數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模課件

數(shù)學(xué)模型 1 PPT學(xué)習(xí)交流 課程簡(jiǎn)介 2 PPT學(xué)習(xí)交流 第一章建立數(shù)學(xué)模型第二章初等模型第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型第五章微分方程模型第六章穩(wěn)定性模型第七章差分方程模型第八章離散模型第九章概率模型第十章統(tǒng)計(jì)回歸模型附錄 數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn) 3 PPT學(xué)習(xí)交流 教學(xué)進(jìn)度 4 PPT學(xué)習(xí)交流 5 PPT學(xué)習(xí)交流 第一章建立數(shù)學(xué)模型 1 1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1 2數(shù)學(xué)建模的重要意義1 3數(shù)學(xué)建模示例1 4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1 5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1 6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模 6 PPT學(xué)習(xí)交流 玩具 照片 飛機(jī) 火箭模型 實(shí)物模型 水箱中的艦艇 風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型 地圖 電路圖 分子結(jié)構(gòu)圖 符號(hào)模型 模型是為了一定目的 對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮 抽象 提煉出來(lái)的原型的替代物 模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征 1 1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型 我們常見(jiàn)的模型 7 PPT學(xué)習(xí)交流 你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型 航行問(wèn)題 用x表示船速 y表示水速 列出方程 答 船速每小時(shí)20千米 小時(shí) 甲乙兩地相距750千米 船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí) 從乙到甲逆水航行需50小時(shí) 問(wèn)船的速度是多少 x 20y 5 8 PPT學(xué)習(xí)交流 航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè) 船速 水速為常數(shù) 用符號(hào)表示有關(guān)量 x y表示船速和水速 用物理定律 勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間 列出數(shù)學(xué)式子 二元一次方程 求解得到數(shù)學(xué)解答 x 20 y 5 回答原問(wèn)題 船速每小時(shí)20千米 小時(shí) 9 PPT學(xué)習(xí)交流 數(shù)學(xué)模型 MathematicalModel 和數(shù)學(xué)建模 MathematicalModeling 對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象 為了一個(gè)特定目的 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律 作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè) 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具 得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程 包括表述 求解 解釋 檢驗(yàn)等 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模 10 PPT學(xué)習(xí)交流 1 2數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透 數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步 越來(lái)越受到人們的重視 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域 為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地 11 PPT學(xué)習(xí)交流 數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理 數(shù)學(xué)建模 計(jì)算機(jī)技術(shù) 知識(shí)經(jīng)濟(jì) 12 PPT學(xué)習(xí)交流 1 3數(shù)學(xué)建模示例 1 3 1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 問(wèn)題分析 模型假設(shè) 通常 三只腳著地 放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng) 椅腳與地面點(diǎn)接觸 四腳連線呈正方形 地面高度連續(xù)變化 可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面 地面相對(duì)平坦 使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地 13 PPT學(xué)習(xí)交流 模型構(gòu)成 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) 椅子位置 利用正方形 椅腳連線 的對(duì)稱性 用 對(duì)角線與x軸的夾角 表示椅子位置 四只腳著地 距離是 的函數(shù) 四個(gè)距離 四只腳 A C兩腳與地面距離之和 f B D兩腳與地面距離之和 g 兩個(gè)距離 椅腳與地面距離為零 正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 14 PPT學(xué)習(xí)交流 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) f g 是連續(xù)函數(shù) 對(duì)任意 f g 至少一個(gè)為0 數(shù)學(xué)問(wèn)題 已知 f g 是連續(xù)函數(shù) 對(duì)任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 證明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型構(gòu)成 地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地 15 PPT學(xué)習(xí)交流 模型求解 給出一種簡(jiǎn)單 粗糙的證明方法 將椅子旋轉(zhuǎn)900 對(duì)角線AC和BD互換 由g 0 0 f 0 0 知f 2 0 g 2 0 令h f g 則h 0 0和h 2 0 由f g的連續(xù)性知h為連續(xù)函數(shù) 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 必存在 0 使h 0 0 即f 0 g 0 因?yàn)閒 g 0 所以f 0 g 0 0 評(píng)注和思考 建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì) 考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子 和f g 的確定 16 PPT學(xué)習(xí)交流 背景 世界人口增長(zhǎng)概況 中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 研究人口變化規(guī)律 控制人口過(guò)快增長(zhǎng) 1 3 3如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng) 17 PPT學(xué)習(xí)交流 指數(shù)增長(zhǎng)模型 馬爾薩斯提出 1798 常用的計(jì)算公式 x t 時(shí)刻t的人口 基本假設(shè) 人口 相對(duì) 增長(zhǎng)率r是常數(shù) 今年人口x0 年增長(zhǎng)率r k年后人口 隨著時(shí)間增加 人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng) 18 PPT學(xué)習(xí)交流 指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程 19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù) 19 PPT學(xué)習(xí)交流 阻滯增長(zhǎng)模型 Logistic模型 人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后 增長(zhǎng)率下降的原因 資源 環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用 且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大 假設(shè) r 固有增長(zhǎng)率 x很小時(shí) xm 人口容量 資源 環(huán)境能容納的最大數(shù)量 20 PPT學(xué)習(xí)交流 x t S形曲線 x增加先快后慢 阻滯增長(zhǎng)模型 Logistic模型 21 PPT學(xué)習(xí)交流 參數(shù)估計(jì) 用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào) 必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合 例 美國(guó)人口數(shù)據(jù) 單位 百萬(wàn) 專家估計(jì) 阻滯增長(zhǎng)模型 Logistic模型 22 PPT學(xué)習(xí)交流 模型檢驗(yàn) 用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口 與實(shí)際數(shù)據(jù)比較 實(shí)際為281 4 百萬(wàn) 模型應(yīng)用 預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口 加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù) Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用 如耐用消費(fèi)品的售量 阻滯增長(zhǎng)模型 Logistic模型 23 PPT學(xué)習(xí)交流 數(shù)學(xué)建模的基本方法 機(jī)理分析 測(cè)試分析 根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí) 找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律 將對(duì)象看作 黑箱 通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法 主要通過(guò)實(shí)例研究 CaseStudies 來(lái)學(xué)習(xí) 以下建模主要指機(jī)理分析 二者結(jié)合 用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu) 用測(cè)試分析確定模型參數(shù) 1 4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 24 PPT學(xué)習(xí)交流 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 模型準(zhǔn)備 了解實(shí)際背景 明確建模目的 搜集有關(guān)信息 掌握對(duì)象特征 形成一個(gè)比較清晰的 問(wèn)題 25 PPT學(xué)習(xí)交流 模型假設(shè) 針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的 作出合理的 簡(jiǎn)化的假設(shè) 在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中 模型構(gòu)成 用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言 符號(hào)描述問(wèn)題 發(fā)揮想像力 使用類比法 盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 26 PPT學(xué)習(xí)交流 模型求解 各種數(shù)學(xué)方法 軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù) 如結(jié)果的誤差分析 統(tǒng)計(jì)分析 模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析 模型分析 模型檢驗(yàn) 與實(shí)際現(xiàn)象 數(shù)據(jù)比較 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?適用性 模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟 27 PPT學(xué)習(xí)交流 數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程 現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息 數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答 數(shù)學(xué)模型的解答 歸納 演繹 表述 求解 解釋 驗(yàn)證 根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題 翻譯 成數(shù)學(xué)問(wèn)題 選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答 將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答 翻譯 回實(shí)際對(duì)象 用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答 實(shí)踐 現(xiàn)實(shí)世界 數(shù)學(xué)世界 28 PPT學(xué)習(xí)交流 1 5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類 模型的逼真性和可行性 模型的漸進(jìn)性 模型的強(qiáng)健性 模型的可轉(zhuǎn)移性 模型的非預(yù)制性 模型的條理性 模型的技藝性 模型的局限性 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn) 29 PPT學(xué)習(xí)交流 數(shù)學(xué)模型的分類 應(yīng)用領(lǐng)域 人口 交通 經(jīng)濟(jì) 生態(tài) 數(shù)學(xué)方法 初等數(shù)學(xué) 微分方程 規(guī)劃 統(tǒng)計(jì) 表現(xiàn)特性 描述 優(yōu)化 預(yù)報(bào) 決策 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 確定和隨機(jī) 靜態(tài)和動(dòng)態(tài) 線性和非線性 離散和連續(xù) 30 PPT學(xué)習(xí)交流 1 6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門技術(shù) 不如說(shuō)是一門藝術(shù) 技術(shù)大致有章可循 藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則 想像力 洞察力 判斷力 學(xué)習(xí) 分析 評(píng)價(jià) 改進(jìn)別人作過(guò)的模型 親自動(dòng)手 認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目 31 PPT學(xué)習(xí)交流 第二章初等模型 2 1公平的席位分配2 2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2 3雙層玻璃窗的功效2 7實(shí)物交換 32 PPT學(xué)習(xí)交流 2 1公平的席位分配 問(wèn)題 三個(gè)系學(xué)生共200名 甲系100 乙系60 丙系40 代表會(huì)議共20席 按比例分配 三個(gè)系分別為10 6 4席 現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系 三系人數(shù)為103 63 34 問(wèn)20席如何分配 若增加為21席 又如何分配 比例加慣例 對(duì)丙系公平嗎 33 PPT學(xué)習(xí)交流 公平 分配方法 衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo) 當(dāng)p1 n1 p2 n2時(shí) 分配公平 p1 n1 p2 n2 對(duì)A的絕對(duì)不公平度 p1 150 n1 10 p1 n1 15p2 100 n2 10 p2 n2 10 p1 1050 n1 10 p1 n1 105p2 1000 n2 10 p2 n2 100 p1 n1 p2 n2 5 但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低 雖二者的絕對(duì)不公平度相同 若p1 n1 p2 n2 對(duì)不公平 A p1 n1 p2 n2 5 34 PPT學(xué)習(xí)交流 公平分配方案應(yīng)使rA rB盡量小 設(shè)A B已分別有n1 n2席 若增加1席 問(wèn)應(yīng)分給A 還是B 不妨設(shè)分配開始時(shí)p1 n1 p2 n2 即對(duì)A不公平 對(duì)A的相對(duì)不公平度 將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量 類似地定義rB n1 n2 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配 即 公平 分配方法 若p1 n1 p2 n2 定義 35 PPT學(xué)習(xí)交流 1 若p1 n1 1 p2 n2 則這席應(yīng)給A 2 若p1 n1 1 p2 n2 3 若p1 n1 p2 n2 1 應(yīng)計(jì)算rB n1 1 n2 應(yīng)計(jì)算rA n1 n2 1 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 則這席應(yīng)給 應(yīng)討論以下幾種情況 初始p1 n1 p2 n2 問(wèn) p1 n1 p2 n2 1 是否會(huì)出現(xiàn) A 否 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 則這席應(yīng)給B 36 PPT學(xué)習(xí)交流 當(dāng)rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 該席給A 該席給A 否則 該席給B 推廣到m方分配席位 該席給Q值最大的一方 Q值方法 37 PPT學(xué)習(xí)交流 三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位 按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢 甲系 p1 103 n1 10乙系 p2 63 n2 6丙系 p3 34 n3 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 第21席 同上 Q3最大 第21席給丙系 甲系11席 乙系6席 丙系4席 Q值方法分配結(jié)果 公平嗎 Q1最大 第20席給甲系 38 PPT學(xué)習(xí)交流 進(jìn)一步的討論 Q值方法比 比例加慣例 方法更公平嗎 席位分配的理想化準(zhǔn)則 已知 m方人數(shù)分別為p1 p2 pm 記總?cè)藬?shù)為P p1 p2 pm 待分配的總席位為N 設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1 n2 nm 自然應(yīng)有n1 n2 nm N 記qi Npi P i 1 2 m ni應(yīng)是N和p1 pm的函數(shù) 即ni ni N p1 pm 若qi均為整數(shù) 顯然應(yīng)ni qi 39 PPT學(xué)習(xí)交流 qi Npi P不全為整數(shù)時(shí) ni應(yīng)滿足的準(zhǔn)則 記 qi floor qi 向 qi方向取整 qi ceil qi 向 qi方向取整 1 qi ni qi i 1 2 m 2 ni N p1 pm ni N 1 p1 pm i 1 2 m 即ni必取 qi qi 之一 即當(dāng)總席位增加時(shí) ni不應(yīng)減少 比例加慣例 方法滿足1 但不滿足2 Q值方法滿足2 但不滿足1 令人遺憾 40 PPT學(xué)習(xí)交流 問(wèn)題 在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半 計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450 問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目 要求 不僅回答問(wèn)題 而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系 思考 計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎 2 2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途 經(jīng)試驗(yàn) 一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾 時(shí)間用了184分 計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061 41 PPT學(xué)習(xí)交流 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理 錄像帶運(yùn)動(dòng) 問(wèn)題分析 觀察 計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢 42 PPT學(xué)習(xí)交流 模型假設(shè) 錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)v 計(jì)數(shù)器讀數(shù)n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)m成正比 記m kn 錄像帶厚度 加兩圈間空隙 為常數(shù)w 空右輪盤半徑記作r 時(shí)間t 0時(shí)讀數(shù)n 0 建模目的 建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系 設(shè)v k w r為已知參數(shù) 43 PPT學(xué)習(xí)交流 模型建立 建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法 1 右輪盤轉(zhuǎn)第i圈的半徑為r wi m圈的總長(zhǎng)度等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt 所以 44 PPT學(xué)習(xí)交流 2 考察右輪盤面積的變化 等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度 即 3 考察t到t dt錄像帶在右輪盤纏繞的長(zhǎng)度 有 模型建立 45 PPT學(xué)習(xí)交流 思考 3種建模方法得到同一結(jié)果 但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別 請(qǐng)解釋 模型中有待定參數(shù) 一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法 思考 46 PPT學(xué)習(xí)交流 參數(shù)估計(jì) 另一種確定參數(shù)的方法 測(cè)試分析 將模型改記作 只需估計(jì)a b 理論上 已知t 184 n 6061 再有一組 t n 數(shù)據(jù)即可 實(shí)際上 由于測(cè)試有誤差 最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合 現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù) 用最小二乘法可得 47 PPT學(xué)習(xí)交流 模型檢驗(yàn) 應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?模型應(yīng)用 回答提出的問(wèn)題 由模型算得n 4450時(shí)t 116 4分 剩下的錄像帶能錄184 116 4 67 6分鐘的節(jié)目 揭示了 t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系 這一普遍規(guī)律 當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí) 只需重新估計(jì)a b即可 48 PPT學(xué)習(xí)交流 問(wèn)題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比 減少多少熱量損失 假設(shè) 熱量傳播只有傳導(dǎo) 沒(méi)有對(duì)流 T1 T2不變 熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻 熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù) 建模 熱傳導(dǎo)定律 Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量 T 溫差 d 材料厚度 k 熱傳導(dǎo)系數(shù) 2 3雙層玻璃窗的功效 49 PPT學(xué)習(xí)交流 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1 Ta 內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 Tb 外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 建模 50 PPT學(xué)習(xí)交流 記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2 雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比 k1 4 10 3 8 10 3 k2 2 5 10 4 k1 k2 16 32 對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì) 取k1 k2 16 建模 51 PPT學(xué)習(xí)交流 模型應(yīng)用 取h l d 4 則Q1 Q2 0 03 即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比 可減少97 的熱量損失 結(jié)果分析 Q1 Q2所以如此小 是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2 而這要求空氣非常干燥 不流通 房間通過(guò)天花板 墻壁 損失的熱量更多 雙層窗的功效不會(huì)如此之大 52 PPT學(xué)習(xí)交流 問(wèn)題 甲有物品X 乙有物品Y 雙方為滿足更高的需要 商定相互交換一部分 研究實(shí)物交換方案 用x y分別表示甲 乙 占有X Y的數(shù)量 設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0 乙占有Y的數(shù)量為y0 作圖 若不考慮雙方對(duì)X Y的偏愛(ài) 則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p x y 都是一種交換方案 甲占有 x y 乙占有 x0 x y0 y 2 7實(shí)物交換 53 PPT學(xué)習(xí)交流 甲的無(wú)差別曲線 分析與建模 如果甲占有 x1 y1 與占有 x2 y2 具有同樣的滿意程度 即p1 p2對(duì)甲是無(wú)差別的 線上各點(diǎn)的滿意度相同 線的形狀反映對(duì)X Y的偏愛(ài)程度 比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3 在另一條無(wú)差別曲線M1N1上 于是形成一族無(wú)差別曲線 無(wú)數(shù)條 54 PPT學(xué)習(xí)交流 無(wú)差別曲線族的性質(zhì) 單調(diào)減 x增加 y減小 下凸 凸向原點(diǎn) 互不相交 在p1點(diǎn)占有x少 y多 寧愿以較多的 y換取較少的 x 在p2點(diǎn)占有y少 x多 就要以較多的 x換取較少的 y 甲的無(wú)差別曲線族記作 f x y c1 c1 滿意度 f 等滿意度曲線 55 PPT學(xué)習(xí)交流 乙的無(wú)差別曲線族g x y c2具有相同性質(zhì) 形狀可以不同 雙方的交換路徑 乙的無(wú)差別曲線族g c2 坐標(biāo)系x O y 且反向 甲的無(wú)差別曲線族f c1 雙方滿意的交換方案必在AB 交換路徑 上 因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p 雙方 滿意度低于AB上的點(diǎn)p 兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB 56 PPT學(xué)習(xí)交流 p 交換方案的進(jìn)一步確定 交換方案 交換后甲的占有量 x y 0 x x0 0 y y0矩形內(nèi)任一點(diǎn) 交換路徑AB 等價(jià)交換原則 X Y用貨幣衡量其價(jià)值 設(shè)交換前x0 y0價(jià)值相同 則等價(jià)交換原則下交換路徑為 x0 0 0 y0 兩點(diǎn)的連線CD AB與CD的交點(diǎn)p 設(shè)X單價(jià)a Y單價(jià)b 則等價(jià)交換下ax by s s ax0 by0 57 PPT學(xué)習(xí)交流 第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型 3 2生豬的出售時(shí)機(jī)3 3森林救火3 4最優(yōu)價(jià)格3 6消費(fèi)者均衡 58 PPT學(xué)習(xí)交流 現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題 靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù) 不是函數(shù) 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù) 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法 靜態(tài)優(yōu)化模型 59 PPT學(xué)習(xí)交流 3 2生豬的出售時(shí)機(jī) 飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金 用于飼料 人力 設(shè)備 估計(jì)可使80千克重的生豬體重增加2公斤 問(wèn)題 市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克8元 但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0 1元 問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售 如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差 對(duì)結(jié)果有何影響 分析 投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加 出售單價(jià)隨時(shí)間減少 故存在最佳出售時(shí)機(jī) 使利潤(rùn)最大 60 PPT學(xué)習(xí)交流 求t使Q t 最大 10天后出售 可多得利潤(rùn)20元 建模及求解 生豬體重w 80 rt 出售價(jià)格p 8 gt 銷售收入R pw 資金投入C 4t 利潤(rùn)Q R C pw C 估計(jì)r 2 若當(dāng)前出售 利潤(rùn)為80 8 640 元 t天出售 10 Q 10 660 640 g 0 1 61 PPT學(xué)習(xí)交流 敏感性分析 研究r g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 設(shè)g 0 1不變 t對(duì)r的 相對(duì) 敏感度 生豬每天體重增加量r增加1 出售時(shí)間推遲3 62 PPT學(xué)習(xí)交流 敏感性分析 研究r g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 設(shè)r 2不變 t對(duì)g的 相對(duì) 敏感度 生豬價(jià)格每天的降低量g增加1 出售時(shí)間提前3 63 PPT學(xué)習(xí)交流 強(qiáng)健性分析 保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售 由S t r 3 建議過(guò)一周后 t 7 重新估計(jì) 再作計(jì)算 研究r g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 w 80 rt w w t p 8 gt p p t 若 10 則 30 64 PPT學(xué)習(xí)交流 3 3森林救火 森林失火后 要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量 隊(duì)員多 森林損失小 救援費(fèi)用大 隊(duì)員少 森林損失大 救援費(fèi)用小 綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi) 確定隊(duì)員數(shù)量 問(wèn)題分析 問(wèn)題 記隊(duì)員人數(shù)x 失火時(shí)刻t 0 開始救火時(shí)刻t1 滅火時(shí)刻t2 時(shí)刻t森林燒毀面積B t 損失費(fèi)f1 x 是x的減函數(shù) 由燒毀面積B t2 決定 救援費(fèi)f2 x 是x的增函數(shù) 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定 存在恰當(dāng)?shù)膞 使f1 x f2 x 之和最小 65 PPT學(xué)習(xí)交流 關(guān)鍵是對(duì)B t 作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè) 問(wèn)題分析 失火時(shí)刻t 0 開始救火時(shí)刻t1 滅火時(shí)刻t2 畫出時(shí)刻t森林燒毀面積B t 的大致圖形 分析B t 比較困難 轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB dt 66 PPT學(xué)習(xí)交流 模型假設(shè) 3 f1 x 與B t2 成正比 系數(shù)c1 燒毀單位面積損失費(fèi) 1 0 t t1 dB dt與t成正比 系數(shù) 火勢(shì)蔓延速度 2 t1 t t2 降為 x 為隊(duì)員的平均滅火速度 4 每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2 一次性費(fèi)用c3 假設(shè)1 的解釋 火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心 均勻向四周呈圓形蔓延 半徑r與t成正比 67 PPT學(xué)習(xí)交流 模型建立 目標(biāo)函數(shù) 總費(fèi)用 68 PPT學(xué)習(xí)交流 模型建立 目標(biāo)函數(shù) 總費(fèi)用 模型求解 求x使C x 最小 結(jié)果解釋 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù) 其中c1 c2 c3 t1 為已知參數(shù) 69 PPT學(xué)習(xí)交流 模型應(yīng)用 c1 c2 c3已知 t1可估計(jì) c2 x c1 t1 x c3 x 結(jié)果解釋 c1 燒毀單位面積損失費(fèi) c2 每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi) c3 每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用 t1 開始救火時(shí)刻 火勢(shì)蔓延速度 每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度 為什么 可設(shè)置一系列數(shù)值 由模型決定隊(duì)員數(shù)量x 70 PPT學(xué)習(xí)交流 3 4最優(yōu)價(jià)格 問(wèn)題 根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求 在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價(jià)格 使利潤(rùn)最大 假設(shè) 1 產(chǎn)量等于銷量 記作x 2 收入與銷量x成正比 系數(shù)p即價(jià)格 3 支出與產(chǎn)量x成正比 系數(shù)q即成本 4 銷量x依賴于價(jià)格p x p 是減函數(shù) 建模與求解 收入 支出 利潤(rùn) 進(jìn)一步設(shè) 求p使U p 最大 71 PPT學(xué)習(xí)交流 使利潤(rùn)U p 最大的最優(yōu)價(jià)格p 滿足 最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到 建模與求解 72 PPT學(xué)習(xí)交流 結(jié)果解釋 q 2 成本的一半 b 價(jià)格上升1單位時(shí)銷量的下降幅度 需求對(duì)價(jià)格的敏感度 a 絕對(duì)需求 p很小時(shí)的需求 b p a p 思考 如何得到參數(shù)a b 73 PPT學(xué)習(xí)交流 3 6消費(fèi)者均衡 問(wèn)題 消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度用無(wú)差別曲線族表示 問(wèn)他如何分配一定數(shù)量的錢 購(gòu)買這兩種商品 以達(dá)到最大的滿意度 設(shè)甲乙數(shù)量為q1 q2 消費(fèi)者的無(wú)差別曲線族 單調(diào)減 下凸 不相交 記作U q1 q2 c U q1 q2 效用函數(shù) 已知甲乙價(jià)格p1 p2 有錢s 試分配s 購(gòu)買甲乙數(shù)量q1 q2 使U q1 q2 最大 74 PPT學(xué)習(xí)交流 模型及求解 已知價(jià)格p1 p2 錢s 求q1 q2 或p1q1 p2q2 使U q1 q2 最大 幾何解釋 直線MN 最優(yōu)解Q MN與l2切點(diǎn) 斜率 75 PPT學(xué)習(xí)交流 結(jié)果解釋 邊際效用 消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價(jià)格之比時(shí)達(dá)到 效用函數(shù)U q1 q2 應(yīng)滿足的條件 A U q1 q2 c所確定的函數(shù)q2 q2 q1 單調(diào)減 下凸 解釋B的實(shí)際意義 76 PPT學(xué)習(xí)交流 效用函數(shù)U q1 q2 幾種常用的形式 消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比 U q1 q2 中參數(shù) 分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度 77 PPT學(xué)習(xí)交流 購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān) U q1 q2 中參數(shù) 分別表示對(duì)甲乙的偏愛(ài)程度 思考 如何推廣到m 2 種商品的情況 效用函數(shù)U q1 q2 幾種常用的形式 78 PPT學(xué)習(xí)交流 第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 4 3汽車生產(chǎn)與原油采購(gòu)4 5飲料廠的生產(chǎn)與檢修 79 PPT學(xué)習(xí)交流 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)化模型 x 決策變量 f x 目標(biāo)函數(shù) gi x 0 約束條件 多元函數(shù)條件極值 決策變量個(gè)數(shù)n和約束條件個(gè)數(shù)m較大 最優(yōu)解在可行域的邊界上取得 數(shù)學(xué)規(guī)劃 線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃 重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析 80 PPT學(xué)習(xí)交流 如果生產(chǎn)某一類型汽車 則至少要生產(chǎn)80輛 那么最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃應(yīng)作何改變 例1汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃 汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車 已知各類型每輛車對(duì)鋼材 勞動(dòng)時(shí)間的需求 利潤(rùn)及工廠每月的現(xiàn)有量 制訂月生產(chǎn)計(jì)劃 使工廠的利潤(rùn)最大 4 3汽車生產(chǎn)與原油采購(gòu) 81 PPT學(xué)習(xí)交流 設(shè)每月生產(chǎn)小 中 大型汽車的數(shù)量分別為x1 x2 x3 汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃 模型建立 線性規(guī)劃模型 LP 82 PPT學(xué)習(xí)交流 模型求解 3 模型中增加條件 x1 x2 x3均為整數(shù) 重新求解 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 632 2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164 5161290 000000X2167 7419280 000000X30 0000000 946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 0000000 7311833 0 0000000 003226 結(jié)果為小數(shù) 怎么辦 1 舍去小數(shù) 取x1 64 x2 167 算出目標(biāo)函數(shù)值z(mì) 629 與LP最優(yōu)值632 2581相差不大 2 試探 如取x1 65 x2 167 x1 64 x2 168等 計(jì)算函數(shù)值z(mì) 通過(guò)比較可能得到更優(yōu)的解 但必須檢驗(yàn)它們是否滿足約束條件 為什么 83 PPT學(xué)習(xí)交流 IP可用LINDO直接求解 整數(shù)規(guī)劃 IntegerProgramming 簡(jiǎn)記IP gin3 表示 前3個(gè)變量為整數(shù) 等價(jià)于 ginx1ginx2ginx3 IP的最優(yōu)解x1 64 x2 168 x3 0 最優(yōu)值z(mì) 632 max2x1 3x2 4x3st1 5x1 3x2 5x3 600280 x1 250 x2 400 x3 60000endgin3 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 632 0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164 000000 2 000000X2168 000000 3 000000X30 000000 4 000000 模型求解 IP結(jié)果輸出 84 PPT學(xué)習(xí)交流 其中3個(gè)子模型應(yīng)去掉 然后逐一求解 比較目標(biāo)函數(shù)值 再加上整數(shù)約束 得最優(yōu)解 方法1 分解為8個(gè)LP子模型 汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃 若生產(chǎn)某類汽車 則至少生產(chǎn)80輛 求生產(chǎn)計(jì)劃 x1 x2 x3 0或 80 x1 80 x2 150 x3 0 最優(yōu)值z(mì) 610 85 PPT學(xué)習(xí)交流 LINDO中對(duì)0 1變量的限定 inty1inty2inty3 方法2 引入0 1變量 化為整數(shù)規(guī)劃 M為大的正數(shù) 可取1000 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 610 0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX180 000000 2 000000X2150 000000 3 000000X30 000000 4 000000Y11 0000000 000000Y21 0000000 000000Y30 0000000 000000 若生產(chǎn)某類汽車 則至少生產(chǎn)80輛 求生產(chǎn)計(jì)劃 x1 0或 80 最優(yōu)解同前 86 PPT學(xué)習(xí)交流 NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件求解 如LINGO MATLAB 但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇 方法3 化為非線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃 Non LinearProgramming 簡(jiǎn)記NLP 實(shí)踐表明 本例僅當(dāng)初值非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時(shí) 才能得到正確的結(jié)果 若生產(chǎn)某類汽車 則至少生產(chǎn)80輛 求生產(chǎn)計(jì)劃 x1 0或 80 87 PPT學(xué)習(xí)交流 應(yīng)如何安排原油的采購(gòu)和加工 例2原油采購(gòu)與加工 市場(chǎng)上可買到不超過(guò)1500噸的原油A 購(gòu)買量不超過(guò)500噸時(shí)的單價(jià)為10000元 噸 購(gòu)買量超過(guò)500噸但不超過(guò)1000噸時(shí) 超過(guò)500噸的部分8000元 噸 購(gòu)買量超過(guò)1000噸時(shí) 超過(guò)1000噸的部分6000元 噸 88 PPT學(xué)習(xí)交流 決策變量 目標(biāo)函數(shù) 問(wèn)題分析 利潤(rùn) 銷售汽油的收入 購(gòu)買原油A的支出難點(diǎn) 原油A的購(gòu)價(jià)與購(gòu)買量的關(guān)系較復(fù)雜 原油A的購(gòu)買量 原油A B生產(chǎn)汽油甲 乙的數(shù)量 c x 購(gòu)買原油A的支出 利潤(rùn) 千元 c x 如何表述 89 PPT學(xué)習(xí)交流 原油供應(yīng) 約束條件 x 500噸單價(jià)為10千元 噸 500噸 x 1000噸 超過(guò)500噸的8千元 噸 1000噸 x 1500噸 超過(guò)1000噸的6千元 噸 目標(biāo)函數(shù) 90 PPT學(xué)習(xí)交流 目標(biāo)函數(shù)中c x 不是線性函數(shù) 是非線性規(guī)劃 對(duì)于用分段函數(shù)定義的c x 一般的非線性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解 想辦法將模型化簡(jiǎn) 用現(xiàn)成的軟件求解 汽油含原油A的比例限制 約束條件 91 PPT學(xué)習(xí)交流 x1 x2 x3 以價(jià)格10 8 6 千元 噸 采購(gòu)A的噸數(shù) 目標(biāo)函數(shù) 只有當(dāng)以10千元 噸的價(jià)格購(gòu)買x1 500 噸 時(shí) 才能以8千元 噸的價(jià)格購(gòu)買x2 方法1 非線性規(guī)劃模型 可以用LINGO求解 模型求解 x x1 x2 x3 c x 10 x1 8x2 6x3 500噸 x 1000噸 超過(guò)500噸的8千元 噸 x x1 x2 x3 c x 10 x1 8x2 6x3 92 PPT學(xué)習(xí)交流 方法1 LINGO求解 Model Max 4 8 x11 4 8 x21 5 6 x12 5 6 x22 10 x1 8 x2 6 x3 x11 x120 2 x12 3 x22 0 x x1 x2 x3 x1 500 x2 0 x2 500 x3 0 x10 x11 0 x12 0 x21 0 x22 0 x1 0 x2 0 x3 0 end Objectivevalue 4800 000VariableValueReducedCostX11500 00000 0000000E 00X21500 00000 0000000E 00X120 0000000E 000 0000000E 00X220 0000000E 000 0000000E 00X10 1021405E 1310 00000X20 0000000E 008 000000X30 0000000E 006 000000X0 0000000E 000 0000000E 00 LINGO得到的是局部最優(yōu)解 還能得到更好的解嗎 用庫(kù)存的500噸原油A 500噸原油B生產(chǎn)汽油甲 不購(gòu)買新的原油A 利潤(rùn)為4 800千元 93 PPT學(xué)習(xí)交流 y1 y2 y3 1 以價(jià)格10 8 6 千元 噸 采購(gòu)A 增加約束 方法2 0 1線性規(guī)劃模型 可用LINDO求解 y1 y2 y3 0或1 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 5000 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11 0000000 000000Y21 0000002200 000000Y31 0000001200 000000X110 0000000 800000X210 0000000 800000X121500 0000000 000000X221000 0000000 000000X1500 0000000 000000X2500 0000000 000000X30 0000000 400000X1000 0000000 000000 購(gòu)買1000噸原油A 與庫(kù)存的500噸原油A和1000噸原油B一起 生產(chǎn)汽油乙 利潤(rùn)為5 000千元 x1 x2 x3 以價(jià)格10 8 6 千元 噸 采購(gòu)A的噸數(shù) 優(yōu)于方法1的結(jié)果 94 PPT學(xué)習(xí)交流 b1b2b3b4 方法3 b1 x b2 x z1b1 z2b2 z1 z2 1 z1 z2 0 c x z1c b1 z2c b2 b2 x b3 x z2b2 z3b3 z2 z3 1 z2 z3 0 c x z2c b2 z3c b3 b3 x b4 x z3b3 z4b4 z3 z4 1 z3 z4 0 c x z3c b3 z4c b4 直接處理處理分段線性函數(shù)c x 95 PPT學(xué)習(xí)交流 IP模型 LINDO求解 得到的結(jié)果與方法2相同 處理分段線性函數(shù) 方法3更具一般性 bk x bk 1 yk 1 否則 yk 0 方法3 bk x bk 1 x zkbk zk 1bk 1zk zk 1 1 zk zk 1 0 c x zkc bk zk 1c bk 1 對(duì)于k 1 2 3 96 PPT學(xué)習(xí)交流 4 5飲料廠的生產(chǎn)與檢修 單階段生產(chǎn)計(jì)劃 多階段生產(chǎn)計(jì)劃 生產(chǎn)批量問(wèn)題 企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃 考慮與產(chǎn)量無(wú)關(guān)的固定費(fèi)用 給優(yōu)化模型求解帶來(lái)新的困難 97 PPT學(xué)習(xí)交流 安排生產(chǎn)計(jì)劃 滿足每周的需求 使4周總費(fèi)用最小 存貯費(fèi) 每周每千箱飲料0 2千元 例1飲料廠的生產(chǎn)與檢修計(jì)劃 在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修 占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能力 能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱 檢修應(yīng)排在哪一周 某種飲料4周的需求量 生產(chǎn)能力和成本 98 PPT學(xué)習(xí)交流 問(wèn)題分析 除第4周外每周的生產(chǎn)能力超過(guò)每周的需求 生產(chǎn)成本逐周上升 前幾周應(yīng)多生產(chǎn)一些 飲料廠在第1周開始時(shí)沒(méi)有庫(kù)存 從費(fèi)用最小考慮 第4周末不能有庫(kù)存 周末有庫(kù)存時(shí)需支出一周的存貯費(fèi) 每周末的庫(kù)存量等于下周初的庫(kù)存量 模型假設(shè) 99 PPT學(xué)習(xí)交流 目標(biāo)函數(shù) 約束條件 產(chǎn)量 庫(kù)存與需求平衡 決策變量 能力限制 非負(fù)限制 模型建立 x1 x4 第1 4周的生產(chǎn)量 y1 y3 第1 3周末庫(kù)存量 存貯費(fèi) 0 2 千元 周 千箱 100 PPT學(xué)習(xí)交流 模型求解 4周生產(chǎn)計(jì)劃的總費(fèi)用為528 千元 最優(yōu)解 x1 x4 15 40 25 20 y1 y3 0 15 5 LINDO求解 101 PPT學(xué)習(xí)交流 檢修計(jì)劃 0 1變量wt wt 1 檢修安排在第t周 t 1 2 3 4 在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修 占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能力 能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱 檢修應(yīng)排在哪一周 檢修安排在任一周均可 約束條件 能力限制 產(chǎn)量 庫(kù)存與需求平衡條件不變 102 PPT學(xué)習(xí)交流 增加約束條件 檢修1次 檢修計(jì)劃 目標(biāo)函數(shù)不變 0 1變量wt wt 1 檢修安排在第t周 t 1 2 3 4 LINDO求解 總費(fèi)用由528千元降為527千元 檢修所導(dǎo)致的生產(chǎn)能力提高的作用 需要更長(zhǎng)的時(shí)間才能得到充分體現(xiàn) 最優(yōu)解 w1 1 w2 w3 w4 0 x1 x4 15 45 15 25 y1 y3 0 20 0 103 PPT學(xué)習(xí)交流 例2飲料的生產(chǎn)批量問(wèn)題 安排生產(chǎn)計(jì)劃 滿足每周的需求 使4周總費(fèi)用最小 存貯費(fèi) 每周每千箱飲料0 2千元 飲料廠使用同一條生產(chǎn)線輪流生產(chǎn)多種飲料 若某周開工生產(chǎn)某種飲料 需支出生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)8千元 某種飲料4周的需求量 生產(chǎn)能力和成本 104 PPT學(xué)習(xí)交流 混合0 1規(guī)劃模型 最優(yōu)解 x1 x4 15 40 45 0 總費(fèi)用 554 0 千元 生產(chǎn)批量問(wèn)題的一般提法 將所給參數(shù)代入模型 用LINDO求解 105 PPT學(xué)習(xí)交流 第五章微分方程模型 5 1傳染病模型5 2經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型5 6人口預(yù)測(cè)和控制 106 PPT學(xué)習(xí)交流 動(dòng)態(tài)模型 描述對(duì)象特征隨時(shí)間 空間 的演變過(guò)程 分析對(duì)象特征的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài) 研究控制對(duì)象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù) 微分方程建模 根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程 107 PPT學(xué)習(xí)交流 5 1傳染病模型 問(wèn)題 描述傳染病的傳播過(guò)程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律 用機(jī)理分析方法建立模型 108 PPT學(xué)習(xí)交流 已感染人數(shù) 病人 i t 每個(gè)病人每天有效接觸 足以使人致病 人數(shù)為 模型1 假設(shè) 若有效接觸的是病人 則不能使病人數(shù)增加 建模 109 PPT學(xué)習(xí)交流 模型2 區(qū)分已感染者 病人 和未感染者 健康人 假設(shè) 1 總?cè)藬?shù)N不變 病人和健康人的比例分別為 2 每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為 且使接觸的健康人致病 建模 日接觸率 SI模型 110 PPT學(xué)習(xí)交流 模型2 tm 傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻 日接觸率 tm 病人可以治愈 t tm di dt最大 111 PPT學(xué)習(xí)交流 模型3 傳染病無(wú)免疫性 病人治愈成為健康人 健康人可再次被感染 增加假設(shè) SIS模型 3 病人每天治愈的比例為 日治愈率 建模 日接觸率 1 感染期 一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù) 稱為接觸數(shù) 112 PPT學(xué)習(xí)交流 模型3 接觸數(shù) 1 閾值 感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù) 模型2 SI模型 如何看作模型3 SIS模型 的特例 113 PPT學(xué)習(xí)交流 模型4 傳染病有免疫性 病人治愈后即移出感染系統(tǒng) 稱移出者 SIR模型 假設(shè) 1 總?cè)藬?shù)N不變 病人 健康人和移出者的比例分別為 2 病人的日接觸率 日治愈率 接觸數(shù) 建模 需建立的兩個(gè)方程 114 PPT學(xué)習(xí)交流 模型4 SIR模型 115 PPT學(xué)習(xí)交流 模型4 SIR模型 相軌線的定義域 在D內(nèi)作相軌線的圖形 進(jìn)行分析 116 PPT學(xué)習(xí)交流 模型4 SIR模型 相軌線及其分析 s t 單調(diào)減 相軌線的方向 P1 s0 1 i t 先升后降至0 P2 s0 1 i t 單調(diào)降至0 1 閾值 117 PPT學(xué)習(xí)交流 模型4 SIR模型 預(yù)防傳染病蔓延的手段 日接觸率 衛(wèi)生水平 日治愈率 醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件 s0 1 的估計(jì) 降低s0 提高r0 提高閾值1 118 PPT學(xué)習(xí)交流 模型4 SIR模型 被傳染人數(shù)的估計(jì) 記被傳染人數(shù)比例 小 s0 1 提高閾值1 降低被傳染人數(shù)比例x s0 1 119 PPT學(xué)習(xí)交流 5 2經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型 增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟(jì) 增加投資 增加勞動(dòng)力 提高技術(shù) 建立產(chǎn)值與資金 勞動(dòng)力之間的關(guān)系 研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配 使投資效益最大 調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長(zhǎng)率 使經(jīng)濟(jì) 生產(chǎn)率 增長(zhǎng) 1 道格拉斯 Douglas 生產(chǎn)函數(shù) 產(chǎn)值Q t F為待定函數(shù) 資金K t 勞動(dòng)力L t 技術(shù)f t f0 120 PPT學(xué)習(xí)交流 模型假設(shè) 靜態(tài)模型 每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值 每個(gè)勞動(dòng)力的投資 z隨著y的增加而增長(zhǎng) 但增長(zhǎng)速度遞減 1 道格拉斯 Douglas 生產(chǎn)函數(shù) 含義 Douglas生產(chǎn)函數(shù) 121 PPT學(xué)習(xí)交流 QK 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值 QL 單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值 資金在產(chǎn)值中的份額 1 勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額 更一般的道格拉斯 Douglas 生產(chǎn)函數(shù) 1 Douglas生產(chǎn)函數(shù) 122 PPT學(xué)習(xí)交流 w r K L 求資金與勞動(dòng)力的分配比例K L 每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金 使效益S最大 資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益 資金來(lái)自貸款 利率r 勞動(dòng)力付工資w 2 資金與勞動(dòng)力的最佳分配 靜態(tài)模型 123 PPT學(xué)習(xí)交流 3 經(jīng)濟(jì) 生產(chǎn)率 增長(zhǎng)的條件 動(dòng)態(tài)模型 要使Q t 或Z t Q t L t 增長(zhǎng) K t L t 應(yīng)滿足的條件 模型假設(shè) 投資增長(zhǎng)率與產(chǎn)值成正比 用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn) 勞動(dòng)力相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù) 124 PPT學(xué)習(xí)交流 Bernoulli方程 125 PPT學(xué)習(xí)交流 產(chǎn)值Q t 增長(zhǎng) 3 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件 126 PPT學(xué)習(xí)交流 勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率 每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值Z t Q t L t 增長(zhǎng) 3 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件 127 PPT學(xué)習(xí)交流 5 6人口預(yù)測(cè)和控制 年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性 只考慮自然出生與死亡 不計(jì)遷移 人口發(fā)展方程 128 PPT學(xué)習(xí)交流 人口發(fā)展方程 一階偏微分方程 129 PPT學(xué)習(xí)交流 人口發(fā)展方程 已知函數(shù) 人口調(diào)查 生育率 控制人口手段 130 PPT學(xué)習(xí)交流 生育率的分解 總和生育率 h 生育模式 131 PPT學(xué)習(xí)交流 人口發(fā)展方程和生育率 總和生育率 控制生育的多少 生育模式 控制生育的早晚和疏密 正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大 132 PPT學(xué)習(xí)交流 人口指數(shù) 1 人口總數(shù) 2 平均年齡 3 平均壽命 t時(shí)刻出生的人 死亡率按 r t 計(jì)算的平均存活時(shí)間 4 老齡化指數(shù) 控制生育率 控制N t 不過(guò)大 控制 t 不過(guò)高 133 PPT學(xué)習(xí)交流 第六章穩(wěn)定性模型 6 1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲6 2軍備競(jìng)賽6 4種群的相互依存 134 PPT學(xué)習(xí)交流 穩(wěn)定性模型 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程 而建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì) 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定 不求解微分方程 而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 135 PPT學(xué)習(xí)交流 6 1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 再生資源 漁業(yè) 林業(yè)等 與非再生資源 礦業(yè)等 再生資源應(yīng)適度開發(fā) 在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益 問(wèn)題及分析 在捕撈量穩(wěn)定的條件下 如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳 如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量 漁場(chǎng)魚量將保持不變 則捕撈量穩(wěn)定 背景 136 PPT學(xué)習(xí)交流 產(chǎn)量模型 假設(shè) 無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場(chǎng)魚量滿足 不需要求解x t 只需知道x t 穩(wěn)定的條件 r 固有增長(zhǎng)率 N 最大魚量 h x Ex E 捕撈強(qiáng)度 x t 漁場(chǎng)魚量 137 PPT學(xué)習(xí)交流 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 一階非線性 自治 方程 F x 0的根x0 微分方程的平衡點(diǎn) 不求x t 判斷x0穩(wěn)定性的方法 直接法 1 的近似線性方程 138 PPT學(xué)習(xí)交流 產(chǎn)量模型 穩(wěn)定性判斷 x0穩(wěn)定 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1穩(wěn)定 漁場(chǎng)干枯 E 捕撈強(qiáng)度 r 固有增長(zhǎng)率 139 PPT學(xué)習(xí)交流 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下 控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大 圖解法 P的橫坐標(biāo)x0 平衡點(diǎn) P的縱坐標(biāo)h 產(chǎn)量 產(chǎn)量最大 控制漁場(chǎng)魚量為最大魚量的一半 140 PPT學(xué)習(xí)交流 效益模型 假設(shè) 魚銷售價(jià)格p 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c 單位時(shí)間利潤(rùn) 在捕撈量穩(wěn)定的條件下 控制捕撈強(qiáng)度使效益最大 求E使R E 最大 漁場(chǎng)魚量 收入T ph x pEx 支出S cE 141 PPT學(xué)習(xí)交流 捕撈過(guò)度 封閉式捕撈追求利潤(rùn)R E 最大 開放式捕撈只求利潤(rùn)R E 0 R E 0時(shí)的捕撈強(qiáng)度 臨界強(qiáng)度 Es 2ER 臨界強(qiáng)度下的漁場(chǎng)魚量 捕撈過(guò)度 令 0 142 PPT學(xué)習(xí)交流 6 2軍備競(jìng)賽 描述雙方 國(guó)家或國(guó)家集團(tuán) 軍備競(jìng)賽過(guò)程 解釋 預(yù)測(cè) 雙方軍備競(jìng)賽的結(jié)局 假設(shè) 1 由于相互不信任 一方軍備越大 另一方軍備增加越快 2 由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力限制 一方軍備越大 對(duì)自己軍備增長(zhǎng)的制約越大 3 由于相互敵視或領(lǐng)土爭(zhēng)端 每一方都存在增加軍備的潛力 進(jìn)一步假設(shè) 1 2 的作用為線性 3 的作用為常數(shù) 目的 143 PPT學(xué)習(xí)交流 建模 軍備競(jìng)賽的結(jié)局 x t 甲方軍備數(shù)量 y t 乙方軍備數(shù)量 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約 k l 對(duì)方軍備數(shù)量的刺激 g h 本方軍備競(jìng)賽的潛力 144 PPT學(xué)習(xí)交流 記系數(shù)矩陣 特征方程 特征根 145 PPT學(xué)習(xí)交流 特征根 平衡點(diǎn)P0 0 0 微分方程一般解形式 1 2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部 p 0或q 0 146 PPT學(xué)習(xí)交流 平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷 系數(shù)矩陣 平衡點(diǎn) x0 y0 穩(wěn)定的條件 模型 軍備競(jìng)賽 147 PPT學(xué)習(xí)交流 模型的定性解釋 雙方軍備穩(wěn)定 時(shí)間充分長(zhǎng)后趨向有限值 的條件 雙方經(jīng)濟(jì)制約大于雙方軍備刺激時(shí) 軍備競(jìng)賽才會(huì)穩(wěn)定 否則軍備將無(wú)限擴(kuò)張 平衡點(diǎn) 2 若g h 0 則x0 y0 0 在 kl下x t y t 0 即友好鄰國(guó)通過(guò)裁軍可達(dá)到永久和平 模型 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約 k l 對(duì)方軍備數(shù)量的刺激 g h 本方軍備競(jìng)賽的潛力 148 PPT學(xué)習(xí)交流 3 若g h不為零 即便雙方一時(shí)和解 使某時(shí)x t y t 很小 但因 也會(huì)重整軍備 4 即使某時(shí)一方 由于戰(zhàn)敗或協(xié)議 軍備大減 如x t 0 也會(huì)因使該方重整軍備 即存在互不信任 或固有爭(zhēng)端 的單方面裁軍不會(huì)持久 模型的定性解釋 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約 k l 對(duì)方軍備數(shù)量的刺激 g h 本方軍備競(jìng)賽的潛力 模型 149 PPT學(xué)習(xí)交流 6 4種群的相互依存 甲乙兩種群的相互依存有三種形式 1 甲可以獨(dú)自生存 乙不能獨(dú)自生存 甲乙一起生存時(shí)相互提供食物 促進(jìn)增長(zhǎng) 2 甲乙均可以獨(dú)自生存 甲乙一起生存時(shí)相互提供食物 促進(jìn)增長(zhǎng) 3 甲乙均不能獨(dú)自生存 甲乙一起生存時(shí)相互提供食物 促進(jìn)增長(zhǎng) 150 PPT學(xué)習(xí)交流 模型假設(shè) 甲可以獨(dú)自生存 數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律 甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物 促進(jìn)增長(zhǎng) 乙不能獨(dú)自生存 甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物 促進(jìn)增長(zhǎng) 乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用 服從Logistic規(guī)律 模型 乙為甲提供食物是甲消耗的 1倍 甲為乙提供食物是乙消耗的 2倍 151 PPT學(xué)習(xí)交流 種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn) 152 PPT學(xué)習(xí)交流 平衡點(diǎn)P2穩(wěn)定性的相軌線 11 1 2 1