圓錐曲線題型匯編.doc

學(xué)大教育科技（北京）有限公司 王杕 XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.圓錐曲線題型匯編（一） 以幾何度量立意弦長、三角形面積、四邊形面積問題2008北京19已知的頂點在橢圓上，在直線上，且（）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點時，求的長及的面積；（）當(dāng)，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程（第21題）浙江21如圖，直線與橢圓交于兩點，記的面積為（I）求在，的條件下，的最大值；（II）當(dāng)，時，求直線的方程（二） 以點、線的位置關(guān)系立意垂直、中點、中垂線、對稱1. 垂直2. 線段中點（中點弦）3. 中垂線問題（三）以符號化的形式立意向量問題全國II 22已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線L與C相交于A、B兩點，當(dāng)L的斜率為1時，坐標(biāo)原點O到L的距離為.() 求a，b的值；() C上是否存在點P，使得當(dāng)L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與L的方程；若不存在，說明理由 遼寧21在平面直角坐標(biāo)系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為（）寫出C的方程；（）設(shè)直線與C交于A，B兩點k為何值時？此時的值是多少？海南寧夏21在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心為，過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點（）求的取值范圍；（）是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由（三） 以直線與橢圓位置關(guān)系立意取值范圍問題海南寧夏21在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心為，過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點（）求的取值范圍；（）是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由全國II 21在直角坐標(biāo)系中，以為圓心的圓與直線相切（1）求圓的方程；（2）圓與軸相交于兩點，圓內(nèi)的動點使成等比數(shù)列，求的取值范圍四川21設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點（）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，且，求點的作標(biāo)；（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于同的兩點、，且為銳角（其中為作標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍以函數(shù)性質(zhì)研究立意最值問題2009福建22已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點。（I）求橢圓的方程；（）求線段MN的長度的最小值；（）當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由. 北京19已知的頂點在橢圓上，在直線上，且（）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點時，求的長及的面積；（）當(dāng)，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程(另見最值問題)2008福建22如圖，橢圓的一個焦點是，且過點.（）求橢圓C的方程；（）若AB為垂直于x軸的動弦，直線與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M. （）求證：點M恒在橢圓C上；（）求面積的最大值.陜西22已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點，坐標(biāo)原點到直線的距離為，求面積的最大值2007全國I 22已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于B，D兩點，過的直線交橢圓于A，C兩點，且，垂足為P（）設(shè)P點的坐標(biāo)為，證明：；（）求四邊形ABCD的面積的最小值2008全國II 22設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點（）若，求的值；（）求四邊形面積的最大值 解：（）依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，如圖，設(shè)，其中，且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡得，解得或6分（）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和式知，點到的距離分別為， 9分又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為12分解法二：由題設(shè)，設(shè)，由得，故四邊形的面積為，當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為12分（四） 以推理方式立意存在性問題2009遼寧22已知，橢圓C以過點A（1，），兩個焦點為（1，0）（1，0）.（1）求橢圓C的方程；（2）E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值2008福建22如圖，橢圓的一個焦點是，且過點.（）求橢圓C的方程；（）若AB為垂直于x軸的動弦，直線與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.（）求證：點M恒在橢圓C上；（）求面積的最大值.（另見最值問題）2007山東文22已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圖過橢圓的右頂點求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得：，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)聯(lián)立得，則又因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，即解得：，且均滿足當(dāng)時，的方程，直線過點，與已知矛盾；當(dāng)時，的方程為，直線過定點所以，直線過定點，定點坐標(biāo)為（五） 以研究手法立意圓的相關(guān)問題2009廣東19已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓G上一點到和的距離之和為12.圓:的圓心為點.（1）求橢圓G的方程（2）求的面積（3）問是否存在圓包圍橢圓G?請說明理由.解：（1）設(shè)橢圓G的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2 )點的坐標(biāo)為 （3）若，由可知點（6，0）在圓外， 若，由可知點（-6，0）在圓外； 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.2008遼寧20已知mR，直線l：和圓C：.（）求直線l斜率的取值范圍；（）直線l能否將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓?。繛槭裁?？解：（）直線的方程可化為，此時斜率因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以，斜率k的取值范圍是；（）不能.由（）知的方程為，其中；圓的圓心為，半徑；圓心到直線的距離由，得，即。從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于。所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩端??；2007北京19如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上（I）求邊所在直線的方程；（II）求矩形外接圓的方程；（III）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程解：（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為整理得，（II）由解得點的坐標(biāo)為，因為矩形兩條對角線的交點為所以為矩形外接圓的圓心又從而矩形外接圓的方程為（III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，所以，即故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支因為實半軸長，半焦距所以虛半軸長從而動圓的圓心的軌跡方程為2006北京19橢圓C:的兩個焦點為F1,F2,點P在橢圓C上，且（）求橢圓C的方程；（）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程.解：()因為點P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4, 所以橢圓C的方程為1.() 解法一：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）. 已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因為A，B關(guān)于點M對稱，所以 解得， 所以直線l的方程為即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意)解法二：已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 由得 因為A、B關(guān)于點M對稱，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.)G2009江西22如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點.（1）求圓的半徑;（2）過點作圓的兩條切線交橢圓于兩點，證明：直線與圓相切解: （1）設(shè)，過圓心作于,交長軸于由得,即 (1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 而點在橢圓上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 設(shè)過點與圓相切的直線方程為: (3)則,即 (4),解得將(3)代入得,則異于零的解為設(shè),，則則直線的斜率為：于是直線的方程為: 即則圓心到直線的距離 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故結(jié)論成立.2009天津文22已知橢圓（）的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點，且（）求橢圓的離心率（）直線AB的斜率；（）設(shè)點C與點A關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，直線上有一點H(m,n)()在的外接圓上，求的值.解：（I）由，得,從而，整理得，故離心率 （II）解：由（1）知，所以橢圓的方程可以寫為設(shè)直線AB的方程為即由已知設(shè)則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得依題意， 而，由題設(shè)知，點B為線段AE的中點，所以聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得 (III)由（2）知，當(dāng)時，得A由已知得線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為直線的方程為，于是點滿足方程組由，解得，故當(dāng)時，同理可得 （六） 以結(jié)果形式立意軌跡問題2009福建20已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點，焦點在軸上，它的一個項點到兩個焦點的距離分別是7和1(I)求橢圓的方程;(II)若為橢圓的動點，為過且垂直于軸的直線上的點，（e為橢圓C的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.解：（）設(shè)橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得 解得a=4,c=3,所以橢圓C的方程為 w.