題型銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

二、解答題重難點(diǎn)突破題型三銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用針對演練仰角、俯角問題1. 某數(shù)學(xué)課外活動小組利用課余時(shí)間，測量了安裝在一幢樓房頂部的公益廣告牌的高度如圖，矩形CDEF為公益廣告牌，CD為公益廣告牌的高，DM為樓房的高，且C、D、M三點(diǎn)共線在樓房的側(cè)面A處，測得點(diǎn)C與點(diǎn)D的仰角分別為45和37.3，BM15米根據(jù)以上測得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求這個(gè)廣告牌的高(CD的長)(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37.30.6060，cos37.30.7955，tan37.30.7618)第1題圖2. (2014濰坊)如圖，某海域有兩個(gè)海拔均為200米的海島A和海島B，一勘測飛機(jī)在距離海平面垂直高度為1100米的空中飛行，飛行到點(diǎn)C處時(shí)測得正前方一海島頂端A的俯角是45，然后沿平行于AB的方向水平飛行1.99104米到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測得正前方另一海島頂端B的俯角是60，求兩海島間的距離AB.第2題圖3. (2015丹東10分)如圖，線段AB，CD表示甲、乙兩幢居民樓的高，兩樓間的距離BD是60米某人站在A處測得C點(diǎn)的俯角為37，D點(diǎn)的俯角為48(人的身高忽略不計(jì))，求乙樓的高度CD.(參考數(shù)據(jù)：sin37，tan37，sin48，tan48)第3題圖4. 如圖，在電線桿上的C處引拉線CE，CF固定電線桿，拉線CE和地面成57.5角，在離電線桿6米處安置測角儀AB，在A處測得電線桿上C處的仰角為30.已知測角儀AB的高為1.5米，求拉線CE的長(結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：sin57.50.843，cos57.50.537，tan57.51.570，1.732，1.414)第4題圖5. (2015本溪12分)張老師利用休息時(shí)間組織學(xué)生測量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，山坡與水平面成30角(即MAN30)，在山坡底部A處測得大樹頂端點(diǎn)C的仰角為45，沿坡面前進(jìn)20米，到達(dá)B處，又測得樹頂端點(diǎn)C的仰角為60(圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi))，求這棵大樹CD的高度(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：1.732)第5題圖6. 如圖，某飛機(jī)于空中探測某座山的高度，在點(diǎn)A處飛機(jī)的飛行高度是AF3700米，從飛機(jī)上觀測山頂目標(biāo)C的俯角是45，飛機(jī)繼續(xù)以相同的高度飛行300米到B處，此時(shí)觀測目標(biāo)C的俯角是50，求這座山的高度CD.(參考數(shù)據(jù)：sin500.77，cos500.64，tan501.20)第6題圖坡度、坡角問題7. 如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角BAE45，壩高BE20米汛期來臨，為加大水壩的防洪強(qiáng)度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新的背水坡BF的坡角F30，求AF的長度(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732)第7題圖8. (2014山西)如圖，點(diǎn)A、B、C表示某旅游景區(qū)三個(gè)纜車站的位置，線段AB，BC表示連接纜車站的鋼纜，已知A，B，C三點(diǎn)在同一鉛直平面內(nèi)，它們的海拔高度AA，BB，CC分別為110米，310米，710米，鋼纜AB的坡度i112，鋼纜BC的坡度i211，景區(qū)因改造纜車線路，需要從A到C直線架設(shè)一條鋼纜，那么鋼纜AC的長度是多少米？(注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)第8題圖測量問題9. (2015云南6分)為解決江北學(xué)校學(xué)生上學(xué)過河難的問題，鄉(xiāng)政府決定修建一座橋建橋過程中需測量河的寬度(即兩平行河岸AB與MN之間的距離)在測量時(shí)，選定河對岸MN上的點(diǎn)C處為橋的一端，在河岸點(diǎn)A處，測得CAB30，沿河岸AB前行30米后到達(dá)B處，在B處測得CBA60.請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)求出河的寬度(參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73；結(jié)果保留整數(shù))第9題圖10. (2015遵義8分)如圖是某兒童樂園為小朋友設(shè)計(jì)的滑梯平面圖已知BC4米，AB6米，中間平臺寬度DE1米，EN、DM、CB為三根垂直于AB的支柱，垂足分別為N、M、B，EAB31，DFBC于F，CDF45.求DM和BC的水平距離BM的長度(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin310.52，cos310.86，tan310.60)第10題圖方向角問題11. (2015鎮(zhèn)江6分)某海域有A、B兩個(gè)港口，B港口在A港口北偏西30的方向上，距A港口60海里有一艘船從A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75方向的C處求該船與B港口之間的距離即CB的長(結(jié)果保留根號)第11題圖12. (2015郴州8分)如圖，要測量A點(diǎn)到河岸BC的距離，在B點(diǎn)測得A點(diǎn)在B點(diǎn)的北偏東30方向上，在C點(diǎn)測得A點(diǎn)在C點(diǎn)的北偏西45方向上，又測得BC150 m求A點(diǎn)到河岸BC的距離(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73)第12題圖【答案】針對演練仰角、俯角問題1. 【思路分析】過點(diǎn)A作ANCM于點(diǎn)N，構(gòu)造RtAND，在直角三角形中，通過所給的三角函數(shù)，建立DN的表達(dá)式，從而求出CD即可解：如解圖，過點(diǎn)A作ANCM于點(diǎn)N，則CAN45，DAN37.3， CNANBM15. 在RtAND中，DN15tan37.311.43.CDCNDN1511.433.6.第1題解圖廣告牌的高度約為3.6 m.2. 【思路分析】首先，過點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BFCD于點(diǎn)F，易得四邊形ABFE為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得ABEF，AEBF.由題意可知，AEBF1100200900米，CD1.99104米，然后分別在RtAEC與RtBFD中，利用三角函數(shù)求得CE與DF的長，繼而求得兩海島間的距離AB.解：如解圖，過點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BFCD，交CD的延長線于點(diǎn)F.則四邊形ABFE為矩形，ABEF，AEBF.由題意可知AEBF1100200900(米)，CD19900(米)在RtAEC中，C45，AE900(米)，CE900(米)，在RtBFD中，BDF60，BF900(米)，DF300(米)，ABEFCDDFCE19900300900(19000300)米答：兩海島之間的距離AB是(19000300)米第2題解圖3. 【思路分析】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題中有角度沒直角三角形，先考慮過點(diǎn)C向AB作垂線CE構(gòu)造直角三角形，利用正切分別求得AB、AE，最后利用線段和差關(guān)系求解即可解：過點(diǎn)C作CEAB交AB于點(diǎn)E ，則四邊形EBDC為矩形，BECD，CEBD60米(2分)根據(jù)題意可得，ADB48，ACE37.第3題解圖在RtADB中，tan48，則ABtan48BD6066(米)；(5分)在RtACE中，tan37，則AEtan37CE6045(米)，(8分)CDBEABAE664521(米)，乙樓的高度CD為21米(10分) 4. 【信息梳理】原題信息整理后信息結(jié)論在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿拉線CE和地面成57.5角，在離電線桿6米處安置測角儀ABDEC57.5，DB6米AMBD6米， ABMD1.5米，CMAMtan30，CDCMMD在A處測得電線桿上C處的仰角為30，已知測角儀AB1.5米過點(diǎn)A作AMCD，垂足為M，MAC30求拉線CE的長求CE的長CE解：如解圖，過點(diǎn)A作AMCD，垂足為M.AMBD6(米)，ABMD1.5(米)在RtACM中，tan30，CMAMtan3062米CDCMMD(21.5)米，第4題解圖在RtCED中，sin57.5，sin57.5，CE5.89(米)答：拉線CE的長約為5.89米5. 解：如解圖，過點(diǎn)B作BECD交CD延長線于點(diǎn)E，CAN45，MAN30，CAB15，CBE60，DBE30，CBD30，第5題解圖CBDCABACB，CABACB15，ABBC20(米)，(3分)在RtBCE中，CBE60，BC20(米)，CEBCsinCBE2010(米)，BEBCcosCBE2010(米)，(6分)在RtDBE中，DBE30，BE10(米)，DEBEtanDBE10(米)，(9分)CDCEDE1011.5(米)答：這棵大樹CD的高度大約為11.5米(12分)6. 解：設(shè)ECx，在RtBCE中，tanEBC，則BEx(米)，在RtACE中，tanEAC，則AEx(米)，ABBEAE，300xx，解得：x1800(米)，這座山的高度CDDEECAFCE370018001900(米)答：這座山的高度是1900米坡度、坡角問題7. 解：在RtABE中，BAE45，壩高BE20米，AEBE20米，在RtBEF中，BE20，F(xiàn)30，EF20(米)AFEFAE202015(米)即AF的長約為15米8. 【思路分析】對于解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，首先要考慮把要求的線段和已知線段、角放到直角三角形中求解如解圖，過點(diǎn)A作AECC于點(diǎn)E，交BB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BDCC于點(diǎn)D.分別在RtAFB和RtBDC中根據(jù)坡度求得AF，BD的長度，再在RtAEC中，根據(jù)勾股定理求得AC的長度解：如解圖，過點(diǎn)A作AECC于點(diǎn)E，交BB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BDCC于點(diǎn)D.則AFB，BDC和AEC都是直角三角形，四邊形AABF，BBCD和BFED都是矩形BFBBFBBBAA310110200(米)，CDCCDCCCBB710310400(米)i112，i211，AF2BF400(米)，BDCD400(米)又FEBD400(米)，DEBF200(米)AEAFFE800(米)，第8題解圖CECDDE600(米)在RtAEC中，AC1000(米)答：鋼纜AC的長度為1000米測量問題9. 【信息梳理】原題信息整理后的信息一選定河對岸MN上的點(diǎn)C處為橋的一端，在河岸點(diǎn)A處，測得CAB30CAB30二沿河岸AB前行30米后到達(dá)B處AB30米三在B處測得CBA60CBA60四求出河的寬度過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，則求CD的長度解：如解圖，過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，在RtADC中，CAB30，ADCD，(2分)在RtBCD中，CBA60，BDCD，(3分)第9題解圖ABADBD30米，CDCD30米，(4分)CD12.97513米(5分)答：河的寬度約為13米. (6分)一題多解：在ABC中，CAB30，ABC60，ACB90，AB30米，BC15米，(2分)如解圖，過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，(3分)在RtBCD中，CDBCsinCBD15sin601513米(5分)答：河的寬度約為13米(最優(yōu)解)(6分)10. 【信息梳理】原題信息整理后信息結(jié)論EN、DM、CB分別垂直于AB，DFCB，平臺DE1RtANE，RtCDF，ENDMBF，EDMNtanEAN0.6CDF45CDF為等腰直角三角形DFCFBMAB6，BC4AN5BM，EN4BM利用0.6，解BM的值解：設(shè)MBx，DFCB，CDF45，CDF是等腰直角三角形，DFCF.(1分)EN、DM、CB分別垂直于AB，DFCB，四邊形ENMD、四邊形DMBF為矩形，ENDMBF，EDMN，CFDFBMx，BC4，ENBF4x，(3分)ANABMNMB，MNDE1，AB6，AN5x，(5分)tanEAN，EAN31，0.6，解得x.(7分)即DM與BC的水平距離BM的長為(米)(8分)方向角問題11. 【思路分析】根據(jù)方向角算出ABC的三個(gè)內(nèi)角BAC、C、ABC分別為75、60、45，要求BC的長，則過點(diǎn)A作BC的垂線段得兩個(gè)特殊的三角形，通過特殊角的邊角關(guān)系可求出BC的長解：BAE30，BFAE，ABF30.FBC75，ABCFBCABF45.CAE45，BAC75.C60.(1分)過點(diǎn)A作ADBC，垂足為點(diǎn)D，第11題解圖在RtADB中，ABD45，AB60，則BDAD30.(3分)在RtADC中，C