數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題.doc

數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題（一）1、 在數(shù)列中，且 ，求2、 在數(shù)列中，且，求3、 數(shù)列滿(mǎn)足且，求4、 已知數(shù)列滿(mǎn)足，其中a,b是給定的正實(shí)數(shù)，求5、 在數(shù)列中且,求6、 已知數(shù)列滿(mǎn)足求7、 數(shù)列為正數(shù)列，且，求8、 數(shù)列中，求9、 已知數(shù)列，中， （1）求 （2）求 10、在數(shù)列和中，且求，數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題（二）1、 若數(shù)列中，,求2、 設(shè)求證：3、 求所有，使得由所確定的數(shù)列，是遞增的。4、 設(shè)，且且求證：對(duì)一切非負(fù)整數(shù)n，有。5、 實(shí)數(shù)滿(mǎn)足： 證明：。6、，數(shù)列滿(mǎn)足，且對(duì)于是否總有。7、 否存在，使得一個(gè)無(wú)窮正數(shù)列滿(mǎn)足。8、 對(duì)給定的，定義滿(mǎn)足證明這個(gè)數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)非正項(xiàng)。9、 在數(shù)列中。，。證明對(duì)任何正整數(shù)和，分式不可約。10、 證明：若數(shù)列滿(mǎn)足 則每一項(xiàng)都是自然數(shù)，且當(dāng)為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)分別有形式或。數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題（三）1、設(shè)，問(wèn)a,b,c為何值時(shí)，？2、設(shè)多項(xiàng)式求證：。3、能否找到這樣的實(shí)數(shù)，使等式對(duì)任何成立.4、證明：多項(xiàng)式是首項(xiàng)為2的二次三項(xiàng)式的平方的沖要條件是。5、證明：當(dāng)時(shí)，k次多項(xiàng)式 的值總是正的。6、求滿(mǎn)足：的二次函數(shù)7、給定多項(xiàng)式。證明，對(duì)每一個(gè)，至多有一個(gè) n次多項(xiàng)式，使得。8、設(shè)實(shí)系多項(xiàng)式 滿(mǎn)足，其中為一實(shí)數(shù)，若，求證：9、假設(shè)二次三項(xiàng)式可變換成或，試問(wèn)能否借助有限次這樣的變換由得？10、求證：任何多項(xiàng)式可以表示成兩個(gè)遞增多項(xiàng)式之差。數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題（四）1、 對(duì)于給定實(shí)數(shù)，方程有四個(gè)虛根，其中兩根的積為，另兩根的和是，求。2、 已知是方程的三個(gè)根，且都是有理數(shù)，求。3、證明：對(duì)任意非零的，多項(xiàng)式的根滿(mǎn)足4、求方程的全部解的199次冪的和。5、若，求證：實(shí)系數(shù)方程必有虛根。6、設(shè)多項(xiàng)式有個(gè)實(shí)根，且系數(shù)都是非負(fù)數(shù)，證明：7、解方程組8、證明；實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的根不可能全是實(shí)數(shù)。9、如果和是方程的兩個(gè)根。求證：是方程的一個(gè)根。10、已知方程的三根都是實(shí)數(shù)，證明：是一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)的沖要條件是。數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題（五）1、設(shè)為（十進(jìn)制）的各位上數(shù)字之和。試求2、已知函數(shù)，求。3、設(shè)。證明，存在正整數(shù)，使能被1988整除。4、設(shè)求5、設(shè)求,求6、 設(shè), 及,求及7、證明存在定義在上的函數(shù)，使.8、對(duì)，求證：對(duì)所有非負(fù)整數(shù)和時(shí)，有。9、設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的實(shí)值函數(shù)。試證明；（1） 若只有惟一的不動(dòng)點(diǎn)，則也只有惟一的不動(dòng)點(diǎn)。（2） 若有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，那么只有兩種可能：(i) 是的不動(dòng)點(diǎn)(ii) ,.11、 已知為多項(xiàng)式，求證：.數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題（六）1、在的方格中，隨意寫(xiě)上或，然后將每格中的數(shù)用所有與它相鄰的格（有公共邊的格）中的數(shù)的積來(lái)代替。求證：經(jīng)過(guò)若干次這樣的“變換”以后，所有方格中的數(shù)都是。2、在黑板上寫(xiě)下n個(gè)數(shù)，每次允許擦掉任意兩個(gè)數(shù)，例如a和b換成。這樣的運(yùn)算重復(fù)次，結(jié)果在黑板上只剩下一個(gè)數(shù)。證明：若開(kāi)始時(shí)在黑板上寫(xiě)的是n個(gè)1，則最后留在黑板上的數(shù)不小于.3、 微型計(jì)算器只能完成如下兩種四位數(shù)的運(yùn)算：（i）由得（ii）由得問(wèn)能否用計(jì)算器由得?4、在黑板上寫(xiě)了3個(gè)整數(shù)，然后擦去其中一個(gè)，并代之以剩下的兩數(shù)之和與1的差，重復(fù)這個(gè)步驟若干次，最后得到了數(shù)17,1967,1983，問(wèn)：最初在黑板上寫(xiě)的數(shù)能否是以下的數(shù)：（1）2,2,2 （2）3 ,3,35、在完全平方數(shù)的序列中是否含有無(wú)窮等差子序列？6、在一張的格子紙中有80個(gè)格子是黑的，其余是白的。某行（或列）中黑格如過(guò)半數(shù)。則將該行（或列）中格子全部染黑。證明：最后不可能將全部格子染黑。7、m個(gè)盒子，每個(gè)盒子中有一些球，球數(shù)不一定相等。n是小于m的正整數(shù)，選n個(gè)盒子，并在這些盒子中各放進(jìn)1個(gè)球，稱(chēng)為一次“運(yùn)算”。證明：（1）如果m與n互質(zhì)，可以施行有限多次運(yùn)算，使得盒子中的球數(shù)全部相等；（2）如果m與n不互質(zhì)，試舉出一種情況，無(wú)論施行多少次運(yùn)算，都不能使盒子中的球數(shù)全部相等。8、棋盤(pán)上撒布n克面粉，使得沒(méi)行，每列的重復(fù)都是1克，求證：可以安排k個(gè)人，第I人從不同的n個(gè)小方格中各取走克面粉(i =1,2,k),最后恰好將原來(lái)棋盤(pán)上的面粉全部取走。9、沿一個(gè)圓周放著若干堆小球，每堆小球的個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，但各堆球數(shù)不必相等，現(xiàn)在按下列規(guī)則調(diào)整各堆的球數(shù)：把各堆小球三等分，本堆留一，其余兩份分別放到左、右相鄰的兩堆中；如果某堆小球數(shù)目不是3的整數(shù)倍時(shí)，可從備用布袋中取出一球或兩球放入，使該堆球數(shù)是3的整數(shù)倍，然后按上法繼續(xù)調(diào)整。試證明：經(jīng)過(guò)有限次調(diào)整之后，各堆小球個(gè)數(shù)相等。10、 設(shè)S是n元集，對(duì)每個(gè)，對(duì)應(yīng)一個(gè)集合，使，且若，則。現(xiàn)在進(jìn)行下述游戲：首先給S中每個(gè)元素染上白色，然后每次可以任取一個(gè)，將中所有元素改變顏色（白色變黑色，黑色變白色）。求證：可以通過(guò)若干次操作使S中所有元素全變成黑色。數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題（七）1、三個(gè)圓，半徑分別為沒(méi)有公共點(diǎn)。證明他們所覆蓋的面積不小于。2、對(duì)任意單位面積的凸多邊形，證明存在一個(gè)面積為2的平行四邊形可以覆蓋它。3、求一個(gè)具有最小尺寸的正方形，使得其中能安放5個(gè)半徑為1的圓，并且任意兩個(gè)圓都沒(méi)有公共內(nèi)點(diǎn)。4、平面上任給100個(gè)點(diǎn)，證明：可用某些互不相交、直徑的和，且任何兩個(gè)的距離（兩圓間連線(xiàn)段最短長(zhǎng)度）都大于1的原覆蓋這100個(gè)點(diǎn)。5、已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，線(xiàn)段d的端點(diǎn)在三角形的邊長(zhǎng)滑動(dòng)，求能使d覆蓋整個(gè)三角形的最小長(zhǎng)度。6、已知5個(gè)同樣大小的正三角形可以覆蓋正三角形ABC，證明4個(gè)這樣的正三角形就可以覆蓋。7、覆蓋圖形F的圓面中最小的一個(gè)叫做F的最小覆蓋圓。最小覆蓋圓的半徑叫做圖形 F的覆蓋半徑。的最大邊長(zhǎng)為BC，求覆蓋的最小圓面。8、用三個(gè)半徑相同的圓紙片覆蓋一個(gè)單位正方形紙片，求所用圓紙片所覆蓋。9、一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形一定不能被面積為15的正方形紙片所覆蓋。10、在的矩形中，最多可以不重疊地放置多少個(gè)半徑為1cm的圓的的扇形？數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題（八）1、8個(gè)小圓分別涂了4種顏色：2個(gè)紅的；2個(gè)藍(lán)的；2個(gè)白的；2個(gè)黑的。甲乙兩人輪流把圓放到立方體的頂點(diǎn)上。在所有的圓都放在立方體的各個(gè)頂點(diǎn)上去后，如果對(duì)立方體的某一個(gè)頂點(diǎn)都能找到一條過(guò)此頂點(diǎn)的棱，其兩個(gè)端點(diǎn)上的圓有相同的顏色，則第一個(gè)放圓的人甲獲勝，否則第二個(gè)人乙獲勝。試問(wèn)在這個(gè)游戲中誰(shuí)將獲勝？2、在桌子上方著1978根火柴。兩個(gè)男孩依次輪流地取1或2根火柴。誰(shuí)取后一根火柴，誰(shuí)就獲勝。問(wèn)：哪一個(gè)男孩獲勝？他應(yīng)該怎樣玩這個(gè)游戲？3、在黑板上寫(xiě)著方程兩個(gè)人做游戲：第一個(gè)人把異于0的整數(shù)（正整數(shù)或負(fù)整數(shù)）填到其中的任一空上，接著第二個(gè)人把整數(shù)填到其余的一個(gè)空上，最后第一個(gè)人把一個(gè)整數(shù)填到最后的空上。4、若適當(dāng)選取非零實(shí)數(shù)為初始值，寫(xiě)出方程若（1）有實(shí)根，可再寫(xiě)出方程，若（2）有實(shí)根，可再寫(xiě)出方程。一般地，所寫(xiě)出的第k個(gè)方程有實(shí)根，就可繼續(xù)寫(xiě)出第(k+1)個(gè)方程。依上述規(guī)則一直寫(xiě)下去，當(dāng)寫(xiě)出第1990個(gè)方程，有二實(shí)根時(shí)算“達(dá)標(biāo)”。求證：可以找到選定初始值的策略，必定可以“達(dá)標(biāo)”。并請(qǐng)說(shuō)明理由。5、已知20個(gè)數(shù)1，2，20。兩個(gè)游戲者輪流將“+”號(hào)或“”號(hào)放在這些數(shù)的前面（放的順序不限）。第一個(gè)人的目的是當(dāng)20個(gè)符號(hào)放完后，20個(gè)數(shù)和的絕對(duì)值較小。那么，第二個(gè)人得到的20個(gè)數(shù)的和的絕對(duì)值最大是多少？6、兩人輪流在的方格板上玩涂格子游戲。第一個(gè)人每次將任意兩個(gè)相鄰的格子涂上黑色，第二個(gè)人將任意一格涂上白色。起初方格上所有的格子都是白的。第二個(gè)人能否在他每次涂色之后，使黑板上任意一個(gè)的正方形中：(i)至少有一個(gè)角為白色格；(ii)至少有兩個(gè)角為白色格。（有公共邊的兩格叫做相鄰的；同一格子可經(jīng)兩游戲者改涂顏色若干次。） 7、在格的象棋盤(pán)的右下格放一枚棋子（如圖），每步只能向左或者向左上對(duì)角線(xiàn)走一格，甲乙兩人交替走，以先到左上格為勝者，問(wèn)誰(shuí)必勝？怎樣取勝？8、甲、乙兩人做下面的游戲：兩人輪流從1，2，100，101中取數(shù)，每次任意取走9個(gè)數(shù)，甲先取，取到第11次時(shí)，還剩下兩個(gè)數(shù)，然后乙按此兩數(shù)之差給甲記分。求證：無(wú)論乙如何取數(shù)，甲總是可以保證自己的得分不少于55分。9、甲、乙、丙三人玩下面的游戲：從集合中隨機(jī)地取出一個(gè)k元子集，這里k是一個(gè)取定的的正整數(shù)，根據(jù)所取出的k個(gè)數(shù)的和除以3的余數(shù)為0，1或2，定出勝者為甲、乙或丙（各種選取的機(jī)會(huì)相等）。問(wèn)k是什么值時(shí)，這游戲是公平的？11、 桌上有3堆火柴，第一堆中有100根，第二堆中有200根，第三堆中有300根。兩人游戲，依次輪流進(jìn)行如下的操作：在每次操作中都取走一堆火柴，再把剩下兩堆中的某一堆分成兩個(gè)非空的堆。誰(shuí)不能再進(jìn)行操作，就算誰(shuí)輸。試問(wèn)，在正確的策略之下，誰(shuí)會(huì)贏：是先開(kāi)始的，還是其對(duì)手？數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題（九）1、在某次競(jìng)選會(huì)中各政黨作出n種不同的諾言，有些政黨可以做某些相同的諾言?，F(xiàn)知其中每?jī)蓚€(gè)政黨都至少作了一個(gè)相同的諾言，但沒(méi)有兩個(gè)政黨的語(yǔ)言完全相同。求證：政黨個(gè)數(shù)。2、一個(gè)以自然數(shù)為元素的集合C，如果C中至少存在兩個(gè)數(shù)，它們的算術(shù)平均數(shù)仍屬于集合C，則稱(chēng)C為“好集”。證明：將自然數(shù)集任意劃分為兩個(gè)不交的子集中，至少有一個(gè)子集是“好集”。3、已知集合A，B，C滿(mǎn)足且，則的最小值是多少？（其中表示集合x(chóng)的階）4、將自然數(shù)集N劃分為有限個(gè)非空子集，每個(gè)子集中的數(shù)都成等差數(shù)列。證明：至少有一個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)能被該數(shù)列的公差整除。5、對(duì)怎樣的正整數(shù)n，集合可以劃分成5個(gè)兩兩不交的子集，使得每個(gè)子集的元素和相等。6、設(shè)是給定的正有理數(shù)，求證：可把自然數(shù)集N劃分成2個(gè)子集A、B，使得A中任意兩數(shù)之比與B中任意兩數(shù)之比都不等于C。7、設(shè)為有限集，并且。設(shè)對(duì)給定的，此