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奇妙的裴波那契數(shù)列和黃金分割“斐波那契數(shù)列”的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多 斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了珠算原理(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團(tuán)體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數(shù)學(xué)。斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：0，1，1，2，3，5，8，13，21這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。它的通項公式為：(1/ 5)*(1+ 5)/2n - (1- 5)/2n（又叫“比內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例。）【 5表示根號5】很有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達(dá)的?！驹摂?shù)列有很多奇妙的屬性】比如：隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887還有一項性質(zhì)，從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積少（請自己驗證后自己確定）1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積多（請自己驗證后自己確定）1。如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什么6465？其實就是利用了斐波那契數(shù)列的這個性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項，事實上前后兩塊的面積確實差1，只不過后面那個圖中有一條細(xì)長的狹縫，一般人不容易注意到。如果任意挑兩個數(shù)為起始，比如5、-2.4，然后兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你將發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)列的發(fā)展，前后兩項之比也越來越逼近黃金分割，且某一項的平方與前后兩項之積的差值也交替相差某個值。如果所有的數(shù)都要求是自然數(shù)，能找出被任意正整數(shù)整除的項的此類數(shù)列，必然是斐波那契數(shù)列的某項開始每一項的倍數(shù)，如4,6,10,16,26 （從2開始每個數(shù)的兩倍）。斐波那契數(shù)列的第n項同時也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個數(shù)。斐波那契數(shù)列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2 ）的其他性質(zhì)：1.f(0)+f(1)+f(2)+ +f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+ +f(2n-1)=f(2n)-13.f(0)+f(2)+f(4)+ +f(2n)=f(2n+1)-14.f(0)2+f(1)2+ +f(n)2=f(n) f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)- +(-1)n f(n)=(-1)n f(n+1)-f(n)+16.f(m+n)=f(m-1) f(n-1)+f(m) f(n)7.f(n)2=(-1)(n-1)+f(n-1) f(n+1)8.f(2n-1)=f(n)2-f(n-2)2（1）細(xì)察下列各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花。（2）細(xì)察以下花的類似花瓣部分，它們也具有斐波那契數(shù)：紫宛、大波斯菊、雛菊。斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合：3 百合和蝴蝶花5 藍(lán)花耬斗菜、金鳳花、飛燕草8 翠雀花13 金盞草21 紫宛34，55，84 雛菊（3）斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點數(shù)葉子（假定沒有折損），直到到達(dá)與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個位置到達(dá)下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。（4）斐波那契數(shù)列與黃金比值相繼的斐波那契數(shù)的比的數(shù)列：它們交錯地或大于或小于黃金比的值。該數(shù)列的極限為。這種聯(lián)系暗示了無論（尤其在自然現(xiàn)象中）在哪里出現(xiàn)黃金比、黃金矩形或等角螺線，那里也就會出現(xiàn)斐波那契數(shù)，反之亦然?！九c之相關(guān)的數(shù)學(xué)問題】1.排列組合.有一段樓梯有10級臺階,規(guī)定每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級臺階有幾種不同的走法?這就是一個斐波那契數(shù)列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法1，2，3，5，8，13 所以，登上十級，有89種2.數(shù)列中相鄰兩項的前項比后項的極限.就是問，當(dāng)n趨于無窮大時，F(xiàn)(n)/F(n+1)的極限是多少？這個可由它的通項公式直接得到，極限是(-1+ 5)/2，這個就是所謂的黃金分割點，也是代表大自然的和諧的一個數(shù)字。3.求遞推數(shù)列a(1)=1,a(n+1)=1+1/a(n).的通項公式.由數(shù)學(xué)歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n).將菲波那契數(shù)列的通項式代入，化簡就得結(jié)果?！眷巢瞧鯏?shù)列別名】斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多 斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。斐波那契數(shù)列一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;兩個月后，生下一對小兔民數(shù)共有兩對;三個月以后，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對;依次類推可以列出下表：經(jīng)過月數(shù)：-0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12兔子對數(shù)：-1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233表中數(shù)字1，1，2，3，5，8構(gòu)成了一個數(shù)列。這個數(shù)列有關(guān)十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構(gòu)成了后一項。這個特點的證明：每月的大兔子數(shù)為上月的兔子數(shù)，每月的小兔子數(shù)為上月的大兔子數(shù)，即上上月的兔子數(shù)，相加。這個數(shù)列是意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家斐波那契在算盤全書中提出的，這個級數(shù)的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質(zhì)外，還可以證明通項公式為：an=1/ （1 5/2) n-(1- 5/2) n(n=1,2,3.）【數(shù)列值的另一種求法】F(n) = ( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) n 其中 x 表示取距離 x 最近的整數(shù)。斐波那契數(shù)列的應(yīng)用】一位魔術(shù)師拿著一塊邊長為8英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：“請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長13英尺，寬5英尺的長方形地毯?！边@位匠師對魔術(shù)師算術(shù)之差深感驚異，因為商者之間面積相差達(dá)一平方英尺呢！可是魔術(shù)師竟讓匠師用圖2和圖3的辦法達(dá)到了他的目的！這真是不可思議的事！親愛的讀者，你猜得到那神奇的一 平方英尺究竟跑到哪兒去呢？斐波那契數(shù)列在自然科學(xué)的其他分支，也有許多應(yīng)用。例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。另外，觀察延齡草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金鳳花,耬斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以發(fā)現(xiàn)它們花瓣數(shù)目具有斐波那契數(shù):3,5,8,13,21斐波那契螺旋具有13條順時針旋轉(zhuǎn)和21條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部具有13條逆時針旋轉(zhuǎn)和21條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數(shù)1.618033989 的倒數(shù)，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達(dá)到89，甚至144條。介紹把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是5(1/2)-1/2，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個十分有趣的數(shù)字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發(fā)現(xiàn)：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618這個數(shù)值的作用不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計等方面也有著不可忽視的作用。讓我們首先從一個數(shù)列開始，它的前面幾個數(shù)是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 .這個數(shù)列的名字叫做“斐波那契數(shù)列”，這些數(shù)被稱為“斐波那契數(shù)”。特點是即除前兩個數(shù)（數(shù)值為1）之外，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和。斐波那契數(shù)列與黃金分割有什么關(guān)系呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個菲波那契數(shù)的比值是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)- 0.618 。由于斐波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數(shù)。但是當(dāng)我們繼續(xù)計算出后面更大的斐波那契數(shù)時，就會發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實是非常接近黃金分割比的。不僅這個由1,1,2,3,5.開始的“斐波那契數(shù)”是這樣，隨便選兩個整數(shù)，然后按照斐波那契數(shù)的規(guī)律排下去，兩數(shù)間比也是會逐漸逼近黃金比的。一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我國的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什么？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關(guān)系都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。黃金分割三角形還有一個特殊性，所有的三角形都可以用四個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為2Sin18 。黃金分割點約等于0618：1是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。利用線段上的兩黃金分割點，可作出正五角星，正五邊形。2000多年前,古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，.后二數(shù)之比2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，.近似值的。黃金分割在文藝復(fù)興前后，經(jīng)過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為“金法”，17世紀(jì)歐洲的一位數(shù)學(xué)家，甚至稱它為“各種算法中最可寶貴的算法”。這種算法在印度稱之為“三率法”或“三數(shù)法則”，也就是我們現(xiàn)在常說的比例方法。其實有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數(shù)學(xué)家獨立創(chuàng)造的，后來傳入了印度。經(jīng)考證。歐洲的比例算法是源于我國而經(jīng)過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。因為它在造型藝術(shù)中具有美學(xué)價值，在工藝美術(shù)和日用品的長寬設(shè)計中，采用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應(yīng)用也非常廣泛，建筑物中某些線段的比就科學(xué)采用了黃金分割，舞臺上的報幕員并不是站在舞臺的正中央，而是偏在臺上一側(cè)，以站在舞臺長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規(guī)律排列著的。在很多科學(xué)實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優(yōu)選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數(shù)找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建筑、文藝、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實驗中有著廣泛而重要的應(yīng)用，所以人們才珍貴地稱它為“黃金分割”。黃金分割Golden Section是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系。黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值。應(yīng)用時一般取0.618 ，就像圓周率在應(yīng)用時取3.14一樣。黃金矩形(Golden Rectangle)的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊 1.618倍。黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅。在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它。希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個很好的例子，達(dá) 芬奇的維特魯威人符合黃金矩形。蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，最后的晚餐同樣也應(yīng)用了該比例布局。發(fā)現(xiàn)歷史由于公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們推斷當(dāng)時畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)觸及甚至掌握了黃金分割。公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個系統(tǒng)研究了這一問題，并建立起比例理論。公元前300年前后歐幾里得撰寫帕喬利時吸收了歐多克索斯的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著。中世紀(jì)后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)家帕喬利稱中末比為神圣比例，并專門為此著書立說。德國天文學(xué)家開普勒稱黃金分割為神圣分割。到19世紀(jì)黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數(shù)有許多有趣的性質(zhì)，人類對它的實際應(yīng)用也很廣泛。最著名的例子是優(yōu)選學(xué)中的黃金分割法或0.618法，是由美國數(shù)學(xué)家基弗于1953年首先提出的，70年代在中國推廣。_|a ba:b=(a+b):a通常用希臘字母 表示這個值。黃金分割奇妙之處，在于其比例與其倒數(shù)是一樣的。例如：1.618的倒數(shù)是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。確切值為( 5-1)/2生活應(yīng)用有趣的是，這個數(shù)字在自然界和人們生活中到處可見：人們的肚臍是人體總長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。大多數(shù)門窗的寬長之比也是0.618 ；有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137度28，這恰好是把圓周分成1:0.618 的兩條半徑的夾角。據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，這種角度對植物通風(fēng)和采光效果最佳。建筑師們對數(shù)學(xué)0.618 特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是近世紀(jì)的法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618 有關(guān)的數(shù)據(jù)。人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618 處。藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618 處，能使琴聲更加柔和甜美。數(shù)字0.618 更為數(shù)學(xué)家所關(guān)注，它的出現(xiàn)，不僅解決了許多數(shù)學(xué)難題(如：十等分、五等分圓周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且還使優(yōu)選法成為可能。優(yōu)選法是一種求最優(yōu)化問題的方法。如在煉鋼時需要加入某種化學(xué)元素來增加鋼材的強(qiáng)度，假設(shè)已知在每噸鋼中需加某化學(xué)元素的量在1000 2000克之間，為了求得最恰當(dāng)?shù)募尤肓?，需要?000克與2000克這個區(qū)間中進(jìn)行試驗。通常是取區(qū)間的中點(即1500克)作試驗。然后將試驗結(jié)果分別與1000克和2000克時的實驗結(jié)果作比較，從中選取強(qiáng)度較高的兩點作為新的區(qū)間，再取新區(qū)間的中點做試驗，再比較端點，依次下去，直到取得最理想的結(jié)果。這種實驗法稱為對分法。但這種方法并不是最快的實驗方法，如果將實驗點取在區(qū)間的0.618處，那么實驗的次數(shù)將大大減少。這種取區(qū)間的0.618處作為試驗點的方法就是一維的優(yōu)選法，也稱0.618法。實踐證明，對于一個因素的問題，用“0.618法”做16次試驗就可以完成“對分法”做2500次試驗所達(dá)到的效果。因此大畫家達(dá) 芬奇把0.618 稱為黃金數(shù)。0.618與戰(zhàn)爭0.618與戰(zhàn)略戰(zhàn)役0.618，一個極為迷人而神秘的數(shù)字，而且它還有著一個很動聽的名字 黃金分割律，它是古希臘著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于2500多年前發(fā)現(xiàn)的。古往今來，這個數(shù)字一直被后人奉為科學(xué)和美學(xué)的金科玉律。在藝術(shù)史上，幾乎所有的杰出作品都不謀而合地驗證了這一著名的黃金分割律，無論是古希臘帕特農(nóng)神廟，還是中國古代的兵馬俑，它們的垂直線與水平線之間竟然完全符合1比0.618的比例。也許，0.618在科學(xué)藝術(shù)上的表現(xiàn)我們已了解了很多，但是，你有沒有聽說過，0.618還與炮火連天、硝煙彌漫、血肉橫飛的慘烈、殘酷的戰(zhàn)場也有著不解之緣，在軍事上也顯示出它巨大而神秘的力量？0.618與武器裝備在冷兵器時代，雖然人們還根本不知道黃金分割率這個概念，但人們在制造寶劍、大刀、長矛等武器時，黃金分割率的法則也早已處處體現(xiàn)了出來，因為按這樣的比例制造出來的兵器，用起來會更加得心應(yīng)手。當(dāng)發(fā)射子彈的步槍剛剛制造出來的時候，它的槍把和槍身的長度比例很不科學(xué)合理，很不方便于抓握和瞄準(zhǔn)。到了1918年，一個名叫阿爾文 約克的美遠(yuǎn)征軍下士，對這種步槍進(jìn)行了改造，改進(jìn)后的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。實際上，從鋒利的馬刀刃口的弧度，到子彈、炮彈、彈道導(dǎo)彈沿彈道飛行的頂點；從飛機(jī)進(jìn)入俯沖轟炸狀態(tài)的最佳投彈高度和角度，到坦克外殼設(shè)計時的最佳避彈坡度，我們也都能很容易地發(fā)現(xiàn)黃金分割率無處不在。在大炮射擊中，如果某種間瞄火炮的最大射程為12公里，最小射程為4公里，則其最佳射擊距離在9公里左右，為最大射程的2/3，與0.618十分接近。在進(jìn)行戰(zhàn)斗部署時，如果是進(jìn)攻戰(zhàn)斗，大炮陣地的配置位置一般距離己方前沿為1/3倍最大射程處，如果是防御戰(zhàn)斗，則大炮陣地應(yīng)配置距己方前沿2/3倍最大射程處。0.618與戰(zhàn)術(shù)布陣在我國歷史上很早發(fā)生的一些戰(zhàn)爭中，就無不遵循著0.618的規(guī)律。春秋戰(zhàn)國時期，晉厲公率軍伐鄭，與援鄭之楚軍決戰(zhàn)于鄢陵。厲公聽從楚叛臣苗賁皇的建議，把楚之右軍作為主攻點，因此以中軍之一部進(jìn)攻楚軍之左軍；以另一部進(jìn)攻楚軍之中軍，集上軍、下軍、新軍及公族之卒，攻擊楚之右軍。其主要攻擊點的選擇，恰在黃金分割點上。把黃金分割律在戰(zhàn)爭中體現(xiàn)得最為出色的軍事行動，還應(yīng)首推成吉思汗所指揮的一系列戰(zhàn)事。數(shù)百年來，人們對成吉思汗的蒙古騎兵，為什么能像颶風(fēng)掃落葉般地席卷歐亞大陸頗感費解，因為僅用游牧民族的彪悍勇猛、殘忍詭譎、善于騎射以及騎兵的機(jī)動性這些理由，都還不足以對此做出令人完全信服的解釋?；蛟S還有別的更為重要的原因？仔細(xì)研究之下，果然又從中發(fā)現(xiàn)了黃金分割律的偉大作用。蒙古騎兵的戰(zhàn)斗隊形與西方傳統(tǒng)的方陣大不相同，在它的5排制陣形中，人盔馬甲的重騎兵和快捷靈動輕騎兵的比例為2:3，這又是一個黃金分割！你不能不佩服那位馬背軍事家的天才妙悟，被這樣的天才統(tǒng)帥統(tǒng)領(lǐng)的大軍，不縱橫四海、所向披靡，那才怪呢。馬其頓與波斯的阿貝拉之戰(zhàn)，是歐洲人將0.618用于戰(zhàn)爭中的一個比較成功的范例。在這次戰(zhàn)役中，馬其頓的亞歷山大大帝把他的軍隊的攻擊點，選在了波斯大流士國王的軍隊的左翼和中央結(jié)合部。巧的是，這個部位正好也是整個戰(zhàn)線的“黃金點”，所以盡管波斯大軍多于亞歷山大的兵馬數(shù)十倍，但憑借自己的戰(zhàn)略智慧，亞歷山大把波斯大軍打得潰不成軍。這一戰(zhàn)爭的深刻影響直到今天仍清晰可見，在海灣戰(zhàn)爭中，多國部隊就是采用了類似的布陣法打敗了伊拉克軍隊。兩支部隊交戰(zhàn)，如果其中之一的兵力、兵器損失了1/3以上，就難以再同對方交戰(zhàn)下去。正因為如此，在現(xiàn)代高技術(shù)戰(zhàn)爭中，有高技術(shù)武器裝備的軍事大國都采取長時間空中打擊的辦法，先徹底摧毀對方1/3以上的兵力、武器，爾后再展開地面進(jìn)攻。讓我們以海灣戰(zhàn)爭為例。戰(zhàn)前，據(jù)軍事專家估計，如果共和國衛(wèi)隊的裝備和人員，經(jīng)空中轟炸損失達(dá)到或超過30%，就將基本喪失戰(zhàn)斗力。為了使伊軍的損耗達(dá)到這個臨界點，美英聯(lián)軍一再延長轟炸時間，持續(xù)38天，直到摧毀了伊拉克在戰(zhàn)區(qū)內(nèi)428輛坦克中的38%、2280輛裝甲車中的32%、3100門火炮中的47%，這時伊軍實力下降至60%左右，這正是軍隊喪失戰(zhàn)斗力的臨界點。也就是將伊拉克軍事力量削弱到黃金分割點上后，美英聯(lián)軍才抽出“沙漠軍刀”砍向薩達(dá)姆，在地面作戰(zhàn)只用了100個小時就達(dá)到了戰(zhàn)爭目的。在這場被譽為“沙漠風(fēng)暴”的戰(zhàn)爭中，創(chuàng)造了一場大戰(zhàn)僅陣亡百余人奇跡的施瓦茨科普夫?qū)④?，算不上是大師級人物，但他的運氣卻幾乎和所有的軍事藝術(shù)大師一樣好。其實真正重要的并不是運氣，而是這位率領(lǐng)一支現(xiàn)代大軍的統(tǒng)帥，在進(jìn)行戰(zhàn)爭的運籌帷幄中，有意無意地涉及了0.618，也就是說，他多多少少托了黃金分割律的福。此外，在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，許多國家的軍隊在實施具體的進(jìn)攻任務(wù)時，往往是分梯隊進(jìn)行的，第一梯隊的兵力約占總兵力的2/3，第二梯隊約占1/3。在第一梯隊中，主攻方向所投入的兵力通常為第一梯隊總兵力的2/3，助攻方向則為1/3。防御戰(zhàn)斗中，第一道防線的兵力通常為總數(shù)的2/3，第二道防線的兵力兵器通常為總數(shù)的1/3。拿破侖大帝敗于黃金分割線？0.618不僅在武器和一時一地的戰(zhàn)場布陣上體現(xiàn)出來，而且在區(qū)域廣闊、時間跨度長的宏觀的戰(zhàn)爭中，也無不得到充分地展現(xiàn)。一代梟雄的的拿破侖大帝可能怎么也不會想到，他的命運會與0.618緊緊地聯(lián)系在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中氣候最為涼爽宜人的夏季，在未能消滅俄軍有生力量的博羅金諾戰(zhàn)役后，拿破侖于此時率領(lǐng)著他的大軍進(jìn)入了莫斯科。這時的他可是躊躇滿志、不可一世。他并未意識到，天才和運氣此時也正從他身上一點點地消失，他一生事業(yè)的頂峰和轉(zhuǎn)折點正在同時到來。后來，法軍便在大雪紛揚、寒風(fēng)呼嘯中灰溜溜地撤離了莫斯科。三個月的勝利進(jìn)軍加上兩個月的盛極而衰，從時間軸上看，法蘭西皇帝透過熊熊烈焰俯瞰莫斯科城時，腳下正好就踩著黃金分割線。1941年6月22日，納粹德國啟動了針對蘇聯(lián)的“巴巴羅薩”計劃，實行閃電戰(zhàn)，在極短的時間里，就迅速占領(lǐng)了的蘇聯(lián)廣袤的領(lǐng)土，并繼續(xù)向該國的縱深推進(jìn)。在長達(dá)兩年多的時間里，德軍一直保持著進(jìn)攻的勢頭，直到1943年8月，“巴巴羅薩”行動結(jié)束，德軍從此轉(zhuǎn)入守勢，再也沒能力對蘇軍發(fā)起一次可以稱之為戰(zhàn)役行動的進(jìn)攻。被所有戰(zhàn)爭史學(xué)家公認(rèn)為蘇聯(lián)衛(wèi)國戰(zhàn)爭轉(zhuǎn)折點的斯大林格勒戰(zhàn)役，就發(fā)生在戰(zhàn)爭爆發(fā)后的第17個月，正是德軍由盛而衰的26個月時間軸線的黃金分割點。證明方法設(shè)一條線段AB的長度為a，C點在靠近B點的黃金分割點上且AC為bAC/AB=BC/ACb2=a*(a-b)b2=a2-aba2-ab+(1/4)b2=(5/4)*b2(a-b/2)2=(5/4)b2a-b/2=（ 5/2）*ba-b/2=( 5)b/2a=b/2+( 5)b/2a=b( 5+1）/2b/a=( 5-1）/2線段的黃金分割(尺規(guī)作圖)1.設(shè)已知線段為AB，過點B作BC AB，且BC=AB/2；2.連結(jié)AC；3.以C為圓心，CB為半徑作弧，交AC于D；4.以A為圓心，AD為半徑作弧，交AB于P，則點P就是AB的黃金分割點。古希臘巴特農(nóng)神廟是舉世聞名的完美建筑，它的高和寬的比是0.618。建筑師們發(fā)現(xiàn)，按這樣的比例來設(shè)計殿堂，殿堂更加雄偉、美麗；去設(shè)計別墅，別墅將更加舒適、漂亮連一扇門窗若設(shè)計為黃金矩形都會顯得更加協(xié)調(diào)和令人賞心悅目事實上，在一個黃金矩形中，以一個頂點為圓心，矩形的較短邊為半徑作一個四分之一圓，交較長邊與一點，過這個點，作一條直線垂直于較長邊，這時，生成的新矩形（不是那個正方形）仍然是一個黃金矩形，這個操作可以無限重復(fù)，產(chǎn)生無數(shù)個黃金矩形。令人驚訝的是，人體自身也和0.618密切相關(guān)，對人體解剖很有研究的意大利畫家達(dá) 芬奇發(fā)現(xiàn)，人的肚臍位于身長的0.618處；咽喉位于肚臍與頭頂長度的0.618處；肘關(guān)節(jié)位于肩關(guān)節(jié)與指頭長度的0.618處，人體存在著肚臍、咽喉、膝蓋、肘關(guān)節(jié)四個黃金分割點，它們也是人賴以生存的四處要害。黃金分割與人的關(guān)系黃金分割與人的關(guān)系相當(dāng)密切。地球表面的緯度范圍是0 90 ，對其進(jìn)行黃金分割，則34.38 55.62 正是地球的黃金地帶。無論從平均氣溫、年日照時數(shù)、年降水量、相對濕度等方面都是具備適于人類生活的最佳地區(qū)。說來也巧，這一地區(qū)幾乎囊括了世界上所有的發(fā)達(dá)國家。人體美學(xué)中的黃金分割人體美學(xué)觀察受到種族、社會、個人各方面因素的影響，牽涉到形體與精神、局部與整體的辯證統(tǒng)一，只有整體的和諧、比例協(xié)調(diào)，才能稱得上一種完整的美。本文主要討論美學(xué)觀察的一些定律。（一）黃金分割律這是公元前六世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所發(fā)現(xiàn)，后來古希臘美學(xué)家柏拉圖將此稱為黃金分割。這其實是一個數(shù)字的比例關(guān)系，即把一條線分為兩部分，此時長段與短段之比恰恰等于整條線與長段之比，其數(shù)值比為1.618 : 1或1 : 0.618，也就是說長段的平方等于全長與短段的乘積。0.618，以嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值。為什么人們對這樣的比例，會本能地感到美的存在？其實這與人類的演化和人體正常發(fā)育密切相關(guān)。據(jù)研究，從猿到人的進(jìn)化過程中，人體結(jié)構(gòu)中有許多比例關(guān)系接近0.618，從而使人體美在幾十萬年的歷史積淀中固定下來。人類最熟悉自己，勢必將人體美作為最高的審美標(biāo)準(zhǔn)，凡是與人體相似的物體就喜歡它，就覺得美。于是黃金分割律作為一種重要形式美法則，成為世代相傳的審美經(jīng)典規(guī)律，至今不衰！近年來，在研究黃金分割與人體關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)了人體結(jié)構(gòu)中有14個“黃金點”（物體短段與長段之比值為 0.618），12個“黃金矩形”（寬與長比值為 0.618的長方形）和2個“黃金指數(shù)”（兩物體間的比例關(guān)系為 0.618）。黃金點：(1)肚臍：頭頂足底之分割點；(2)咽喉：頭頂肚臍之分割點；(3)、(4)膝關(guān)節(jié)：肚臍足底之分割點；(5)、(6)肘關(guān)節(jié)：肩關(guān)節(jié)中指尖之分割點；(7)、(8)乳頭：軀干乳頭縱軸上這分割點；(9)眉間點：發(fā)際頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(10)鼻下點：發(fā)際頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(11)唇珠點：鼻底頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(12)頦唇溝正路點：鼻底頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(13)左口角點：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點；(14) 右口角點：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點。 面部黃金分割律 面部三庭五眼黃金矩形：(1)軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均數(shù)為寬，肩峰至臀底的高度為長；(2)面部輪廓：眼水平線的面寬為寬，發(fā)際至頦底間距為長；(3)鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長；(4)唇部輪廓：靜止?fàn)顟B(tài)時上下唇峰間距為寬，口角間距為長；(5)、(6)手部輪廓：手的橫徑為寬，五指并攏時取平均數(shù)為長；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側(cè)切牙、尖牙（左右各三個）輪廓：最大的近遠(yuǎn)中徑為寬，齒齦徑為長。黃金指數(shù)：(1)反映鼻口關(guān)系的鼻唇指數(shù)：鼻翼寬與口角間距之比近似黃金數(shù)；(2)反映眼口關(guān)系的目唇指數(shù)：口角間距與兩眼外眥間距之比近似黃金數(shù)。 0.618，作為一個人體健美的標(biāo)準(zhǔn)尺度之一，是無可非議的，但不能忽視其存在著“模糊特性”，它同其它美學(xué)參數(shù)一樣，都有一個允許變化的幅度，受種族、地域、個體差異的制約。（二）比例關(guān)系是用數(shù)字來表示人體美，并根據(jù)一定的基準(zhǔn)進(jìn)行比較。用同一人體的某一部位作為基準(zhǔn)，來判定它與人體的比例關(guān)系的方法被稱為同身方法。分為三組：系數(shù)法，常指頭高身長指數(shù)，如畫人體有坐五、立七，即身高在坐位時為頭高的五倍、立位時為7或7.5倍；百分?jǐn)?shù)法，將身長視為100%，身體各部位在其中的比例；兩分法：即把人體分成大小兩部分，大的部分從腳到臍，小的部分為臍到頭頂。標(biāo)準(zhǔn)的面型，其長寬比例協(xié)調(diào)，符合三停五眼。三停是指臉型的長度，從頭部發(fā)際到下頦的距離分為三等分，即從發(fā)際到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下頦各分為一等分，各稱一停共三停；五眼是指臉型的寬度，雙耳間正面投影的長度為五只眼裂的長度，除眼裂外、內(nèi)此間距為一眼裂長度、兩側(cè)外眥角到耳部各有一眼裂長度.醫(yī)學(xué)與0.618有著千絲萬縷的聯(lián)系，它可解釋人為什么在環(huán)境22至24攝攝氏度時感覺最舒適。因為人的體溫為37 C與0.618的乘積為22.8 C，而且這一溫度中肌體的新陳代謝、生理節(jié)奏和生理功能均處于最佳狀態(tài)。科學(xué)家們還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外界環(huán)境溫度為人體溫度的0.618倍時，人會感到最舒服現(xiàn)代醫(yī)學(xué)研究還表明，0.618與養(yǎng)生之道息息相關(guān)，動與靜是一個0.618的比例關(guān)系，大致四分動六分靜，才是最佳的養(yǎng)生之道。醫(yī)