變異系數(shù)概念和計算公式PPT課件

1 第三章平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù) 第一節(jié)平均數(shù) 下一張 主頁 退出 上一張 2 平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中最常用的統(tǒng)計量 用來表明資料中各觀測值相對集中較多的中心位置 平均數(shù)主要包括有 算術(shù)平均數(shù) arithmeticmean 中位數(shù) median 眾數(shù) mode 幾何平均數(shù) geometricmean 調(diào)和平均數(shù) harmonicmean 下一張 主頁 退出 上一張 3 一 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測值的總和除以觀測值個數(shù)所得的商 簡稱平均數(shù)或均數(shù) 記為 算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計算 一 直接法主要用于樣本含量n 30以下 未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計算 下一張 主頁 退出 上一張 4 設(shè)某一資料包含n個觀測值 x1 x2 xn 則樣本平均數(shù)可通過下式計算 3 1 其中 為總和符號 表示從第一個觀測值x1累加到第n個觀測值xn 當(dāng)在意義上已明確時 可簡寫為 x 3 1 式可改寫為 下一張 主頁 退出 上一張 5 例3 1 某種公牛站測得10頭成年公牛的體重分別為500 520 535 560 585 600 480 510 505 490 kg 求其平均數(shù) 由于 x 500 520 535 560 58 600 480 510 505 49 5285 n 10 下一張 主頁 退出 上一張 6 得 即10頭種公牛平均體重為528 5kg 二 加權(quán)法對于樣本含量n 30以上且已分組的資料 可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計算平均數(shù) 計算公式為 3 2 下一張 主頁 退出 上一張 7 式中 第i組的組中值 第i組的次數(shù) 分組數(shù)第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量 因此將fi稱為是xi的 權(quán) 加權(quán)法也由此而得名 例3 2 將100頭長白母豬的仔豬一月窩重 單位 kg 資料整理成次數(shù)分布表如下 求其加權(quán)數(shù)平均數(shù) 下一張 主頁 退出 上一張 8 表3 1100頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表 下一張 主頁 退出 上一張 9 利用 3 2 式得 即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為45 2kg 計算若干個來自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時 如果樣本含量不等 也應(yīng)采用加權(quán)法計算 下一張 主頁 退出 上一張 10 例3 3 某牛群有黑白花奶牛1500頭 其平均體重為750kg 而另一牛群有黑白花奶牛1200頭 平均體重為725kg 如果將這兩個牛群混合在一起 其混合后平均體重為多少 此例兩個牛群所包含的牛的頭數(shù)不等 要計算兩個牛群混合后的平均體重 應(yīng)以兩個牛群牛的頭數(shù)為權(quán) 求兩個牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù) 即 下一張 主頁 退出 上一張 11 即兩個牛群混合后平均體重為738 89kg 三 平均數(shù)的基本性質(zhì)1 樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零 即離均差之和等于零 或簡寫成 下一張 主頁 退出 上一張 12 2 樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小 即離均差平方和為最小 xi 2 xi a 2 常數(shù)a 或簡寫為 對于總體而言 通常用 表示總體平均數(shù) 有限總體的平均數(shù)為 3 3 下一張 主頁 退出 上一張 13 式中 N表示總體所包含的個體數(shù) 當(dāng)一個統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望等于所估計的總體參數(shù)時 則稱此統(tǒng)計量為該總體參數(shù)的無偏估計量 統(tǒng)計學(xué)中常用樣本平均數(shù) 作為總體平均數(shù) 的估計量 并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù) 的無偏估計量 下一張 主頁 退出 上一張 14 二 中位數(shù)將資料內(nèi)所有觀測值從小到大依次排列 位于中間的那個觀測值 稱為中位數(shù) 記為Md 當(dāng)觀測值的個數(shù)是偶數(shù)時 則以中間兩個觀測值的平均數(shù)作為中位數(shù) 當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時 中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù) 中位數(shù)的計算方法因資料是否分組而有所不同 下一張 主頁 退出 上一張 15 一 未分組資料中位數(shù)的計算方法對于未分組資料 先將各觀測值由小到大依次排列 下一張 主頁 退出 上一張 16 1 當(dāng)觀測值個數(shù)n為奇數(shù)時 n 1 2位置的觀測值 即x n 1 2為中位數(shù) Md 2 當(dāng)觀測值個數(shù)為偶數(shù)時 n 2和 n 2 1 位置的兩個觀測值之和的1 2為中位數(shù) 即 3 4 下一張 主頁 退出 上一張 17 例3 4 觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為144 145 147 149 150 151 153 156 157 求其中位數(shù) 此例n 9 為奇數(shù) 則 Md 150 天 即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天 下一張 主頁 退出 上一張 18 例3 5 某犬場發(fā)生犬瘟熱 觀察得10只仔犬發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡分別為7 8 8 9 11 12 12 13 14 14天 求其中位數(shù) 此例n 10 為偶數(shù) 則 天 即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11 5天 二 已分組資料中位數(shù)的計算方法 下一張 主頁 退出 上一張 19 若資料已分組 編制成次數(shù)分布表 則可利用次數(shù)分布表來計算中位數(shù) 其計算公式為 3 5 式中 L 中位數(shù)所在組的下限 i 組距 f 中位數(shù)所在組的次數(shù) n 總次數(shù) c 小于中數(shù)所在組的累加次數(shù) 下一張 主頁 退出 上一張 20 例3 6 某奶牛場68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時間整理成次數(shù)分布表如表3 2所示 求中位數(shù) 表3 268頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時間次數(shù)分布表 下一張 主頁 退出 上一張 21 由表3 2可見 i 15 n 68 因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對應(yīng)的 57 71 這一組 于是可確定L 57 f 20 c 16 代入公式 3 5 得 天 即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時間的中位數(shù)為70 5天 下一張 主頁 退出 上一張 22 三 幾何平均數(shù)n個觀測值相乘之積開n次方所得的方根 稱為幾何平均數(shù) 記為G 它主要應(yīng)用于畜牧業(yè) 水產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)動態(tài)分析 畜禽疾病及藥物效價的統(tǒng)計分析 如畜禽 水產(chǎn)養(yǎng)殖的增長率 抗體的滴度 藥物的效價 畜禽疾病的潛伏期等 用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平 其計算公式如下 3 6 下一張 主頁 退出 上一張 23 為了計算方便 可將各觀測值取對數(shù)后相加除以n 得lgG 再求lgG的反對數(shù) 即得G值 即 3 7 例3 7 某波爾山羊群1997 2000年各年度的存欄數(shù)見表3 3 試求其年平均增長率 下一張 主頁 退出 上一張 24 表3 3某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長率 下一張 主頁 退出 上一張 25 利用 3 7 式求年平均增長率G lg 1 0 368 0 398 0 602 lg 1 0 456 0 3501即年平均增長率為0 3501或35 01 下一張 主頁 退出 上一張 26 四 眾數(shù)資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個觀測值或次數(shù)最多一組的組中值 稱為眾數(shù) 記為M0 如表2 3所列的50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中 以22出現(xiàn)的次數(shù)最多 則該資料的眾數(shù)為22天 又如 例3 6 所列出的次數(shù)分布表中 57 71這一組次數(shù)最多 其組中值為64天 則該資料的眾數(shù)為64天 下一張 主頁 退出 上一張 27 五 調(diào)和平均數(shù)資料中各觀測值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù) 稱為調(diào)和平均數(shù) 記為H 即 3 8 調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模 下一張 主頁 退出 上一張 28 例3 8 某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為 0世代200頭 1世代220頭 2世代210頭 3世代190頭 4世代210頭 試求其平均規(guī)模 利用 3 9 式求平均規(guī)模 頭 即保種群平均規(guī)模為208 33頭 下一張 主頁 退出 上一張 29 對于同一資料 算術(shù)平均數(shù) 幾何平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)上述五種平均數(shù) 最常用的是算術(shù)平均數(shù) 30 第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差 一 標(biāo)準(zhǔn)差的意義用平均數(shù)作為樣本的代表 其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響 僅用平均數(shù)對一個資料的特征作統(tǒng)計描述是不全面的 還需引入一個表示資料中觀測值變異程度大小的統(tǒng)計量 下一張 主頁 退出 上一張 31 全距 極差 是表示資料中各觀測值變異程度大小最簡便的統(tǒng)計量 但是全距只利用了資料中的最大值和最小值 并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測值的變異程度 比較粗略 當(dāng)資料很多而又要迅速對資料的變異程度作出判斷時 可以利用全距這個統(tǒng)計量 下一張 主頁 退出 上一張 32 為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個觀測值的變異程度 人們首先會考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn) 求出各個觀測值與平均數(shù)的離差 稱為離均差 雖然離均差能表示一個觀測值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度 但因為離均差有正 有負(fù) 離均差之和為零 即 0 因而不能用離均差之和 來表示資料中所有觀測值的總偏離程度 下一張 主頁 退出 上一張 33 為了解決離均差有正 有負(fù) 離均差之和為零的問題 可先求離均差的絕對值并將各離均差絕對值之和除以觀測值個數(shù)n求得平均絕對離差 即 n 雖然平均絕對離差可以表示資料中各觀測值的變異程度 但由于平均絕對離差包含絕對值符號 使用很不方便 在統(tǒng)計學(xué)中未被采用 34 我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正 有負(fù) 離均差之和為零的問題 先將各個離均差平方 即 2 再求離均差平方和 即 簡稱平方和 記為SS 由于離差平方和常隨樣本大小而改變 為了消除樣本大小的影響 用平方和除以樣本大小 即 求出離均差平方和的平均數(shù) 下一張 主頁 退出 上一張 35 為了使所得的統(tǒng)計量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計量 統(tǒng)計學(xué)證明 在求離均差平方和的平均數(shù)時 分母不用樣本含量n 而用自由度n 1 于是 我們采用統(tǒng)計量表示資料的變異程度 統(tǒng)計量稱為均方 meansquare縮寫為MS 又稱樣本方差 記為S2 即S2 3 9 下一張 主頁 退出 上一張 36 相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差 記為 2 對于有限總體而言 2的計算公式為 3 10 37 由于樣本方差帶有原觀測單位的平方單位 在僅表示一個資料中各觀測值的變異程度而不作其它分析時 常需要與平均數(shù)配合使用 這時應(yīng)將平方單位還原 即應(yīng)求出樣本方差的平方根 統(tǒng)計學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差 記為S 即 3 11 下一張 主頁 退出 上一張 38 由于所以 3 11 式可改寫為 3 12 下一張 主頁 退出 上一張 39 相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差 記為 對于有限總體而言 的計算公式為 3 13 在統(tǒng)計學(xué)中 常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計總體標(biāo)準(zhǔn)差 下一張 主頁 退出 上一張 40 二 標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法 一 直接法對于未分組或小樣本資料 可直接利用 3 11 或 3 12 式來計算標(biāo)準(zhǔn)差 41 例3 9 計算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量 450 450 500 500 500 550 550 550 600 600 650 g 的標(biāo)準(zhǔn)差 此例n 10 經(jīng)計算得 x 5400 x2 2955000 代入 3 12 式得 g 即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的標(biāo)準(zhǔn)差為65 828g 下一張 主頁 退出 上一張 42 二 加權(quán)法對于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料 可利用次數(shù)分布表 采用加權(quán)法計算標(biāo)準(zhǔn)差 計算公式為 3 14 式中 f為各組次數(shù) x為各組的組中值 f n為總次數(shù) 下一張 主頁 退出 上一張 43 例3 10 利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表 見表3 4 計算標(biāo)準(zhǔn)差 將表3 4中的 f fx 代入 3 14 式得 g 即某純系蛋雞200枚蛋重的標(biāo)準(zhǔn)差為3 5524g 下一張 主頁 退出 上一張 44 表3 4某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布及標(biāo)準(zhǔn)差計算表 下一張 主頁 退出 上一張 45 三 標(biāo)準(zhǔn)差的特性 一 標(biāo)準(zhǔn)差的大小 受資料中每個觀測值的影響 如觀測值間變異大 求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大 反之則小 二 在計算標(biāo)準(zhǔn)差時 在各觀測值加上或減去一個常數(shù) 其數(shù)值不變 三 當(dāng)每個觀測值乘以或除以一個常數(shù)a 則所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來標(biāo)準(zhǔn)差的a倍或1 a倍 下一張 主頁 退出 上一張 46 四 在資料服從正態(tài)分布的條件下 資料中約有68 26 的觀測值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)準(zhǔn)差 S 范圍內(nèi) 約有95 43 的觀測值在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差 2S 范圍內(nèi) 約有99 73 的觀測值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)差 3S 范圍內(nèi) 也就是說全距近似地等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差 可用 全距 6 來粗略估計標(biāo)準(zhǔn)差 下一張 主頁 退出 上一張 47 第三節(jié)變異系數(shù) 變異系數(shù)是衡量資料中各觀測值變異程度的另一個統(tǒng)計量 標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值稱為變異系數(shù) 記為C V 變異系數(shù)可以消除單位和 或 平均數(shù)不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響 下一張 主頁 退出 上一張 48 變異系數(shù)的計算