高中數(shù)學(xué) 2.2.2 反證法課件 新人教A版選修22.ppt

2 2 2反證法 第二章推理與證明 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 1 反證法假設(shè)原命題 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 錯誤 從而證明了 成立 這種證明方法叫做反證法 不成立 假設(shè) 原命題 想一想2 反證法 與 證逆否命題 有什么主要區(qū)別 提示 1 兩種證法的邏輯原理不同 反證法 的原理是命題與命題的否定一真一假 證逆否命題 的原理是命題與其逆否命題的等價性 即同真假 2 兩種證明的推理形式不同 證明逆否命題實際上就是從結(jié)論的反面出發(fā) 推出條件的反面成立 而反證法一般是假設(shè)結(jié)論的反面成立 然后通過推理導(dǎo)出矛盾 2 反證法常見矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾 這個矛盾可以是與已知條件 公理 定義 定理及明顯成立的事實或自相矛盾等 名師點評 1 當(dāng)結(jié)論為否定形式的命題時 通過反設(shè) 轉(zhuǎn)化為肯定性命題 可作為條件應(yīng)用進行推理 因此對此類問題用反證法很方便 2 用反證法證明問題的一般步驟 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 即假設(shè)結(jié)論的反面成立 從這個假設(shè)出發(fā) 經(jīng)過推理論證 得出矛盾 從矛盾判定假設(shè)不正確 從而肯定命題的結(jié)論正確 題型二用反證法證明唯一性命題若函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的圖象連續(xù)不斷開 且f a 0 f b 0 且f x 在 a b 上單調(diào)遞增 求證 f x 在 a b 內(nèi)有且只有一個零點 證明 由于f x 在 a b 上的圖象連續(xù)不斷開 且f a 0 f b 0 即f a f b 0 所以f x 在 a b 內(nèi)至少存在一個零點 設(shè)零點為m 則f m 0 假設(shè)f x 在 a b 內(nèi)還存在另一個零點n 即f n 0 則n m 若n m 則f n f m 即0 0 矛盾 若n m 則f n f m 即0 0 矛盾 因此假設(shè)不正確 即f x 在 a b 內(nèi)有且只有一個零點 名師點評 證明 有且只有一個 的問題 需要證明兩個命題 即存在性和唯一性 本例用直接證法中的綜合法證明了存在性 反證法證明了唯一性 跟蹤訓(xùn)練2 1 證明 方程2x 3有且只有一個根 2 證明 兩條相交直線有且只有一個交點 證明 1 2x 3 x log23 這說明方程有一個根 下面用反證法證明方程2x 3的根是唯一的 假設(shè)方程2x 3有兩個根b1 b2 b1 b2 則2b1 3 2b2 3 兩式相除 得2b1 b2 1 如果b1 b2 0 則2b1 b2 1 這與2b1 b2 1相矛盾 如果b1 b2 0 2b1 b2 1 這也與2b1 b2 1相矛盾 所以方程2x 3有且只有一個根 2 假設(shè)結(jié)論不成立 即有兩種可能 無交點 不只有一個交點 若直線a b無交點 那么a b或a b是異面直線 與已知矛盾 若直線a b不只有一個交點 則至少有兩個交點a和b 這樣同時經(jīng)過點a b就有兩條直線 這與 經(jīng)過兩點有且只有一條直線 相矛盾 綜上 所以結(jié)論成立 即兩條相交直線有且只有一個交點 題型三用反證法證明 或解答 至多 或 至少 類命題 名師點評 1 要想得到原命題的反面 必須先弄清原命題的含義 即原命題包含哪幾個結(jié)論 不能縮小也不能擴大 2 至多 至少 都 等詞語的否定形式 用反證法證題時要把握三點 1 必須先否定結(jié)論 對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能 要逐一論證 缺少任何一種可能 證明都是不完全的 2 反證法必須從否定結(jié)論進行推理 且必須根據(jù)這一條件進行論證 否則 僅否定結(jié)論 不從結(jié)論的反面出發(fā)進行論證 就不是反證法 3 推導(dǎo)出來的矛盾可能多種多樣 有的與已知矛盾 有的與假設(shè)矛盾 有的與定理 公理相違背等 但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的 信