數(shù)學(xué)建模——水塔流量問題

精選文庫(kù)實(shí)驗(yàn)十四水塔流量問題【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?了解有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念和原理。2初步了解處理數(shù)據(jù)插值與擬合的基本方法，如樣條插值、分段插值等。3學(xué)習(xí)掌握用MATLAB命令處理數(shù)據(jù)插值與擬合問題?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】某居民區(qū)有一供居民用水的圓形水塔，一般可以通過測(cè)量其水位來估計(jì)水的流量。但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停止供水，這段時(shí)間是無(wú)法測(cè)量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時(shí)。水塔是一個(gè)高12.2米、直徑17.4米的正圓柱。按照設(shè)計(jì)，水塔水位降到約8.2米時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)，水位升到約10.8米時(shí)水泵停止工作。某一天的水位測(cè)量記錄如表1所示，試估計(jì)任何時(shí)刻（包括水泵正供水時(shí)）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量。表1水位測(cè)量啟示錄（/表示水泵啟動(dòng)）時(shí)刻（h）水位（cm）09680.929481.849312.959133.878984.988815.908697.018527.938398.97822時(shí)刻（h）水位（cm）9.98/10.92/10.95108212.03105012.95102113.8899414.9896515.9094116.8391817.93892時(shí)刻（h）水位（cm）19.0486619.9684320.8482222.01/22.96/23.88105924.99103525.911018【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，常常遇到這樣的問題：由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量得到的一批離散樣點(diǎn)，需要確定滿足特定要求的曲線或曲面（即變量之間的函數(shù)關(guān)系或預(yù)測(cè)樣點(diǎn)之外的數(shù)據(jù)）。如果要求曲線（面）通過所給的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)（即確定一個(gè)初等函數(shù)通過已知各數(shù)據(jù)，一般用多項(xiàng)式或分段多項(xiàng)式），這就是數(shù)據(jù)插值。在數(shù)據(jù)較少的情況下，這樣做能夠取得好的效果。但是，如果數(shù)據(jù)較多，那么插值函數(shù)是一個(gè)次數(shù)很高的函數(shù)，比較復(fù)雜。如果不要求曲線（面）通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象整體的變化趨勢(shì)，可得到更簡(jiǎn)單實(shí)用的近似函數(shù)，這就是數(shù)據(jù)擬合。函數(shù)插值和曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者在數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。1數(shù)據(jù)插值的基本方法拉格朗日插值若知道函數(shù)在互異的兩個(gè)點(diǎn)和處的函數(shù)值和，而想估計(jì)該函數(shù)在另一點(diǎn)處的函數(shù)值，最自然的想法是作過點(diǎn)（，）和點(diǎn)（，）的直線，用作為準(zhǔn)確值的近似值，如果得到的結(jié)果誤差太大，還可增加一點(diǎn)的函數(shù)值，即已知在互異的三個(gè)點(diǎn)，和處的函數(shù)值，和，可以構(gòu)造過這三點(diǎn)的二次曲線，用作為準(zhǔn)確值的近似值。一般的，若已知在互異的1個(gè)點(diǎn)，處的函數(shù)值，則可以考慮構(gòu)造一個(gè)過這1個(gè)點(diǎn)的次數(shù)不超過的多項(xiàng)式 （1）通過所有1個(gè)點(diǎn)，即滿足，0，1，（2）然后用作為準(zhǔn)確值的近似值。這樣構(gòu)造出來的多項(xiàng)式稱為的次拉格朗日插值多項(xiàng)式或插值函數(shù)。分段插值多項(xiàng)式歷來都被認(rèn)為是最好的逼近工具之一，它插值光滑，但不具有收斂性，會(huì)隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目增多而次數(shù)升高，一般不宜采用高次多項(xiàng)式（如7）插值，否則逼近的效果往往是不理想的，甚至發(fā)生龍格振蕩（當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目不斷增大時(shí)，在區(qū)間中部趨于，但對(duì)于區(qū)間兩端的，并不趨于，也稱龍格現(xiàn)象）。在插值范圍較小，用低次插值往往就能奏效。最直觀的辦法就是將各數(shù)據(jù)點(diǎn)用折線連接起來，這種增加節(jié)點(diǎn)，用分段低次多項(xiàng)式插值的化整為零的處理方法稱作分段插值法，即不去尋求整個(gè)插值區(qū)間上的一個(gè)高次多項(xiàng)式，而是把區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間。如果 （3）那么分段線性插值公式為，0，1，（4）分段線性插值通常有較好的收斂性和穩(wěn)定性，算法簡(jiǎn)單，克服了龍格現(xiàn)象，其缺點(diǎn)是不如拉格朗日插值多項(xiàng)式光滑。樣條插值分段線性插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)一般不存在，且不光滑，這就導(dǎo)致了樣條插值函數(shù)的提出。在機(jī)械制造、航海、航空工業(yè)中，經(jīng)常需要解決下列問題：已知一些數(shù)據(jù)點(diǎn)（，），（，），（，），如何全部通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)作一條比較光滑的曲線呢？繪圖員解決了這一問題，首先把數(shù)據(jù)描繪在平面上，再把一根富有彈性的細(xì)直條（稱為樣條）彎曲，使其一邊通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，用壓鐵固定其形狀，沿樣條邊繪出一條光滑的曲線，往往要用幾根樣條，分段完成上述工作，同時(shí)也應(yīng)讓連接點(diǎn)處保持光滑。對(duì)繪圖員用樣條畫出的曲線，進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，就導(dǎo)出了樣條函數(shù)的概念。如今已經(jīng)成為了一個(gè)應(yīng)用極為廣泛的數(shù)學(xué)分支?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)上所說的樣條，實(shí)質(zhì)上指分段多項(xiàng)式的光滑連接。設(shè)有區(qū)間，的一個(gè)劃分如（3）式，稱分段函數(shù)為次樣條函數(shù)，若它有：（1）在每個(gè)小區(qū)間上的次數(shù)不超過多項(xiàng)式；（2）（3）在區(qū)間，上有1階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；用樣條函數(shù)作出的插值稱為樣條插值，工程上廣泛采用三次樣條插值。2曲線擬合的基本方法曲線擬合問題是指：已知平面上個(gè)點(diǎn)（，），0，1，互不相同，尋求函數(shù)，使在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。線性最小二乘法是解決曲線擬合最常用的方法，其基本思路是，令（5）其中是事先選定的一組函數(shù)，系數(shù)（0，1，, t=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91; h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018; c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);%用3次多項(xiàng)式擬合第1時(shí)段的水位 a1=polyder(c1);%對(duì)擬合的多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)得到第1時(shí)段流量 tp1=0:0.1:9;%對(duì)第1時(shí)段的時(shí)刻進(jìn)行劃分 x1=abs(polyval(a1,tp1);%計(jì)算第1時(shí)段各時(shí)刻的流量類似地，可計(jì)算第2時(shí)段各時(shí)刻的流量。 c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3); a2=polyder(c2); tp2=11:0.1:20.8; x2=abs(polyval(a2,tp2);在第1供水時(shí)段（t911）之前（即第1時(shí)段）和之后（即第2時(shí)段）各取幾點(diǎn)，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合水泵第1供水時(shí)段的流量。為使流量函數(shù)在t9和t11連續(xù)，我們簡(jiǎn)單地只取4個(gè)點(diǎn)，擬合3次多項(xiàng)式（即曲線必過這4個(gè)點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)如下： xx1=abs(polyval(a1,8 9); xx2=abs(polyval(a2,11 12); xx12=xx1,xx2; c12=polyfit(8 9 11 12,xx12,3);%擬合水泵供水時(shí)段的流量函數(shù) tp12=9:0.1:11; x12=polyval(c12,tp12); %計(jì)算第1供水時(shí)段各時(shí)刻的流量在第2供水時(shí)段之前取t20，20.8兩點(diǎn)的流水量，第3時(shí)段僅有3個(gè)水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個(gè)數(shù)值擬合第2供水時(shí)段的流量： dt3=diff(t(22:24);%最后3個(gè)時(shí)刻的兩兩之差 dh3=diff(h(22:24);%最后3個(gè)水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3;%用差分計(jì)算t（22）和t（23）的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23);%取第2時(shí)段20，20.8兩點(diǎn)和第3時(shí)段23.88，24.99兩點(diǎn) xx3=abs(polyval(a2,t3(1:2),dht3;取第2時(shí)段20，20.8兩點(diǎn)和第3時(shí)段23.88，24.99兩點(diǎn)的流量 c3=polyfit(t3,xx3,3)%擬合出第2水泵供水時(shí)段的流量函數(shù) tp3=20.8:0.1:24; x3=polyval(c3,tp3);%輸出第2供水時(shí)段（外推到t24）各時(shí)刻的流量求第1、2時(shí)段和第1、2供水時(shí)段流量的積分之和，就是一天總用水量。雖然諸時(shí)段的流量已表示為多項(xiàng)式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍可用數(shù)值積分計(jì)算： y1=0.1*trapz(x1)%第1時(shí)段用水量，0.1為積分步長(zhǎng)y1 = 146.1815 y2=0.1*trapz(x2) %第2時(shí)段用水量y2 = 258.0441 y12=0.1*trapz(x12) %第1水泵供水時(shí)段用水量y12 = 50.3990 y3=0.1*trapz(x3) %第2水泵供水時(shí)段用水量y3 = 74.9138 y=(y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01%總用水量為水位差乘以水塔截面積，0.01是因?yàn)榱髁繂挝粸槔迕讁 = 1.2592e+003【結(jié)果分析】計(jì)算出來的各時(shí)段用水量可以用測(cè)量記錄來檢驗(yàn)，y1可用第1時(shí)段水位測(cè)量下降高度為968822146來檢驗(yàn)，類似地，y2用1082822260來檢驗(yàn)。供水時(shí)段流量的一種檢驗(yàn)方法如下：供水時(shí)段用水量加上水位上升值260是該時(shí)段泵入的水量，除以時(shí)間長(zhǎng)度得到水泵的功率（單位時(shí)間泵入水量），而兩個(gè)供水時(shí)段的功率應(yīng)大致相等。第1、2時(shí)段水泵的功率計(jì)算如下： p1=(y12+260)/2p1 = 155.1995 tp2=20.8:0.1:23; xp2=polyval(c3,tp2); p2=(0.1*trapz(x3)+260)/2.2p2 =152.2335可以看到，兩次水泵泵水的功率差別不大。下面是水塔一天的流量曲線圖：圖14.1當(dāng)取三次多項(xiàng)式擬合的流量曲線圖由圖14.1我們可以看到，流量曲線與原始記錄基本上相吻合，但在第1時(shí)段和第1泵水時(shí)段的交接處曲線不太光滑，這說明我們采用3次曲線通過4點(diǎn)的做法不夠好，應(yīng)該多取幾點(diǎn)進(jìn)行擬合。0點(diǎn)到10點(diǎn)很流量很低，10點(diǎn)到下午3點(diǎn)即中午時(shí)間段是用水高峰期?！揪毩?xí)與思考】1假定某天的氣溫變化見下表，試找出這一天的氣溫變化規(guī)律：時(shí)刻（h）0123456789101112溫度（t）15141414141516182022232528時(shí)刻（h）131415161718192021222324溫度（t）3132312927252422201817162在化工生產(chǎn)中常常需要知道丙烷在各種溫度和壓力下的導(dǎo)熱系數(shù)。下面是實(shí)驗(yàn)得到的一組數(shù)據(jù)：（）68688787106106140140（103）9.798113.3249.007813.3559.791814.2779.656312.4630.08480.08970.07620.08070.06960.07530.06110.0651試求99（）和10.3（103）下的導(dǎo)熱系