概率論與數(shù)理統(tǒng)計總復習.doc

概率論與數(shù)理統(tǒng)計總復習第一章 概率論的基本概念1. 事件的關系及運算互不相容事件： 即A,B不能同時發(fā)生。對立事件：且 即差事件： 即 發(fā)生但不發(fā)生的事件切記：2. 概率的性質(zhì)單調(diào)性：若，則 加法定理： 例1 設，求。解： （）故 由此 （） 注：求事件的概率嚴禁畫文氏圖說明，一定要用概率的性質(zhì)計算。3. 條件概率與三個重要公式乘法公式全概率公式 貝葉斯公式（求事后概率）例2、（10分）盒中有6個新乒乓球，每次比賽從其中任取兩個球來用，賽后仍放回盒中，求第三次取得兩個新球的概率。解：設Ai第2次摸出i個新球(i=0,1,2), B第3次摸出兩個新球 A0，A1，A2構成的一個劃分 由全概率公式 其中故4. 事件的獨立性 A與B獨立P(AB)=P(A)P(B) P(B/A)= P(B)A與B互不相容 AB= P(AB)=P(A)+P(B)注：n（2）個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別！例3若A 與B 獨立，且A 與B 互不相容，則P(A)P(B)=_第二、三章 隨機變量及其分布1. 5中常見分布及其對應模型和相互關系；2. 聯(lián)合分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)、聯(lián)合分布律、邊緣分布律、聯(lián)合概率密度、邊緣概率密度之間的關系；3. 隨機變量落在某區(qū)間（域）的概率 5. 隨機變量函數(shù)的分布1） 公式法2） 分布函數(shù)法 注意畫圖分段討論6. 隨機變量的獨立性若r.v X、Y相互獨立試考慮其它等價條件？ 注：若r.v X、Y相互獨立 反之不成立。見習題四 21例4 設X,Y聯(lián)合概率密度如下，問它們是否相互獨立？ 解：X,Y的邊緣概率密度為同理顯然 故不相互獨立例5 設隨機變量X與Y相互獨立, 其概率密度分別為求隨機變量Z=X+Y的概率密度函數(shù)fZ(z).解其中D如圖，則xzz=x+1Dz=x第四章 隨機變臉的數(shù)字特征1. 期望與方差的意義 期望：隨機變量取值的集中點； 方差：隨機變量取值離集中點的偏離程度2. 熟記5種常見分布的期望與方差3. 隨機變量的函數(shù)的期望（定理4.1.1，定理4.1.2）4. 利用期望與方差的性質(zhì)求期望與方差（涉及隨機變量的分解）例6 民航機場的送客汽車載有20名乘客，從機場開出，乘客可以在10個車站下車，如果到達某一站時無顧客下車，則不停車，設隨機變量X表示停車次數(shù)，假定每個乘客在各站下車都是等可能的，求平均停車次數(shù)。解：設為汽車在第站停車次數(shù)，則因每個乘客在每站下車等可能，故所以，而 故 5.協(xié)方差的計算與相關系數(shù)的實際意義 1）隨機變量相互獨立則他們不相關 2）對二維正態(tài)隨機變量，不相關等價于相互獨立 例，隨機變量X, Y均是正態(tài)隨機變量，他們不相關，問他們時候獨立。6多維正態(tài)隨機變量的性質(zhì)(P118)例 ， 且相互獨立.(1)寫出隨機變量(X+Y)與(XY)的概率密度(2)求隨機變量(X+Y)與(XY)的相關系數(shù)；(3)隨機變量(X+Y)與(XY)是否相互獨立？解 令 U=X+Y, V=XY(1) E(U)= E(X)+E(Y)=3； D(U)= D(X)+D (Y)=22； E(V)= E(X ) E(Y )=； D(V)= D(X ) + D(Y )=22故 （2）E(X+Y) (XY)= E(X2 )E(Y2 )= D(X) +E(X ) 2 D(Y)E(Y )2 = 32因為,是相互獨立的正態(tài)分布，所以(X ,Y )是二維正態(tài)分布，從而(U,V)也是二維正態(tài)分布.由二維正態(tài)分布的性質(zhì)和(2)，可知X+Y與X-Y相互獨立例（習題四，21）設隨機變量，設，試求（1) Z的數(shù)學期望與方差；（2) X與Z的相關系數(shù)；（3) 問X與Z是否相互獨立。解：（1） （2） 而故（3）因（X,Y）是二維正態(tài)隨機變量，X, Z均是X,Y的線性組合，故(X,Z)也是二維正態(tài)隨機變量，而他們不相關故獨立。第五章 1. 切比雪夫不等式： 注：切比雪夫不等式只能粗略估計概率，一般除題目特殊說明不能使用。2.中心極限定理 注意是極限運算，要注意打不等號 例 隨機抽查驗收產(chǎn)品, 如果在一批產(chǎn)品中查出10個以上的次品, 則拒絕接收.問至少檢查多少個產(chǎn)品, 能保證次品率為 10%的一批產(chǎn)品被拒收的概率不低于0.9解 設檢查的產(chǎn)品數(shù)為 n, 查出的次品數(shù)為X, 則X B( n, 0.1