2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題沖刺提升專(zhuān)題07圓中證明及存在性問(wèn)題（含解析）.docx

專(zhuān)題07 圓中證明及存在性問(wèn)題【例1】（2019河南南陽(yáng)一模）如圖，已知A的半徑為4，EC是圓的直徑，點(diǎn)B是A的切線(xiàn)CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AB交A于點(diǎn)D，弦EFAB，連接DF，AF.（1）求證：ABCABF；（2）當(dāng)CAB=時(shí)，四邊形ADFE為菱形；（3）當(dāng)AB=時(shí)，四邊形ACBF為正方形.【分析】（1）由EFAB，得EFA=FAB，CAB=AEF，又AEF=AFE，得：BAC=BAF，又AB=AB，AC=AF，證得ABCABF；（2）連接FC，根據(jù)ADFE為菱形，確定出CAB的度數(shù)；（3）由四邊形ACBF是正方形，得AB=AC=4.【解析】解：（1）EFAB，EFA=FAB，CAB=AEF，AE=AF，AEF=AFE，BAC=BAF，又AB=AB，AC=AF，ABCABF（SAS）；（2）如圖，連接FC，四邊形ADFE是菱形，AE=EF=FD=AD，CE=2AE，CFE=90，ECF=30，CEF=60，EFAB，AEF=CAB=60，故答案為：60；（3）由四邊形ACBF是正方形，得AB=AC=4.【變式1-1】（2019開(kāi)封二模）如圖，在ABD中，ABAD，AB是O的直徑，DA、DB分別交O于點(diǎn)E、C，連接EC，OE，OC（1）當(dāng)BAD是銳角時(shí)，求證：OBCOEC；（2）填空：若AB2，則AOE的最大面積為 ；當(dāng)DA與O相切時(shí)，若AB，則AC的長(zhǎng)為 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；1.【解析】解：（1）連接AC，AB是O的直徑，ACBD，ADAB，BACDAC，BCEC，又OB=OE，OC=OC，OBCOEC（SSS），（2）AB2，OA1，設(shè)AOE的邊OA上的高為x，SAOEOAhh，要使SAOE最大，需h最大，點(diǎn)E在O上，h最大是半徑，即：h最大1SAOE最大為：；如圖所示，當(dāng)DA與O相切時(shí)，則DAB90，ADAB，ABD45，AB是直徑，ADB90，ACBCAB=1.【例2】（2019濟(jì)源一模）如圖，ABC 中，AB=AC，以 AB 為直徑的O 與 BC 相交于點(diǎn) D， 與 CA 的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) D 作 DFAC 于點(diǎn) F（1）試說(shuō)明 DF 是O 的切線(xiàn)；（2）當(dāng)C= 時(shí)，四邊形 AODF 為矩形；當(dāng) tanC= 時(shí)，AC=3AE【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）證明：連接OD，OB=OD，B=ODB，AB=AC，B=C，ODB=C，ODAC，DFAC，ODDF，點(diǎn)D在O上，DF是O的切線(xiàn)；（2）45，理由如下：由四邊形AODF為矩形，得BOD=90，B=45，C=B=45，故答案為：45；（3），理由如下，連接BE，AB是直徑，AEB=90，AB=AC，AC=3AE，AB=3AE，CE=4AE，BE2=AB2AE2 =8AE2，即BE=AE，在RtBEC中，tanC=.故答案為：.【變式2-1】（2019安陽(yáng)一模）如圖，在ABC中，AB=AC=4，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且PDB=A，連接DE，OE（1）求證：PD是O的切線(xiàn)（2）填空：當(dāng)P的度數(shù)為_(kāi)時(shí)，四邊形OBDE是菱形；當(dāng)BAC=45時(shí)，CDE的面積為_(kāi)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）30；.【解析】解：（1）連接OD，OB=OD, PDB=A，ODB=ABD=90A=90PDB，ODB+PDB=90，ODP=90，OD是O的半徑，PD是O的切線(xiàn).（2）30，理由如下：P=30，則BOD=60，BOD是等邊三角形，ADP=30，A=60，AOE是等邊三角形，即AOE=60，EOD=60，ODE是等邊三角形，OB=BD=DE=OE，即四邊形OBDE是菱形；連接BE，AD，如上圖，AB為直徑，ADB=90，即ADBC，AEB=90，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，SDCE=SBCE，BAC=45，AE=BE，ABE是等腰直角三角形，AB=AC=4，AE=BE=，CE=4-，SDCE=SBCE，=BECE=（4-）=.【例3】（2019洛陽(yáng)三模）如圖，AB 是O 的直徑，點(diǎn) C 是O 上一點(diǎn)，AD 和過(guò)點(diǎn) C 的切線(xiàn)互相垂直，垂足為 D，直線(xiàn) DC 與 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn) P（1）求證：AC2=ADAB（2）點(diǎn) E 是ACB 所對(duì)的弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括 A，B 兩點(diǎn)），連接 EC交直徑 AB 于點(diǎn) F，DAP=64當(dāng)ECB= 時(shí)，PCF 為等腰三角形；當(dāng)ECB= 時(shí)，四邊形 ACBE 為矩形【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）連接OC，CD是切線(xiàn)，OCCD，ADCD，OCAD，ACO=CAD，OA=OC，ACO =CAO，CAD=CAO，AB為直徑，ACB=D=90，ACDABC，,即：AC2=ADAB（2）45；58，理由如下：DAP=64，P=26，CAB=DAC=32，CFP是ACF的外角，CFP32，即CFPP，由PCB=CAB=32，知FCPPCBP，由PCD為等腰三角形，得PC=PF,CFP=77，ACF=45，ECB=90ACF=45，故答案為：45；由ACBE是矩形，得F與O重合，ECB=90ACO=9032=58，故答案為：58.【變式3-1】（2019洛陽(yáng)二模）如圖，ABC 內(nèi)接于O，過(guò)點(diǎn) B 的切線(xiàn) BEAC，點(diǎn) P 是優(yōu)弧AC 上一動(dòng)點(diǎn)（不與 A，C 重合），連接 PA，PB，PC，PB 交 AC 于 D（1）求證：PB 平分APC；（2）當(dāng) PD=3，PB=4 時(shí)，求 AB 的長(zhǎng)【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）證明：連接OB，則OBBE，BEAC，OBAC，弧AB=弧BC，APB=BPC，PB平分APC；（2）由（1）知，APB=BPC，BAC=BPC，BAC=APB，ABD=PBA，ABDPBA，,即AB=2，即AB的長(zhǎng)為2.1.（2018河師大附中模擬）如圖，在RtABC中，ACB=90，以AC為直徑的O與AB交于點(diǎn)D，過(guò)D作O的切線(xiàn)交CB于E.（1）求證：EB=EC；（2）若以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，試判斷ABC的形狀，并說(shuō)明理由.【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）證明：連接OD，AC為直徑，ACB=90，BC為O的切線(xiàn)，DE是O的切線(xiàn)，DE=CE，ODE=90，ODA+EDB=90，OA=OD，OAD=ODA，OAD+B=90，B=EDB，DE=BE，EB=EC；（2）ABC是等腰直角三角形，理由如下：四邊形ODEC是正方形，DEB=90，由（1）知CE=BE，BED是等腰直角三角形，B=45，A=45，即AC=BC，又ACB=90，ABC是等腰直角三角形.2.（2019焦作二模）如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑作O與斜邊AC交于點(diǎn)D，E為BC邊的中點(diǎn)，連接DE，OE（1）求證：DE是O的切線(xiàn)（2）填空：當(dāng)CAB= 時(shí)，四邊形AOED是平行四邊形；連接OD，在的條件下探索四邊形OBED的形狀為 .【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）45；正方形.【解析】（1）連接OD，BD，AB為直徑，BDC=ADB=90，E為BC的中點(diǎn)，DE=BE=CE，OD=OB，OE=OE，ODEOBE，ODE=OBE=90，ODDE，即DE是O的切線(xiàn).（2）若四邊形AOED是平行四邊形，則DEAB，A=CDE，CDE=C，A=C，ABC=90，A=45；由A=45，得ADO=45，即DOB=90，EBO=ODE=90，四邊形OBED是矩形，四邊形AOED是平行四邊形，EOB=A=45，EOB=OEB=45，OB=BE，四邊形OBED是正方形.3.（2019周口二模）如圖，在RtABC中，B=90，AB=6，CD平分ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AC上，以CO為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，AE切O于E（1）求證：AD=AE（2）填空：當(dāng)ACB=_時(shí)，四邊形ADOE是正方形；當(dāng)BC=_時(shí)，四邊形ADCE是菱形【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）證明：連接OE，CD平分ACB，OCD=BCD，OC=OD，OCD=ODC，ODC=BCD，ODBC，B=90，ADO=90，AD是圓O的切線(xiàn)，AE是圓O的切線(xiàn)，AD=AE.（2）45；2，理由如下：ADOE是正方形，OD=AD，OAD=45，ACB=45；四邊形ADCE為菱形，AD=CD，CAD=ACD，BCD=ACD，CDB=60，BCD=30，CD=2BD，AB=6，BD=2，BC=2,故答案為：45；2.4.（2018信陽(yáng)一模）如圖，AB是O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過(guò)D作CDOA交弦AB于點(diǎn)E，交O于點(diǎn)F，且CE=CB（1）求證：BC是O的切線(xiàn)；（2）連接AF，BF，求ABF的度數(shù)【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）證明：連結(jié)OB，CE=CB，CBE=CEB，CDOA，DAE+AED=90，CEB=AED，DAE+CBE=90，OA=OB，OAB=OBA，OBA+CBE=90，即OBC=90，BC是O的切線(xiàn)；（2）解：連結(jié)OF，OF交AB于H，（見(jiàn)上圖）DFOA，AD=OD，F(xiàn)A=FO，OF=OA，OAF為等邊三角形，AOF=60，ABF=AOF=305.（2019南陽(yáng)畢業(yè)測(cè)試）如圖，在ACE中，ACCE，O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，且與邊AE，CE分別交于點(diǎn)D，F(xiàn)，點(diǎn)B是劣弧AC上的一點(diǎn)，且弧BC=弧DF，連接AB，BC，CD求證：CDEABC【答案】見(jiàn)解析.【解析】證明：連接DF，ACCE，CAEE，四邊形ACFD內(nèi)接于O，CAE+CFD=180，CFD+DFE=180，CAEDFE，DFEE，DFDE，弧BC=弧DF，BCDF，BCDE，四邊形ABCD內(nèi)接于O，同理可得：BCDE，在CDE和ABC中，AC=CE，ABC=CDE，BC=DE，CDEABC6.（2019濮陽(yáng)二模）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A，B重合的動(dòng)點(diǎn)，PCAB，點(diǎn)M是OP中點(diǎn)（1）求證：四邊形OBCP是平行四邊形；（2）填空：當(dāng)BOP 時(shí)，四邊形AOCP是菱形；連接BP，當(dāng)ABP 時(shí)，PC是O的切線(xiàn)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）120；45【解析】（1）證明：PCAB，PCMOAM，CPMAOM點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，OMPM，CPMAOM，PCOAOAOB，PCOBPCAB，四邊形OBCP是平行四邊形（2）解：四邊形AOCP是菱形，OAPA，OAOP，OAOPPA，AOP是等邊三角形，AAOP60，BOP120；PC是O的切線(xiàn)，OPPC，OPC90，PCAB，BOP90，OPOB，ABPOPB45.7.（2019南陽(yáng)模擬）如圖，AB為O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點(diǎn)，連接OF并延長(zhǎng)交弧AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作O的切線(xiàn)，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E（1）求證：ACDE；（2）連接AD、CD、OC填空當(dāng)OAC的度數(shù)為 時(shí)，四邊形AOCD為菱形；當(dāng)OAAE2時(shí)，四邊形ACDE的面積為 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）30；2【解析】（1）證明：F為弦AC的中點(diǎn)，AFCF，OF過(guò)圓心OFOAC，即OFA=90，DE是O切線(xiàn)，ODDE即EDO=90，DEAC.（2）當(dāng)OAC30時(shí)，四邊形AOCD是菱形，理由如下：連接CD，AD，OC，OAC30，OFACAOF60AODO，AOF60ADO是等邊三角形AFDODFFO，AFCF，四邊形AOCD是平行四邊形AOCO四邊形AOCD是菱形.連接CD，ACDE, OA=AE=2，OD2OF，DE2AFAC2AF，DEAC，且DEAC四邊形ACDE是平行四邊形OAAEOD2OFDF1，OE4在RtODE中，由勾股定理得：DE2，S四邊形ACDEDEDF212答案為：2.8.（2019商丘二模）如圖，在RtABC中，BAC90，C30，以邊上AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作O，O恰好經(jīng)過(guò)邊BC的中點(diǎn)D，并與邊AC相交于另一點(diǎn)F（1）求證：BD是O的切線(xiàn)（2）若AB，E是半圓AGF上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，AD，DE填空：當(dāng)弧AE的長(zhǎng)度是 時(shí)，四邊形ABDE是菱形；當(dāng)弧AE的長(zhǎng)度是 時(shí)，ADE是直角三角形【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；或【解析】（1）證明：連接OD，在RtABC中，BAC90，C30，ABBC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，BDBC，ABBD，BADBDA，OAOD，OADODA，ODBBAO90，即ODBC，BD是O的切線(xiàn)（2）若四邊形ABDE是菱形，連接OE，則ABDE，BAC=90，DEAC，得：ADBDABCDBC，ABD是等邊三角形，OD1，ADB60，CDE60，ADE180ADBCDE60，AOE2ADE120，弧AE的長(zhǎng)度為：=；故答案為：；AD為弦（不是直徑），AED90，（i）若ADE90，則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，弧AE的長(zhǎng)度為：；（ii）若DAE90，則DE是直徑，則AOE2ADO60，弧AE的長(zhǎng)度為：=；故答案為：或9.（2019開(kāi)封二模）如圖，在RtABC中，ACB90，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑，作A，交AB于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線(xiàn)交A于點(diǎn)F，連接AF，BF，DF（1）求證：ABCABF；（2）填空：當(dāng)CAB 時(shí)，四邊形ADFE為菱形；在的條件下，BC cm時(shí)，四邊形ADFE的面積是6cm2【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60；6【解析】（1）證明：EFAB，ECAB，EFAFAB，AE=AF，EEFA，F(xiàn)ABCAB，又AF=CA，AB=AB，ABCABF；（2）當(dāng)CAB60時(shí)，四邊形ADFE為菱形由CAB60，得FADEAF60，EFADAE=DF，四邊形ADFE是菱形四邊形AEFD是菱形，AEFCAB60，AE，AC=，BC=AC=6. 10.（2019名校?？迹┤鐖D，在RtABC中，ACB90，以直角邊BC為直徑作O，交AB于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，連接DE.（1）求證：DE為O的切線(xiàn)；（2）已知BC4填空：當(dāng)DE 時(shí)，四邊形DOCE為正方形；當(dāng)DE 時(shí)，BOD為等邊三角形【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2；2 .【解析】（1）證明：連接CD，OE，