第八章因次和模型試驗(yàn)(少學(xué)時(shí))案例

因次分析和模型實(shí)驗(yàn) 因次分析 白金漢 理論相似的基本概念相似準(zhǔn)則重力和粘性力同時(shí)作用下的相似 因次分析 因次 量綱 不同于單位 基本因次 相互獨(dú)立的 不可壓縮流體的基本因次 M L T 物理量A的因次 如 幾何學(xué)量 運(yùn)動學(xué)量 動力學(xué)量 無量綱的物理量 如 因次的和諧性 任何物理方程每一項(xiàng)的因次都是相等的 區(qū)別于經(jīng)驗(yàn)公式 無量綱物理量的意義 1 客觀性 2 不受運(yùn)動規(guī)模的影響 3 清楚反映問題實(shí)質(zhì) 如一個(gè)系列一條曲線 4 可進(jìn)行超越函數(shù)的運(yùn)算 因次分析法 目的 便于實(shí)驗(yàn) 容易了解問題的實(shí)質(zhì) 定理 白金漢法 任何一個(gè)物理過程 如包括n個(gè)物理量 涉及到m個(gè)基本因次 則這個(gè)物理過程就可由 n m 個(gè)無因次量所表達(dá)的關(guān)系式來描述 基本因次 對國際單位制 M 質(zhì)量 L 長度 T 時(shí)間 理論建立方程式的步驟 1 選擇與流動現(xiàn)象有關(guān)的物理變量 此為最關(guān)鍵的一步 2 寫成函數(shù)關(guān)系式 如3 選擇基本變量 注意三條原則 即 基本變量與基本因次相對應(yīng) 選擇重要的基本變量 不能有任意兩個(gè)基本變量的因次是完全一樣的 通常 管流中選D v 三個(gè)作基本變量為多 明渠流中則選H v 為多 4 把基本變量和其它變量組成數(shù) 并找出這些數(shù) 5 把結(jié)果代入函數(shù)關(guān)系式 例 求有壓管流壓強(qiáng)損失的表達(dá)式解 步驟a 找出物理過程中有關(guān)的物理量 組成未知的函數(shù)關(guān)系 b 選取基本量 常取 幾何學(xué)量d 運(yùn)動學(xué)量v 動力學(xué)量 m 3 基本量獨(dú)立條件 指數(shù)行列式不等于零 c 基本量依次與其余物理量組成 項(xiàng) 共n m 7 3 4個(gè) d 決定各 項(xiàng)的基本量的指數(shù) 比較兩邊系數(shù) M L T 得a1 2 b1 0 c1 1 同理 e 整理方程式 2 雷利法 有關(guān)物理量少于5個(gè) 3個(gè)基本量 只有一個(gè) 項(xiàng) 小結(jié) 變量的選取 對物理過程有一定程度的理解是非常重要的 快速方法 直接平衡分子與分母的因次 相似性原理 1 力學(xué)相似 1 幾何相似 模型和原型的幾何形狀相似 原型中任何長度尺寸和模型中相對應(yīng)長度尺寸的比值處處相等 對應(yīng)角相等 l 長度比尺 幾何相似只有一個(gè)長度比尺 幾何相似是力學(xué)相似的前提 2 運(yùn)動相似 模型和原型流場中的相應(yīng)點(diǎn)上存在的同名速度都成一定的比值 且方向相同 v 速度比尺 時(shí)間比尺 加速度比尺 3 動力相似 模型和原型流場中的相應(yīng)點(diǎn)上存在的同名力都成一定的比值 且方向相同 即模型和原型的矢量圖相似 F 力的比尺 運(yùn)動相似只有一個(gè)速度比尺 運(yùn)動相似是實(shí)驗(yàn)的目的 達(dá)朗伯定理 動力相似 對應(yīng)點(diǎn)上的力的封閉多邊形相似 動力相似是運(yùn)動相似的保證 4 初始條件和邊界條件相似 模型和原型流場中的初始條件和邊界條件滿足相似 恒定流 則初始條件不必考慮 邊界條件也可以歸趨于幾何相似和運(yùn)動相似 相似條件之間的相互關(guān)系 幾何相似是前提 動力相似是主導(dǎo) 運(yùn)動相似是具體表現(xiàn) 2 相似準(zhǔn)則 常選慣性力為特征力 將其它作用力與慣性力相比 組成一些準(zhǔn)則 由這些準(zhǔn)則得到的準(zhǔn)則數(shù) 準(zhǔn)數(shù) 在相似流動中應(yīng)該是相等的 1 雷諾準(zhǔn)則 粘性力是主要的力 改成 無因次數(shù) 雷諾數(shù) 粘性力的相似準(zhǔn)數(shù) 2 佛勞德準(zhǔn)則 重力是主要的力 改成 無因次數(shù) 佛勞德數(shù) 重力的相似準(zhǔn)數(shù) 3 歐拉準(zhǔn)則 壓力是主要的力 改成 無因次數(shù) 歐拉數(shù) 壓力的相似準(zhǔn)數(shù) 4 柯西準(zhǔn)則 彈性力是主要的力 改成 E 彈性模量 無因次數(shù) 柯西數(shù) 彈性力的相似準(zhǔn)數(shù) 氣體 將 無因次數(shù) 馬赫數(shù) 彈性力的相似準(zhǔn)數(shù) 代入 式 得 5 其它準(zhǔn)數(shù) 韋伯?dāng)?shù) 表面張力的相似準(zhǔn)數(shù) 斯特洛哈爾數(shù) 脈動角頻率的相似準(zhǔn)數(shù) 阿基米德準(zhǔn)數(shù) 溫差 濃差射流的軸線彎曲的相似準(zhǔn)數(shù) 模型律的選擇 雷諾準(zhǔn)則 管流 水面下的潛艇運(yùn)動 輸油管道 飛機(jī)在空中的低速飛行以及隧洞中的有壓流動等 粘性力起主要作用 佛汝德準(zhǔn)則 閘孔出流 堰上出流 水面船舶運(yùn)動以及明渠流動等 重力起主要作用 由于壓強(qiáng)通常是待求的量 可能是由粘性力引起 也可能是由重力引起 所以只要當(dāng)滿足粘性力或重力相似時(shí) 壓強(qiáng)相似會自動滿足 即歐拉準(zhǔn)則自動滿足 水擊現(xiàn)象的研究則采用柯西準(zhǔn)則 可壓縮氣流流速接近或超過聲速時(shí) 采用馬赫數(shù)相等 舉例 若要求幾何比為20 原型中流速為1m s 原型中流量為100L s 原型中的作用力為1kN 分別采用粘性力相似和重力相似求模型中的流速 流量和作用力 很難實(shí)現(xiàn)同時(shí)滿足兩個(gè)以上準(zhǔn)數(shù)相等 例 若同時(shí)滿足Re數(shù)相等和Fr數(shù)相等 1 同種介質(zhì) p m Re Fr gp gm 失去模型實(shí)驗(yàn)的價(jià)值 2 不同介質(zhì) p m Re Fr p 水 m 很困難如果 p 空氣 15 7 10 6m2 s m 水 1 007 10 6m2 s 取 結(jié)論 根據(jù)影響流動的主要作用力 正確選擇相似準(zhǔn)則 是模型實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵 自模區(qū) 阻力平方區(qū) 與Re無關(guān) 4 例1 某車間長30m 寬15m 高10m 用直徑為0 6m的風(fēng)口送風(fēng) 要求風(fēng)口風(fēng)速8m s 如取 l 5 確定模型尺寸及模型的出口風(fēng)速 解 l 5 則模型長為30 5 6m 寬為15 5 3m 高為10 5 2m 風(fēng)口直徑為0 6 5 0 12m原型是空氣 p 15 7 10 6m2 s 屬阻力平方區(qū) 自模區(qū) 因此采用粗糙度較大的管子 提前進(jìn)入自模區(qū) Re 50000 此時(shí) 例2 弦長為3m的機(jī)翼以300km h的速度在溫度為20 壓強(qiáng)為1at的靜止空氣中飛行 用 l 20的模型在風(fēng)洞中作試驗(yàn) 1 如果風(fēng)洞中空氣的溫度和壓強(qiáng)不變 風(fēng)洞中空氣速度應(yīng)為多少 解 風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中粘性力是主要的 雷諾準(zhǔn)則 相同 難以實(shí)現(xiàn) 要改變實(shí)驗(yàn)條件 2 改用水 3 改變壓強(qiáng) 30at 溫度不變 等溫過程p 且 相同 例3 溢水堰模型 l 20 測得模型流量為300L s 水的推力為300N 求實(shí)際流量和推力 解 溢水堰受到的主要作用力是重力 用佛勞德準(zhǔn)則 佛勞德準(zhǔn)則 溫度不變的水 由佛勞德準(zhǔn)則 5 按雷諾準(zhǔn)則和佛勞德準(zhǔn)則導(dǎo)出的物理量比尺表 人有了知識 就會具備各種分析能力 明辨是非的能力 所以我們要勤懇讀書