零0 xxxx,255,0/1,NaNNotaNumber,非零1xxxx,255,0/1,表示,尾數(shù),階碼,符號位,.,IEEE754規(guī)格化浮點數(shù)表示范圍,Emax=2046,f=1.1111,1.111122046-1023=21023(2-2-52),Emin=1,M=0,1.021-1023=2-1022,雙精度,Emax=254,f=1.1111,1.11112254-127=2127(2-2-23),Emin=1,M=0,1.021-127=2-126,單精度,最大值,最小值,格式,.,設(shè)有兩個浮點數(shù)和,它們分別為:,浮點加減法運算,其中Ex和Ey分別為數(shù)和的階碼，Mx和My為數(shù)和的尾數(shù)。兩浮點數(shù)進(jìn)行加法和減法的運算規(guī)則是:(Mx2ExEyMy)2EyEx0,ExEy若E0,ExEy,通過尾數(shù)的移動來改變Ex或Ey，使其相等。,對階原則階碼小的數(shù)向階碼大的數(shù)對齊；對階過程小階的尾數(shù)右移，每右移一位,其階碼加1(右規(guī))。,(2)對階,(1)0操作數(shù)檢查,210*(0.11000)+28*(0.00110)大階對小階210*(0.11000)-28*(11.000)11.000+0.00110?小階對大階28*(0.00110)-210*(0.00001)0.00001+0.11000=0.11001,.,例:x=2010.1101,y=211(-0.1010),求x+y=?,解：為便于直觀了解，兩數(shù)均以補(bǔ)碼表示，階碼、尾數(shù)均采用雙符號位。x補(bǔ)=0001,00.1101y補(bǔ)=0011,11.0110E補(bǔ)=Ex補(bǔ)Ey補(bǔ)=0001+1101=1110E=-2,表示Ex比Ey小2,因此將x的尾數(shù)右移兩位.右移一位,得x補(bǔ)=0010,00.0110再右移一位,得x補(bǔ)=0011,00.0011至此,E=0,對階完畢.,.,尾數(shù)求和方法與定點加減法運算完全一樣。對階完畢可得:x補(bǔ)=0011,00.0011y補(bǔ)=0011,11.0110對尾數(shù)求和:00.0011+11.011011.1001即得:x+y補(bǔ)=0011,11.1001,(3)尾數(shù)求和運算,.,(4)結(jié)果規(guī)格化,求和之后得到的數(shù)可能不是規(guī)格化了的數(shù),為了增加有效數(shù)字的位數(shù),提高運算精度,必須將求和的結(jié)果規(guī)格化。規(guī)格化的定義:,(二進(jìn)制),對正數(shù):S=00.1對負(fù)數(shù):S=11.0,采用雙符號位的補(bǔ)碼：,采用原碼：正數(shù):S=0.1負(fù)數(shù)：S=1.1,.,規(guī)格化規(guī)則,運算結(jié)果產(chǎn)生溢出時，必須進(jìn)行右歸如變形補(bǔ)碼結(jié)果出現(xiàn)10.XX或者01.XXX如運算結(jié)果出現(xiàn)0.0XXX或1.1XX必須左歸左歸時最低數(shù)據(jù)有效位補(bǔ)0右歸時連同符號位進(jìn)位位一起右移左歸時，階碼作減法，右歸時，階碼作加法,00.0XXXX-00.1XXX0左規(guī)11.1XXXX-11.0XXX0左規(guī)01.XXXXX-00.1XXXX右規(guī)10.XXXXX-11.0XXXX右規(guī),規(guī)格化方法,.,例：兩浮點數(shù)x=0.1101210,y=(0.1011)201,求x+y。,解：x補(bǔ)=0010，00.1101y補(bǔ)=0001，00.1011對階：E補(bǔ)=Ex補(bǔ)Ey補(bǔ)=0010+1111=0001y向x對齊，將y的尾數(shù)右移一位，階碼加1。y補(bǔ)=0010，00.0101,x+y補(bǔ)=0010，01.0010,右歸：運算結(jié)果兩符號位不同，其絕對值大于1，右歸。x+y補(bǔ)=0011，00.1001,求和：00.1101+00.010101.0010,.,在對階或向右規(guī)格化時,尾數(shù)要向右移位,這樣,被右移的尾數(shù)的低位部分會被丟掉,從而造成一定誤差,因此要進(jìn)行舍入處理。簡單的舍入方法有兩種：“0舍1入”法即如果右移時被丟掉數(shù)位的最高位為0則舍去，反之則將尾數(shù)的末位加“1”?！昂阒?”法即只要數(shù)位被移掉，就在尾數(shù)的末位恒置“1”。從概率上來說,丟掉的0和1各為1/2。,(5)舍入處理,.,在IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中,舍入處理提供了四種可選方法：就近舍入其實質(zhì)就是通常所說的四舍五入。例如,尾數(shù)超出規(guī)定的23位的多余位數(shù)字是10010,多余位的值超過規(guī)定的最低有效位值的一半,故最低有效位應(yīng)增1。若多余的5位是01111,則簡單的截尾即可。對多余的5位10000這種特殊情況：若最低有效位現(xiàn)為0,則截尾；若最低有效位現(xiàn)為1,則向上進(jìn)一位使其變?yōu)?。朝0舍入即朝數(shù)軸原點方向舍入,就是簡單的截尾。無論尾數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),截尾都使取值的絕對值比原值的絕對值小。這種方法容易導(dǎo)致誤差積累。朝舍入對正數(shù)來說,只要多余位不全為0則向最低有效位進(jìn)1;對負(fù)數(shù)來說則是簡單的截尾。朝舍入處理方法正好與朝舍入情況相反。對正數(shù)來說,只要多余位不全為0則簡單截尾;對負(fù)數(shù)來說,向最低有效位進(jìn)1。,.,(6)溢出處理,與定點加減法一樣，浮點加減運算最后一步也需判溢出。在浮點規(guī)格化中已指出，當(dāng)尾數(shù)之和(差)出現(xiàn)01或10時，并不表示溢出，只有將此數(shù)右規(guī)后，再根據(jù)階碼來判斷浮點運算結(jié)果是否溢出。,若機(jī)器數(shù)為補(bǔ)碼，尾數(shù)為規(guī)格化形式，并假設(shè)階符取2位，階碼取7位、數(shù)符取2位，尾數(shù)取n位，則它們能表示的補(bǔ)碼在數(shù)軸上的表示范圍如圖所示。,.,圖中A，B，a，b分別對應(yīng)最小負(fù)數(shù)、最大正數(shù)、最大負(fù)數(shù)和最小正數(shù)。它們所對應(yīng)的真值分別是：A最小負(fù)數(shù)2+127(-1)B最大正數(shù)2+127(1-2-n)a最大負(fù)數(shù)2-128(-2-1-2-n)b最小正數(shù)2-1282-1,最小負(fù)數(shù),最大正數(shù),最大負(fù)數(shù),最小正數(shù),.,圖中a,b之間的陰影部分，對應(yīng)階碼小于128的情況，叫做浮點數(shù)的下溢。下溢時浮點數(shù)值趨于零，故機(jī)器不做溢出處理，僅把它作為機(jī)器零。圖中的A、B兩側(cè)陰影部分，對應(yīng)階碼大于127的情況，叫做浮點數(shù)的上溢。此刻，浮點數(shù)真正溢出，機(jī)器需停止運算，作溢出中斷處理。一般說浮點溢出，均是指上溢?？梢姡↑c機(jī)的溢出與否可由階碼的符號決定：階碼j補(bǔ)=01,為上溢，機(jī)器停止運算，做中斷處理；階碼j補(bǔ)=10,為下溢，按機(jī)器零處理。,.,例：若某次加法操作的結(jié)果為X+Y補(bǔ)=11.010,00.0000110111,則應(yīng)對其進(jìn)行向左規(guī)格化操作：尾數(shù)為：00.1101110000，階碼減4：,11.010+11.100-4補(bǔ)10.110,例：若某次加法操作的結(jié)果為X+Y補(bǔ)=00.111,10.1011100111,則應(yīng)對其進(jìn)行向右規(guī)格化操作：尾數(shù)為：11.0101110011，階碼加1：01.000階碼超出了它所能表示的最大正數(shù)（+7），表明本次浮點運算產(chǎn)生了溢出。,階碼超出了它所能表示的最小負(fù)數(shù)（-8），表明本次浮點運算產(chǎn)生了溢出。,.,例:兩浮點數(shù)x=21010.11011011，y=2111(-0.10101100)。假設(shè)尾數(shù)在計算機(jī)中以補(bǔ)碼表示，可存儲10位尾數(shù)，2位符號位，階碼以補(bǔ)碼表示，雙符號位,求x+y。,解：將x,y轉(zhuǎn)換成浮點數(shù)據(jù)格式x浮=00101,00.11011011Y浮=00111,11.01010011+100111,11.01010100步驟1：對階，階差為Ex-Ey=Ex補(bǔ)+-Ey補(bǔ)-Ey補(bǔ)=11000111001Ex-Ey001011100111110（000011）0001020Ex-Ey0ExEy小階對大階，X階碼加2X尾數(shù)右移2位,.,解：將x,y轉(zhuǎn)換成浮點數(shù)據(jù)格式x浮=00101,00.11011011Y浮=00111,11.01010011+100111,11.01010100步驟1：對階，階差為Ex-Ey=Ex補(bǔ)+-Ey補(bǔ)Ex-Ey20Ex-Ey0ExEy小階對大階，X階碼加2X尾數(shù)右移2位x浮=00111,00.00110110(11)步驟2：尾數(shù)求和X+Y浮=00111,00.00110110(11)+00111,11.01010100=00111,11.10001010(11),.,步驟2：尾數(shù)求和X+Y浮=00111,00.00110110(11)+00111,11.01010100=00111,11.10001010(11)步驟3：計算結(jié)果規(guī)格化X+Y浮為非規(guī)格化數(shù)，左歸一位,階碼減一，00110,11.00010101(1)步驟4：舍入處理X+Y浮=00110,11.00010110(0舍1如法)X+Y浮=00110,11.00010101(截去法)步驟5：溢出判斷無溢出X+Y浮=2110 x(-00.11101011),.,.,例設(shè)=20100.11011011,=2100(-0.10101100),求+。,解：階碼采用雙符號位,尾數(shù)采用單符號位,則它們的浮點表示分別為x浮=00010,0.11011011y浮=00100,1.01010100(1)求階差并對階,E=Ex-Ey=Ex補(bǔ)+-Ey補(bǔ)=00010+11100=11110,x浮00100,0.00110110(11),其中(11)表示M右移2位后移出的最低兩位數(shù)。,即E為-2,x的階碼小,應(yīng)使Mx右移兩位,Ex加2,.,(2)尾數(shù)求和,(4)舍入處理,采用0舍1入法處理,則有:,1.00010101+11.00010110,0.00110110(11)+1.010101001.10001010(11),(3)規(guī)格化處理尾數(shù)運算結(jié)果的符號位與最高數(shù)值位為同值，應(yīng)執(zhí)行左規(guī)處理，結(jié)果為1.00010101(10)，階碼為00011。,(5)判斷溢出階碼符號位為00，不溢出，故得最終結(jié)果為x+y=2011(-0.11101010),.,例：兩浮點數(shù)x=2010.1101，y=211