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文檔簡介

7克拉默法則 二元線性方程組 若令 方程組的系數(shù)行列式 則上述二元線性方程組的解可表示為 一 克拉默法則 如果線性方程組 的系數(shù)行列式不等于零 即 其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式 即 那么線性方程組 1 有解并且解是唯一的 解可以表示成 定理中包含著三個結(jié)論 方程組有解 解的存在性 解是唯一的 解的唯一性 解可以由公式 2 給出 這三個結(jié)論是有聯(lián)系的 應(yīng)該注意 該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組 至于系數(shù)行列式等于零的情形 將在第三章的一般情形中一并討論 關(guān)于克拉默法則的等價命題 定理4如果線性方程組 1 的系數(shù)行列式不等于零 則該線性方程組一定有解 而且解是唯一的 定理4 如果線性方程組無解或有兩個不同的解 則它的系數(shù)行列式必為零 設(shè) 例解線性方程組 解 線性方程組 常數(shù)項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組 否則稱為非齊次線性方程組 齊次線性方程組總是有解的 因為 0 0 0 就是一個解 稱為零解 因此 齊次線性方程組一定有零解 但不一定有非零解 我們關(guān)心的問題是 齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解 齊次線性方程組的相關(guān)定理 定理5如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組只有零解 沒有非零解 定理5 如果齊次線性方程組有非零解 則它的系數(shù)行列式必為零 備注這兩個結(jié)論說明系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件 在第三章還將證明這個條件也是充分的 即 齊次線性方程組有非零解系數(shù)行列式等于零 練習題 問取何值時 齊次方程組 有非零解 解 如果齊次方程組有非零解 則必有 所以時齊次方程組有非零解 思考題 當線性方程組的系數(shù)行列式為零時 能否用克拉默法則解方程組 為什么 此時方程組的解為何 答 當線性方程組的系數(shù)行列式為零時 不能用克拉默法則解方程組 因為此時方程組的解為無解或有無窮多解 1 用克拉默法則解線性方程組的兩個條件 1 方程個數(shù)等于未知量個數(shù) 2 系數(shù)行列式不等于零 2 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關(guān)系

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