數(shù)字電路第2章 邏輯代數(shù)ppt課件

.,第2章邏輯代數(shù),.,一、邏輯函數(shù)的相等,1、定義：設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)F=f(x1,x2,xn)G=g(x1,x2,xn)其變量都為x1,x2,xn，如果對(duì)應(yīng)于變量x1,x2,xn的任何一組變量取值，F(xiàn)，G的值都相等，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等，記為F=G。2、判斷邏輯函數(shù)是否相等的方法（1）列出輸入變量的所有可能的取值組合，并按邏輯運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出在各種輸入取值下兩個(gè)函數(shù)的相應(yīng)值，并進(jìn)行比較。（2）利用邏輯代數(shù)的定理、定律和規(guī)則進(jìn)行證明。,.,一、邏輯函數(shù)的相等,它們的真值表完全相同，所以F和G是相等的。,二、關(guān)于邏輯函數(shù)的書寫,.,乘運(yùn)算規(guī)則:,加運(yùn)算規(guī)則:,三、邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,非運(yùn)算規(guī)則:,0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1,00=001=010=011=1,1、基本關(guān)系,.,交換律:A+B=B+AAB=BA,結(jié)合律:A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)ABC=(AB)C=A(BC),2.邏輯代數(shù)運(yùn)算規(guī)律,三、邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,.,分配律:A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C),證明:,右邊=(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC;分配律,=A+AB+AC+BC;結(jié)合律,AA=A,=A(1+B+C)+BC;結(jié)合律,=A1+BC;1+B+C=1,=A+BC;A1=1,=左邊,2.邏輯代數(shù)運(yùn)算規(guī)律,三、邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,.,吸收律：,原變量吸收規(guī)則:,反變量吸收規(guī)則:,注:紅色變量被吸收掉！,A+AB=A,證明:,2.邏輯代數(shù)運(yùn)算規(guī)律,三、邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,.,吸收律:,證明:,2.邏輯代數(shù)運(yùn)算規(guī)律,三、邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,.,反演律（摩根定理）,用真值表證明,1110,00011011,1110,證明:,2.邏輯代數(shù)運(yùn)算規(guī)律,三、邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,.,3.關(guān)于“異或”運(yùn)算的一些公式,三、邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,.,1、代入規(guī)則對(duì)邏輯等式中的任意變量A，若將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。例：若：A(B+C)=AB+ACCC+D則：AB+(C+D)=AB+A(C+D)意義：利用這條規(guī)則和現(xiàn)有的等式，可以推出更多的等式，而無需證明。,四、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,.,2、反演規(guī)則對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)F，若將F表達(dá)式中所有的“”和“+”互換，“0”和“1”互換，原變量和反變量互換，并保持運(yùn)算優(yōu)先順序不變，則可得到F的反函數(shù)。,注意：反演規(guī)則的意義在于利用它求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)，不是一個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)該保留。變換時(shí)，應(yīng)注意先“與”后“或”，先括號(hào)內(nèi)后括號(hào)外的順序。,四、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,.,3、對(duì)偶規(guī)則對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)F，若將F表達(dá)式中所有的“”和“+”互換，原變量和反變量不變，并保持運(yùn)算優(yōu)先順序不變，則所得到新的函數(shù)稱為函數(shù)F的對(duì)偶函數(shù)F。,例：,四、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,.,若稱函數(shù)為自對(duì)偶函數(shù),例：,3、對(duì)偶規(guī)則,注意：轉(zhuǎn)換時(shí)應(yīng)先“與”后“或”，先括號(hào)內(nèi)后括號(hào)外的順序。,對(duì)偶規(guī)則：當(dāng)某邏輯恒等式成立時(shí)，其對(duì)偶式的等式也成立?；閷?duì)偶原理：(Z)=Z,四、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,.,五、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,1、邏輯函數(shù)的基本形式（1）“與或”表達(dá)式（積之和）單個(gè)邏輯變量進(jìn)行“與”運(yùn)算構(gòu)成的項(xiàng)稱為“與項(xiàng)”，由“與項(xiàng)”進(jìn)行“或”運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式稱為“與或”表達(dá)式。例：,（2）“或與”表達(dá)式（和之積）單個(gè)邏輯變量進(jìn)行“或”運(yùn)算構(gòu)成的項(xiàng)稱為“或項(xiàng)”，由“或項(xiàng)”進(jìn)行“與”運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式稱為“或與”表達(dá)式。例：,.,2、化簡的意義（1）節(jié)省器材；（2）提高了工作的可靠性；3、最簡的概念,（1）“與或”表達(dá)式化簡的意義任何一個(gè)表達(dá)式都不難展開成“與或”表達(dá)式；從一個(gè)最簡的“與或”表達(dá)式可以比較容易地得到其他類型的最簡式。（2）最簡“與或”表達(dá)式“與”項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少；每個(gè)“與”項(xiàng)中的因子數(shù)最少；,五、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,.,3、最簡的概念,（3）舉例：試證明下面兩式具有相同的邏輯功能，并比較它們的邏輯圖。,即Z1、Z2具有相同的邏輯功能,五、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,.,例1：,五、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,.,結(jié)論:異或門可以用4個(gè)與非門實(shí)現(xiàn),例2:證明,五、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,.,異或門可以用4個(gè)與非門實(shí)現(xiàn),五、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,.,例3,五、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,.,例4,五、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,.,（1）并項(xiàng)法,（2）吸收法利用A+AB=A消去多余的項(xiàng),4、邏輯函數(shù)的化簡方法,.,（3）消去法,利用消去多余的因子,4、邏輯函數(shù)的化簡方法,.,（4）配項(xiàng)法,4、邏輯函數(shù)的化簡方法,.,小結(jié)：用代數(shù)法化簡，一開始不可能知道它的最簡式，只能在簡化的過程中方能夠逐漸清楚?；啿襟E：首先把表達(dá)式轉(zhuǎn)換成“與或”表達(dá)式，然后用較易的并項(xiàng)法，吸收法和消去法化簡函數(shù)式，最后再考慮能否用配項(xiàng)法給予展開化簡。具體應(yīng)用中要特別注意一個(gè)函數(shù)式作為一個(gè)變量看待時(shí)的具體變換。,五、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,綜合運(yùn)用看：書44例2.1.7、2.1.8、2.1.9,.,1、最小項(xiàng)（1）定義：若n個(gè)變量組成的與項(xiàng)中，每個(gè)變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，則稱該“與項(xiàng)”為n個(gè)變量的最小項(xiàng)。例：設(shè)A，B，C是三個(gè)邏輯變量，其最小項(xiàng)為,不是最小項(xiàng)的與項(xiàng)：AB，AC，A(B+C)，（2）最小項(xiàng)的編號(hào)：把使該最小項(xiàng)為1的取值組合視作二進(jìn)制數(shù)，則相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)作為最小項(xiàng)的編號(hào)。用(m)(N)10表示。,六、卡諾圖化簡法,.,（3）性質(zhì)：n變量的函數(shù)，最多可構(gòu)成2n個(gè)最小項(xiàng)；對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值組合使得它的值為1，而在變量取其他各組值時(shí)，這個(gè)最小項(xiàng)的值均為0；不同的最小項(xiàng)，使它為1的變量取值組合不同；任意兩個(gè)最小項(xiàng)mi和mj(ij)的乘積必為零，即mimj=0；對(duì)于變量的任意一組取值，全體最小項(xiàng)之和為1，即：,n變量的每一個(gè)最小項(xiàng)，都有n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)。當(dāng)兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量不同，且這個(gè)變量分別為同一變量的原變量和反變量時(shí)，稱這兩個(gè)最小項(xiàng)為相鄰的最小項(xiàng)。,1、最小項(xiàng),六、卡諾圖化簡法,.,2）一個(gè)邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與或”式是唯一的。3）任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可表示成為標(biāo)準(zhǔn)“與或”式。其方法如下：代數(shù)法：將函數(shù)表示成為一般的“與或”式；,2、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式（1）標(biāo)準(zhǔn)“與或”式1）由最小項(xiàng)相“或”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式，稱為標(biāo)準(zhǔn)“與或”式。,反復(fù)利用X=X(Y+)，將表達(dá)式中所有非最小項(xiàng)的“與”項(xiàng)擴(kuò)展成為最小項(xiàng)。,六、卡諾圖化簡法,.,2、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式（1）標(biāo)準(zhǔn)“與或”式,六、卡諾圖化簡法,.,2、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式（1）標(biāo)準(zhǔn)“與或”式,六、卡諾圖化簡法,.,2、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式（1）標(biāo)準(zhǔn)“與或”式,真值表法：將在真值表中，輸出為1所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)相加，即為標(biāo)準(zhǔn)“與或”式,六、卡諾圖化簡法,.,3、卡諾圖的引出及特點(diǎn),將真值表或邏輯函數(shù)式用一個(gè)特定的方格圖表示，稱為卡諾圖。,1、構(gòu)成：卡諾圖是將代表最小項(xiàng)的小方格按相鄰原則排列而成的平面方格圖。2、畫法（1）基本原則：在相鄰方格中填入相鄰的最小項(xiàng)。（2）畫法：折疊展開法,六、卡諾圖化簡法,.,卡諾圖的畫法：（一輸入變量）,3、卡諾圖的引出及特點(diǎn),A,（二輸入變量）,3,2,A,B,AB00011110,三、卡諾圖化簡法,.,卡諾圖的畫法：（二輸入變量）,3、卡諾圖的引出及特點(diǎn),1,1,1,0,三、卡諾圖化簡法,.,卡諾圖的畫法：（三輸入變量）,3、卡諾圖的引出及特點(diǎn),4,A,B,C,若為3變量：Z=Z（A，B，C）,三、卡諾圖化簡法,.,卡諾圖的畫法：（三輸入變量）,3、卡諾圖的引出及特點(diǎn),若為3變量：Z=Z（A，B，C）,三、卡諾圖化簡法,.,F(A,B,C)=m(1,2,4,7),3、卡諾圖的引出及特點(diǎn),三、卡諾圖化簡法,.,卡諾圖的畫法：,3、卡諾圖的引出及特點(diǎn),若為4變量：Z=Z（A，B，C，D）,8,12,三、卡諾圖化簡法,.,00,01,11,10,00,01,11,10,四變量卡諾圖單元格的編號(hào),A,C,B,D,三、卡諾圖化簡法,.,F(A,B,C,D)=m(0,2,6,7,9,10,13,14,15),.,三、卡諾圖化簡法,3、卡諾圖的引出及特點(diǎn),3、卡諾圖的構(gòu)造特點(diǎn)（1）n個(gè)變量的卡諾圖由2n個(gè)小方格組成，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)；方格內(nèi)標(biāo)明的數(shù)字，就是所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的編號(hào)。（2）卡諾圖上處在相鄰、相對(duì)、相重位置的小方格所代表的最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)。,（3）整個(gè)卡諾圖總是被每個(gè)變量分成兩半，原變量和反變量各占一半，任一個(gè)原變量和反變量所占的區(qū)域又被其他變量分成兩半。,.,三、卡諾圖化簡法,4、卡諾圖的填法,（1）已知真值表填卡諾圖：在其相應(yīng)的小方格中填入0或1。,.,三、卡諾圖化簡法,4、卡諾圖的填法,（2）已知邏輯函數(shù)填卡諾圖：先將函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)“與或”式，再填入圖中。在卡諾圖上找出和表達(dá)式中最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格填1，其余小方格填0(或以空白代替0)即可得到。例如：F(A,B,C,D)=m(0,6,10,13,15),.,三、卡諾圖化簡法,4、卡諾圖的填法,（3）未用最小項(xiàng)表達(dá)的邏輯函數(shù)的卡諾圖對(duì)與或表達(dá)式表示的函數(shù)，可按照卡諾圖上與的公共性、或的疊加性、非的否定性作出相應(yīng)卡諾圖；對(duì)某一“與”項(xiàng)按順序?qū)Ω鱾€(gè)變量在圖中找對(duì)應(yīng)的方格區(qū)，各方格區(qū)的重合方格，即為該“與”項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的方格，然后再選加其他“與”項(xiàng)，相重的不再寫1。,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,.,化簡的依據(jù)卡諾圖直觀、清晰反映了最小項(xiàng)的相鄰關(guān)系。根據(jù)并項(xiàng)定理，任意兩個(gè)相鄰項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，合并后消去互補(bǔ)變量。,三、卡諾圖化簡法,5、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),.,三、卡諾圖化簡法,5、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),化簡的方法（1）填好卡諾圖；（2）合并最小項(xiàng)；根據(jù)相鄰原則，畫卡諾圈，并寫出每個(gè)圈的“與”項(xiàng)。（3）將每個(gè)圈的“與”項(xiàng)相加，即得到簡化后的邏輯表達(dá)式；,說明：卡諾圈中小方格的個(gè)數(shù)必須為2m個(gè)，m為小于或等于n的整數(shù)；當(dāng)mn時(shí)，卡諾圈包圍了整個(gè)卡諾圖，可用1表示，即n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)相或?yàn)?。,.,如果有2n個(gè)最小項(xiàng)相鄰（n1，2，），并排列成一個(gè)矩形組，則它們可以合并為一項(xiàng)，并消去n對(duì)因子。合并后的結(jié)果中僅包含這些最小項(xiàng)的公共因子。1、兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰，可合并為一項(xiàng)并消去一對(duì)因子。,三、卡諾圖化簡法,5、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),2、四個(gè)最小項(xiàng)相鄰成矩形組，可合并為一項(xiàng)并消去兩對(duì)因子。3、八個(gè)最小項(xiàng)相鄰成矩形組，可合并為一項(xiàng)并消去三對(duì)因子。結(jié)論：2k個(gè)最小項(xiàng)相鄰（k=1，2，3）并排列成一個(gè)矩形組（方格群），則它們可合并為一項(xiàng)，消去k對(duì)因子，只保留公共因子（即相同的因子）。若k=n，則Y=1,.,.,三、卡諾圖化簡法,5、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),畫卡諾圈的原則在覆蓋所有1方格的前題下，卡諾圈的個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能少。因?yàn)榭ㄖZ圈個(gè)數(shù)越少，函數(shù)表達(dá)式中的與項(xiàng)數(shù)目越少；在滿足合并規(guī)律的前題下，卡諾圈應(yīng)盡可能大。因?yàn)榭ㄖZ圍中包含的最小項(xiàng)越多，相應(yīng)與項(xiàng)所含的變量數(shù)越少；每個(gè)1方格至少被一個(gè)卡諾圈包圍，根據(jù)需要也可以被多個(gè)卡諾圈包圍。圈的形狀可以是長方形或正方形，不能是其他形狀；畫圈的次序是“先大后小”消去的是相鄰方格中取值不同的變量，一個(gè)包圍2m個(gè)方格的卡諾圖，可以消去m個(gè)變量。,.,三、卡諾圖化簡法,AC,BC,AB,F=AC+BC+AB,.,三、卡諾圖化簡法,.,三、卡諾圖化簡法,四個(gè)角為相鄰的方格。,.,三、卡諾圖化簡法,函數(shù)的最簡“與或”式不一定是唯一的。,.,三、卡諾圖化簡法,若卡諾圖中各小方格被1占去了大部分，這時(shí)采用包圍0的方法化簡更簡單，即先求出非函數(shù)，再對(duì)非函數(shù)求非，得到F。,.,三、卡諾圖化簡法,利用卡諾圖將函數(shù)化簡成“或與”表達(dá)式。用卡諾圖求函數(shù)的最簡或與表達(dá)式通常有兩種不同的處理方法。一種方法是作出函數(shù)F的卡諾圖，合并卡諾圖上的0方格，求出的最簡與或式，然后對(duì)取反，得到F的最簡或與式，該方法稱為兩次取反法；,.,2、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式（2）標(biāo)準(zhǔn)“或與”式由最大項(xiàng)相“與”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式，稱為標(biāo)準(zhǔn)“或與”式,三、卡諾圖化簡法,.,三、卡諾圖化簡法,自己練習(xí),.,約束：對(duì)輸入變量取值所加的限制。例：三變量A,B,C，分別表示電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止，其中：A=1，正轉(zhuǎn)；B=1，反轉(zhuǎn)；C=1，停止.則：ABC的取值只能是001，010，100三者之一，而不能是000，011，101，110，111之一。所以A,B,C是一組具有約束的變量。,三、卡諾圖化簡法,6、具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其卡諾圖化簡,任意項(xiàng)：在輸入變量的某些取值下，函數(shù)值是1還是0，不影響電路的功能。無關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)和任意項(xiàng)的統(tǒng)稱。在卡諾圖中，用表示無關(guān)項(xiàng)。,.,通常用約束條件來描述約束的具體內(nèi)容。當(dāng)限制某些輸入變量的取值不能出現(xiàn)時(shí)，用它們對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)恒等于0來表示。此例的約束條件為：ABC=0,ABC=0,ABC=0,ABC=0,ABC=0或?qū)憺椋篈BCABCABC