2019年初中數(shù)學(xué)突破中考?jí)狠S題幾何模型之正方形的半角模型教案(有答案)

1.掌握正方形的定義，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系。2.掌握正方形的性質(zhì)定理1和性質(zhì)定理2。3.正確運(yùn)用正方形的性質(zhì)解題。4.通過(guò)四邊形的從屬關(guān)系滲透集合思想。5.通過(guò)理解四種四邊形內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證觀點(diǎn)。正方形的性質(zhì)因?yàn)檎叫问翘厥獾钠叫兴倪呅危€是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有這些圖形性質(zhì)的綜合，因此正方形有以下性質(zhì)（由學(xué)生 和老師一起總結(jié)）。正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等。正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。說(shuō)明：定理2包括了平行四邊形，矩形，菱形對(duì)角線的性質(zhì)，一個(gè)題設(shè)同時(shí)有四個(gè)結(jié)論，這是該定理的特點(diǎn)，在應(yīng)用時(shí)需要哪個(gè)結(jié)論就用哪個(gè)結(jié)論，并非把結(jié)論寫全。小結(jié)： （1）正方形與矩形，菱形，平行四邊形的關(guān)系如上圖（2）正方形的性質(zhì)：正方形對(duì)邊平行。正方形四邊相等。正方形四個(gè)角都是直角。正方形對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。例1如圖，折疊正方形紙片，先折出折痕，再折疊使邊與對(duì)角線重合，得折痕，使，求【解析】：作GMBD，垂足為M 由題意可知ADG=GDM， 則ADGMDG DM=DA=2 AC=GM 又易知：GM=BM 而BM=BD-DM=2-2=2（-1）， AG=BM=2（-1）例2 如圖，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，并且點(diǎn)到邊的距離也等于，求正方形的面積？【解析】：過(guò)作于交于 設(shè)，則， 由 可得： 故 例3. 如圖，、分別為正方形的邊、上的一點(diǎn)，垂足為，則有，為什么？【解析】：要說(shuō)明EF=BE+DF，只需說(shuō)明BE=EM，DF=FM即可，而連結(jié)AE、AF只要能說(shuō)明ABEAME，ADFAMF即可 理由：連結(jié)AE、AF 由AB=AM，ABBC，AMEF，AE公用， ABEAME BE=ME 同理可得，ADFAMF DF=MFEF=ME+MF=BE+DF例4如下圖、分別在正方形的邊、上，且，試說(shuō)明。【解析】：將ADF旋轉(zhuǎn)到ABC，則ADFABGAF=AG，ADF=BAG，DF=BGEAF=45且四邊形是正方形，ADFBAE=45GABBAE=45即GAE=45AEFAEG（SAS）EF=EG=EBBG=EBDF例5. 如圖，在正方形的、邊上取、兩點(diǎn)，使，于. 求證： 【解析】：欲證 AG=AB，就圖形直觀來(lái)看，應(yīng)證RtABE與RtAGE全等，但條件不夠. EAF=45怎么用呢？顯然12=45，若把它們拼在一起，問題就解決了. 【證明】：把 AFD繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90至AHB. EAF=45，12=45. 2=3，13=45. 又由旋轉(zhuǎn)所得 AH=AF，AE=AE. AEFAEH. 例6.(1) 如圖1,在正方形中,點(diǎn),分別在邊,上,交于點(diǎn),.求證：.圖2(2) 如圖2,在正方形中,點(diǎn),分別在邊,上,交于點(diǎn),.求的長(zhǎng).1. 已知點(diǎn),分別在矩形的邊,上，,交于點(diǎn),. 直接寫出下列兩題的答案：如圖3,矩形由個(gè)全等的正方形組成,求的長(zhǎng)； 如圖4,矩形由個(gè)全等的正方形組成,求的長(zhǎng)(用的代數(shù)式表示).圖4圖3圖1【解析】(1) 證明：如圖1， 四邊形ABCD為正方形， AB=BC,ABC=BCD=90， EAB+AEB=90. EOB=AOF90, FBC+AEB=90， EAB=FBC， 圖2ONM ABEBCF ， BE=CF (2) 解：如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AM/GH交BC于M，過(guò)點(diǎn)B作BN/EF交CD于N,AM與BN交于點(diǎn)O/，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形， EF=BN,GH=AM， FOH90, AM/GH，EF/BN, NO/A=90,故由(1)得, ABMBCN， AM=BN， GH=EF=4 (3) 8 4n 【雙基訓(xùn)練】1. 如圖6，點(diǎn)在線段上，四邊形與都是正方形，其邊長(zhǎng)分別為和，則的面積為_ (6) (7)2你可以依次剪6張正方形紙片，拼成如圖7所示圖形如果你所拼得的圖形中正方形的面積為1，且正方形與正方形的面積相等，那么正方形的面積為_3.如圖9，已知正方形的面積為35平方厘米，、分別為邊、上的點(diǎn)、相交于，并且的面積為14平方厘米，的面積為5平方厘米，那么四邊形的面積是_4. 如圖，、三點(diǎn)在同一條直線上，。分別以、為邊作正方形和正方形，連接，。求證：。5.如圖 ，是正方形是上的一點(diǎn)，于 ，于 （1）求證：； ADEFCGB（2）求證：【縱向應(yīng)用】6. 在正方形中，求證：7. 在正方形中，,求證： 8. 如圖13，點(diǎn)為正方形對(duì)角線上一點(diǎn), , AD 求證：BCF 13E G9.已知：點(diǎn)、分別正方形中和的中點(diǎn)，連接和相交于點(diǎn),于點(diǎn).一、 求證： ；二、 如果,求的長(zhǎng)；三、 求證： 【練習(xí)題答案】16cm2 23634cm2（面積法）4.證明：FN=EC。證明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，AB=BE=EF，BC=BN，F(xiàn)EN=EBC=90AB=2BCEN=BC FENEBC FN=EC。 5.略6.提示：注意到基本圖形中的AE=AF.1. 兩次應(yīng)用內(nèi)角平分線定理和CE=CF可證2. 過(guò)點(diǎn)O作OGDE和CO=CG,CF=CE可證. 3， 過(guò)點(diǎn)O作OHBE, OF= OH=7.提示：一條線段的一半或2倍這兩者的位置關(guān)系有哪兩種8.提示：延長(zhǎng)AE交GF于點(diǎn)M，DC,使CH=DG,連接HF,證四邊形對(duì)角互補(bǔ),法2：延長(zhǎng)FE，AE證全等三角形9.（1)略（2）（3）作CMDG,證DM=AG=0.5DG（1）定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。（2）特征：邊：兩組對(duì)邊分別平行；四條邊都相等； 內(nèi)角：四個(gè)角都是90； 對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直；對(duì)角線相等且互相平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。（3）主要識(shí)別方法： 1：對(duì)角線相等的菱形是正方形 2：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 3：四邊相等，有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形 4：一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形 5：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形。不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形。正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形。例1. 已知：如圖，是正方形內(nèi)點(diǎn)， 求證：是正三角形APCDB【證明】：如下圖做DGC使與ADP全等，可得PDG為等邊，從而可得DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300 ，從而得出PBC是正三角形PCGFBQADE例2. 如圖，分別以的和為一邊，在的外側(cè)作正方形和正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)求證：點(diǎn)到邊的距離等于的一半【證明】：過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H。可得PQ=。由EGAAIC，可得EG=AI，由BFHCBI，可得FH=BI。從而可得PQ= = ，從而得證。例4. 如圖，四邊形為正方形，與相交于求證：【證明】：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ADE，到ABG，連接CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 從而可得B，G，D在一條直線上，可得AGBCGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得AGC為等邊三角形。 AGB=300，既得EAC=300，從而可得A EC=750。 又EFC=DFA=450+300=750.AFDECB 可證：CE=CF。例6. 設(shè)是正方形一邊上的任一點(diǎn)，平分求證：【證明】：作FGCD，F(xiàn)EBE，可以得出GFEC為正方形。 令A(yù)B=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=，可得YZ=XY-X2+XZ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出ABPPEF ， 得到PAPF ，得證 。DFEPCBADACBPD例7. 已知：是邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)的一點(diǎn)，求的最小值【證明】：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ，可得PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF= = = = = = 。例8. 為正方形內(nèi)的一點(diǎn)，并且，求正方形的邊長(zhǎng)【證明】順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABP 900 ，可得如下圖： 既得正方形邊長(zhǎng)L = = 。ACBPD【雙基訓(xùn)練】1.如圖，四邊形是正方形，對(duì)角線、相交于，四邊形是菱形，若正方形的邊長(zhǎng)為6，則菱形的面積為_2.如圖，是正方形，為上一點(diǎn)，四邊形恰是一個(gè)菱形，則=_【縱向應(yīng)用】3.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，且交正方形外角的平分線于點(diǎn) （1）證明：；（2）證明：；（3）求的面積【橫向拓展】4.如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、. 求證：； 當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最?。划?dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，并說(shuō)明理由； 當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).EA DB CNM【練習(xí)題答案】1362【解析】連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，作EMAC于點(diǎn)M 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則AC=BD=AE=a 又ACBF，BOAC，EMAC， BO=EM=BD=a 在RtAEM中，AE=a，EM=a CAE=30 則EAB=153.（1）證明：AEF=90o， FEC+AEB=90o在RtABE中，AEB+BAE=90o，BAE=FEC；（2）證明：G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，AG=GB=BE=EC，且AGE=180o45o=135o又CF是DCH的平分線， ECF=90o+45o=135o在AGE和ECF中， AGEECF； （3）解：由AGEECF，得AE=EF又AEF=90o，AEF是等腰直角三角形由AB=a，BE=a，知AE=a，SAEF=a24.【解析】：ABE是等邊三角形，F(xiàn)EA DB CNMBABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）. 5分當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AMCM的值最小. 如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AMBMCM的值最小. 理