現(xiàn)代數(shù)學基礎(chǔ)學習報告.doc

現(xiàn)代數(shù)學基礎(chǔ)學習報告可修復人機系統(tǒng)解的漸進穩(wěn)定性分析 摘 要 本文通過分析系統(tǒng)算子的譜點分布及特征值,進而得出系統(tǒng)解的漸進穩(wěn)定性. 人機系統(tǒng)是對作為主體的人和所控制的各種類型機器的統(tǒng)稱.伴隨著人機系統(tǒng)的日益龐大和復雜化,新技術(shù)及新材料應用速度不斷加快,而預防設備并沒有及時達到完善.因此,提高系統(tǒng)(包括硬件系統(tǒng)和軟件系統(tǒng))的穩(wěn)定性一直以來都是工程學及其相應學科所迫切需要解決的問題.文獻1中作者運用Laplace變換研究此模型,并指出了系統(tǒng)穩(wěn)定解的存在性.文獻2證明了系統(tǒng)動態(tài)非負解是存在唯一的.1泛函分析介紹泛函分析是20世紀30年代形成的數(shù)學分科，是從變分問題，積分方程和理論物理的研究中發(fā)展起來的。它綜合運用函數(shù)論，幾何學，現(xiàn)代數(shù)學的觀點來研究無限維向量空間上的泛函，算子和極限理論。它可以看作無限維向量空間的解析幾何及數(shù)學分析。泛函分析在數(shù)學物理方程，概率論，計算數(shù)學等分科中都有應用，也是研究具有無限個自由度的物理系統(tǒng)的數(shù)學工具。泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間”的點或矢量，這樣最后得到了“抽象空間”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數(shù)空間。泛函分析對于研究現(xiàn)代物理學是一個有力的工具。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學系統(tǒng)的運動，實際上需要有新的數(shù)學工具來描述具有無窮多自由度的力學系統(tǒng)。比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學系統(tǒng)的例子。一般來說，從質(zhì)點力學過渡到連續(xù)介質(zhì)力學，就要由有窮自由度系統(tǒng)過渡到無窮自由度系統(tǒng)?，F(xiàn)代物理學中的量子場理論就屬于無窮自由度系統(tǒng)。正如研究有窮自由度系統(tǒng)要求n維空間的幾何學和微積分學作為工具一樣，研究無窮自由度的系統(tǒng)需要無窮維空間的幾何學和分析學，這正是泛函分析的基本內(nèi)容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學和微積分學。古典分析中的基本方法，也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學科中。泛函分析是分析數(shù)學中最“年輕”的分支，是古典分析觀點的推廣，綜合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的觀點研究無窮維向量空間上的函數(shù)、算子、和極限理論。他在二十世紀四十到五十年代就已經(jīng)成為一門理論完備、內(nèi)容豐富的數(shù)學學科了。半個多世紀來，泛函分析一方面以其他眾多學科所提供的素材來提取自己研究的對象和某些研究手段，并形成了自己的許多重要分支，例如算子譜理論、巴拿赫代數(shù)、拓撲線性空間理論、廣義函數(shù)論等等；另一方面，它也強有力地推動著其他不少分析學科的發(fā)展。它在微分方程、概率論、函數(shù)論、連續(xù)介質(zhì)力學、量子物理、計算數(shù)學、控制論、最優(yōu)化理論等學科中都有重要的應用，還是建立群上調(diào)和分析理論的基本工具，也是研究無限個自由度物理系統(tǒng)的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點和方法已經(jīng)滲入到不少工程技術(shù)性的學科之中，已成為近代分析的基礎(chǔ)之一。泛函分析在數(shù)學物理方程、概率論、計算數(shù)學、連續(xù)介質(zhì)力學、量子物理學等學科有著廣泛的應用。近十幾年來，泛函分析在工程技術(shù)方面有獲得更為有效的應用。它還滲透到數(shù)學內(nèi)部的各個分支中去，起著重要的作用。2 泛函分析在可修復人機系統(tǒng)解的漸進穩(wěn)定性分析中的應用2.1 系統(tǒng)描述 此系統(tǒng)用以下積分微分方程描述其中，令系統(tǒng)中相關(guān)符號的物理意義:：運行部件和儲備部件處于完好狀態(tài);：運行部件因硬件錯誤故障,儲備部件進入工作狀態(tài);：儲備部件故障,運行部件進入工作狀態(tài);：運行部件和儲備部件因硬件故障而導致系統(tǒng)處于故障狀態(tài);：系統(tǒng)由于常規(guī)故障處于故障狀態(tài);:系統(tǒng)由于臨界人為錯誤處于故障狀態(tài);:運行部件的硬件故障率;:儲備部件的硬件故障率;:系統(tǒng)從狀態(tài)到狀態(tài)的常規(guī)故障率;:系統(tǒng)從狀態(tài)到狀態(tài)的臨界人為錯誤故障率;:系統(tǒng)處于狀態(tài)的定常硬件修復率；:系統(tǒng)處于狀態(tài)的修復率,已修時間為;:系統(tǒng)處于t時刻系統(tǒng)處于狀態(tài)的概率;:系統(tǒng)處于狀態(tài)且已修時間為的概率.設是一個空間，并取算子的定義域是絕對連續(xù)函數(shù)，且滿足，則系統(tǒng)可描述為空間中一個抽象的問題，2.2 系統(tǒng)解的漸進穩(wěn)定性 引理1 設部件的壽命為非負連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)為，密度函數(shù)為，且 證明 據(jù)可靠性理論 因此可得 .引理 2 使得，對任意的證明 由引理，部件的平均壽命為因部件的壽命X的期望存在，故存在，使得用表示部件剩余壽命分布，則 因此工作時間后，部件的平均剩余壽命為 故存在，使得對定理 1 是算子的簡單本征值定理 2 在算子的預解集中。 引理1、引理2及定理1、定理2說明了系統(tǒng)算子的特征值和譜點分布.為了說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性,下面求解系統(tǒng)算子的共軛算子并加以證明.定理3 A+E的共軛算子(A+E)*的0特征值對應的特征向量證明 (A+E)*Q= 定理的證。定理 4 設是相應于0本征值對應的一個非負本征向量，且滿足，則系統(tǒng)的非負動態(tài)解趨向于系統(tǒng)的穩(wěn)定解p*,即，其中為系統(tǒng)的初始值. 綜上所述,系統(tǒng)的穩(wěn)定性得證.小結(jié) 可修復人機系統(tǒng)解的穩(wěn)定性問題在工程領(lǐng)域中應用廣泛,本文運用泛函分析等數(shù)學方法,列出積分-微分方程,研究系統(tǒng)算子的譜點分布及特征值,并求解系統(tǒng)算子的共軛算子,最終得證該系統(tǒng)解的漸進穩(wěn)定性.通過翻閱文獻，發(fā)現(xiàn)目前泛函分析的應用面越來越廣泛，在機械行業(yè)中可以應用到數(shù)控加工，微機電尺寸效應，機械臂的空間運算分析等等方面，用于對運動和控制算法進行正逆解，這對于機械行業(yè)的理論研究是一種極大的促進，特別是復雜的機械臂，飛行器的運動控制，可以通過理論分析指導實際應用，讓工件和控制更加的精確。對于研究生來說，泛函分析在理論研究部分可以提供很好的支持，有利于對運動進行分解和控制，在其他領(lǐng)域也有很多地方等待探索和開發(fā)，將數(shù)學應用于工程實踐在未來也必將成為一種趨勢，通過計算機和經(jīng)驗分析無法解決的問題必將通過數(shù)學來進行最基礎(chǔ)的理論研究，從而實現(xiàn)更高的精確度。回憶起課堂所學，既明白了老師的良苦用心，也體會到了泛函分析的巨大現(xiàn)實功用。認真學好應用泛函分析這一重要的課程可以使我們更好的掌握搞好科研的重要工具，從而以幫助自己更加順利、更加高質(zhì)量的完成畢業(yè)設計論文的寫作。在此，真心感謝秦老師的辛勤講授。參考文獻1 Abbas B.S, Kuo W.St Ochastic Effectiveness Model for Human -machine SystemJ.IEEE T rans Systems Man Cybernetics,1990,20(4):826-834.2王巧利,張玉峰.可修復人機儲備系統(tǒng)算子的本征值問題J.數(shù)學的實踐與認識, 2007,37(19):118-126 .3曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學引論M.北京:科學出版社,2006:38-50.4張恭慶,郭懋正.泛函分析講義(下)M.北京:北京大學出社,1990:155-192.5郭衛(wèi)華,許根起,徐厚寶,兩個不同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)解的穩(wěn)定性J,應用泛函分析學報,2003,15(3):281-288. 6 Zifei Shen, Xiao