浙江專版高考數(shù)學第7章立體幾何第6節(jié)空間向量及其運算教師用書.docx

第六節(jié)空間向量及其運算1空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)，使得ab.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使pxayb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc，其中，a，b，c叫做空間的一個基底3兩個向量的數(shù)量積(1)非零向量a，b的數(shù)量積ab|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運算律：結(jié)合律：(a)b(ab)；交換律：abba；分配律：a(bc)abac.4空間向量的坐標表示及其應用設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐標表示數(shù)量積aba1b1a2b2a3b3共線ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夾角cosa，b(a0，b0)1(思考辨析)判斷下列結(jié)合的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面()(2)對任意兩個空間向量a，b，若ab0，則ab.()(3)若ab0，則a，b是鈍角()(4)若A，B，C，D是空間任意四點，則有0.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)如圖761所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()圖761AabcB.abcCabcD.abcA()c(ba)abc.3O為空間任意一點，若，則A，B，C，P四點()A一定不共面B一定共面C不一定共面D無法判斷B由1知，A，B，C，P四點共面4已知向量a(1,0，1)，則下列向量中與a成60夾角的是()A(1,1,0)B(1，1,0)C(0，1,1)D(1,0,1)B各選項給出的向量的模都是，|a|.對于選項A，設(shè)b(1,1,0)，則cos a，b.因為0a，b180，所以a，b120.對于選項B，設(shè)b(1，1,0)，則cos a，b.因為0a，b180，所以a，b60，正確對于選項C，設(shè)b(0，1,1)，則cos a，b.因為0a，b180，所以a，b120.對于選項D，設(shè)b(1,0,1)，則cos a，b1.因為0a，b180，所以a，b180.故選B.5已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，則(ab)(ab)的值為_. 【導學號：51062241】13(ab)(ab)a2b242(2)2(4)262(3)22213.空間向量的線性運算如圖762所示，在空間幾何體ABCDA1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：圖762(1)；(2).解(1)因為P是C1D1的中點，所以aacacb.6分(2)因為M是AA1的中點，所以aabc.9分因為N是BC的中點，則ca，12分所以abc.15分規(guī)律方法1.(1)選擇不共面的三個向量作為基向量，這是利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的前提(2)用已知基向量表示指定向量時，應結(jié)合已知和所求向量觀察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進行運算2首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，我們把這個法則稱為向量加法的多邊形法則變式訓練1如圖763所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且2，若xyz，則xyz_. 【導學號：51062242】圖763連接ON，設(shè)a，b，c，則()bca，aabc.又xyz，所以x，y，z，因此xyz.共線向量與共面向量定理的應用(1)(2017寧波中學模擬)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，且a與b反向，則_.(2)如圖764所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足k，k(0k1)向量是否與向量，共面？直線MN是否與平面ABB1A1平行？圖764(1)ab，且a與b反向，(6,21,2)k(1,0,2)，k0.解得或當2，時，k2不合題意，舍去當3，時，a與b反向因此3.(2)因為k，k.所以kkk()k()kkk()(1k)k，所以由共面向量定理知向量與向量，共面.7分當k0時，點M，A重合，點N，B重合，MN在平面ABB1A1內(nèi)；當0k1時，MN不在平面ABB1A1內(nèi)，又由知與，共面，所以MN平面ABB1A1.15分規(guī)律方法1.判定空間三點共線，要結(jié)合已知向量從三點中提煉兩個共點向量，利用共線向量定理判斷，但一定要說明兩線有公共點2證明點共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明xy，或?qū)臻g任一點O，有xy，或xyz(xyz1)變式訓練2已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足()(1)判斷，三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)解(1)由已知3，()().2分即，共面.7分(2)由(1)知，共面且過同一點M.四點M，A，B，C共面，從而點M在平面ABC內(nèi).15分空間向量數(shù)量積及其應用如圖765所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值圖765解(1)證明：設(shè)p，q，r.由題意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三個向量兩兩夾角均為60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.4分，即MNAB.同理可證MNCD.7分(2)設(shè)向量與的夾角為.()(qr)，qp，(qr).12分又|a，|cos aacos .cos .向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.15分規(guī)律方法1.空間向量數(shù)量積計算的兩種方法(1)基向量法：ab|a|b|cosa，b(2)坐標法：設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則abx1x2y1y2z1z2.2利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題(1)abab0.(2)|a|.(3)cosa，b.變式訓練3如圖766，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60.圖766(1)求AC1的長；(2)求AC與BD1夾角的余弦值解(1)設(shè)a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.3分|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|，即AC1的長為.7分(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.10分cos，.AC與BD1夾角的余弦值為.15分思想與方法1利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向量是向量應用的基礎(chǔ)2利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運算可以解決一些距離、夾角問題3用向量解決立體幾何問題時，可用基向量的運算求解，適于建系的可用坐標運算求解易錯與防范1在利用xy(*)證明MN平面ABC時，必須說明M點或N點不在平面ABC內(nèi)(因為(*)式只表示與，共面)2向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但(ab)ca(bc)不一定成立3求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應進行轉(zhuǎn)化課時分層訓練(四十一)空間向量及其運算A組基礎(chǔ)達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1在空間直角坐標系中，A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A垂直B平行C異面D相交但不垂直B由題意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，與共線，又與沒有公共點ABCD.2已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，則實數(shù)的值為() 【導學號：51062243】A2BC.D2D由題意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.3空間四邊形ABCD的各邊和對角線均相等，E是BC的中點，那么()A.D.與的大小不能比較C取BD的中點F，連接EF，則EF綊CD.因為AEBC，90.所以0，.4已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則的值為()Aa2B.a2C.a2D.a2C如圖，設(shè)a，b，c，則|a|b|c|a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.5如圖767，在大小為45的二面角AEFD中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是()圖767A.B.C1D.D，|2|2|2|22221113，故|.二、填空題6已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，則_.9由題意知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得9.7正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點，則EF的長為_. 【導學號：51062244】|2()22()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的長為.8已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，當取最小值時，點Q的坐標是_由題意，設(shè)，即(，2)，則(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，當時有最小值，此時Q點坐標為.三、解答題9已知空間中三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值. 【導學號：51062245】解(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，3分|c|3|m|3，m1.c(2，1,2)或(2,1，2).6分(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)ab(1,1,0)(1,0,2)1.9分又|a|，|b|，cosa，b，故向量a與向量b的夾角的余弦值為.15分10(2017舟山模擬)已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，為邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|，且a分別與，垂直，求向量a的坐標解(1)由題意可得：(2，1,3)，(1，3,2)，所以cos，.3分所以sin，所以以，為邊的平行四邊形的面積為S2|sin，147.6分(2)設(shè)a(x，y，z)，由題意得解得或所以向量a的坐標為(1,1,1)或(1，1，1).15分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足0，0，0，M為BC中點，則AMD是()A鈍角三角形B銳角三角形C直角三角形D不確定CM為BC中點，()，()0.AMAD，AMD為直角三角形2已知2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為_60由題意得，(2ab)c0102010.即