2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章直線的方向向量與平面的法向量學(xué)案蘇教版.docx

3.2.1直線的方向向量與平面的法向量學(xué)習(xí)目標：1.理解直線的方向向量和平面的法向量(重點)2.會用待定系數(shù)法求平面的法向量(難點)3.平面法向量的設(shè)法(易錯點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知教材整理1直線的方向向量閱讀教材P99上半部分，完成下列問題我們把直線l上的向量e(e0)以及與e共線的非零向量叫做直線l的方向向量已知直線l過A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a(2,0，x)是直線l的一個方向向量，則x_.解析(1,0,1)，由題意知，a，則存在實數(shù)，使a，即(2,0，x)(1,0,1)，即2，x2.答案2教材整理2平面的法向量閱讀教材P99中間部分，完成下列問題如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面，那么稱向量n垂直于平面，記作n.此時，我們把向量n叫做平面的法向量1平面內(nèi)一條直線l的方向向量為a(2,3，1)，平面的法向量為n(1,1，m)，則m_.解析易知an0，即23m0，解得m1.答案12已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，則平面ABC的法向量為_. 【導(dǎo)學(xué)號：71392184】解析設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則令x1，則y1，z0，即n(1,1,0)，則平面ABC的一個法向量為(1,1,0) 答案(1,1,0)(答案不惟一)合 作 探 究攻 重 難直線的方向向量及其應(yīng)用(1)已知直線l1的一個方向向量為(7,3,4)，直線l2的一個方向向量為(x，y,8)，且l1l2，則x_，y_.(2)在空間直角坐標系中，已知點A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直線AB上一點，且滿足APPB32，則直線AB的一個方向向量為_，點P的坐標為_. 【導(dǎo)學(xué)號：71392185】精彩點撥(1)利用兩直線的方向向量共線求解；(2)即是直線AB的一個方向向量，利用求點P的坐標解析(1)由l1l2可知，向量(7,3,4)和(x，y,8)共線，所以，解得x14，y6.(2)(0,6,2)是直線AB的一個方向向量由APPB32，得.設(shè)P(x，y，z)，則(x2，y，z1)(0,6,2)，即x20，y，z12，解得x2，y，z，所以直線AB的一個方向向量是(0,6,2)，點P的坐標為.答案(1)146(2)(0,6,2)名師指津1應(yīng)注意直線AB的方向向量有無數(shù)個，哪個易求求哪個2利用直線上的一個已知點和直線的方向向量可以確定直線的位置，進而利用向量的運算確定直線上任一點的位置.求平面的法向量如圖321，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求平面SBA與平面SCD的法向量圖321精彩點撥因為與平面垂直的向量為平面的法向量，所以先觀察圖中有無垂直于平面的直線，若有，利用直接法求出；若沒有，設(shè)出法向量n，再利用待定系數(shù)法求解自主解答AD，AB，AS是三條兩兩垂直的線段，以A為原點，以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，是平面SBA的法向量， 設(shè)平面SCD的法向量n(1，u)，有n，n，則n(1，u)0，.n(1，u)u0，u，n.名師指津1利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟2求平面法向量的三個注意點(1)選向量：在選取平面內(nèi)的向量時，要選取不共線的兩個向量(2)取特值：在求n的坐標時，可令x，y，z中一個取特殊值，得另兩個值，就是平面的一個法向量(3)注意0：提前假定法向量n(x，y，z)的某個坐標為某特定值時，一定要注意這個坐標不為0.再練一題1已知正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為BB1，C1D1的中點，建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担笃矫鍭MN的一個法向量. 【導(dǎo)學(xué)號：71392186】解以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系(如圖所示)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則A(1,0,0)，M，N.，.設(shè)平面AMN的一個法向量為n(x，y，z)，令y2，x3，z4，n(3,2，4).證明平面的法向量在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點圖322求證：是平面ADE的法向量. 【導(dǎo)學(xué)號：71392187】精彩點撥要證明是平面ADE的法向量，只需證明D1F平面ADE即可自主解答如圖，以D為坐標原點，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系， 設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E，F(xiàn)，所以(1,0,0)，所以(1,0,0)0，0，所以，又ADAEA，所以平面ADE，從而是平面ADE的法向量名師指津用向量法證明線面垂直的實質(zhì)仍然是用向量的數(shù)量積證明線線垂直，因此，其思想方法與證明線線垂直相同，區(qū)別在于必須證明兩個線線垂直.再練一題2如圖323所示，在四棱錐PABCD中，PA正方形ABCD所在的平面，PAAD1，M，N分別是AB，PC的中點圖323(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，寫出向量的坐標；(2)求證：為平面PCD的一個法向量解(1)由PA正方形ABCD所在平面知PA，AB，AD兩兩互相垂直，以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系圖323由PAAD1得P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，M，N，.(2)證明：由(1)，(1,1，1)，(1,0，1)，則(1)01(1)0，(1)00(1)0，MNPC，MNPD.又PCPDP，PC平面PCD，PD平面PCD，MN平面PCD.為平面PCD的一個法向量.方向向量與法向量的特征探究問題1如何正確地判斷直線的方向向量？提示(1)在空間中，一個向量成為直線的方向向量，必須具備以下兩個方面的限制：不能為零向量；與該直線平行或重合(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個(3)給定空間中任意一點A和非零向量a，就可以確定惟一一條過點A且平行于向量a的直線(4)表示同一條直線的方向向量，由于它們的模不一定相等，因此，它們不一定相等；雖然這些方向向量都與直線平行，但它們的方向不一定相同，還可能相反2過空間任意一定點P，能否作出平面的法向量？能作幾條？提示由于過空間任意一點P，有且僅有一條直線PO垂直于平面，因此，過空間任意一點都能作出平面的法向量由于直線PO的方向向量有無數(shù)個，因此，過點P的平面的法向量也有無數(shù)個3求平面法向量的坐標時，為什么只構(gòu)建兩個方程求解？提示根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只要直線垂直于該平面內(nèi)的任意兩條相交直線，它就垂直于該平面，也就垂直于該平面內(nèi)的任意直線，因此，求法向量的坐標只要滿足兩個方程就可以了4依據(jù)待定系數(shù)法求出的平面法向量惟一嗎？提示不惟一利用待定系數(shù)法求平面法向量時，由于方程組有無數(shù)組解，因此法向量有無數(shù)個求解時，利用賦值法，只要給x，y，z中的一個賦特殊值(常賦值1,0,1)即可確定一個法向量，賦值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作為法向量5利用直線的方向向量和平面的法向量能夠解決哪些位置關(guān)系？提示(1)兩直線的方向向量共線(垂直)時，兩直線平行(垂直)(2)直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線在平面內(nèi)或線面平行(3)兩個平面的法向量共線(垂直)時，兩平面平行(垂直)根據(jù)下列條件，分別判定相應(yīng)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)平面，的法向量分別是u(1,1，2)，；(2)直線l的方向向量a(6,8,4)，平面的法向量u. 【導(dǎo)學(xué)號：71392188】精彩點撥利用方向向量與法向量的平行或垂直來判斷線、面位置關(guān)系自主解答(1)u(1,1，2)，u(1,1，2)3210，u，故.(2)u(2,2，1)，a(6,8,4)，ua(2,2，1)(6,8,4)121640，ua，故l或l.再練一題3根據(jù)下列條件，判斷相應(yīng)的線、面位置關(guān)系(1)直線l1，l2的方向向量分別是a(1，3，1)，b(8,2,2)；(2)平面，的法向量分別是u(1,3,0)，(3，9，0)解(1)a(1，3，1)，b(8,2,2)，ab8620，ab，即l1l2.(2)u(1,3,0)，(3，9,0)，3u，u，即.當(dāng) 堂 達 標固 雙 基1已知向量a(m,4)，b(3，2)，且a和b在同一直線上，則m_.解析a(m,4)，b(3，2)，ab，m6.答案62若點A(0,1,2)，B(1,0,2)在直線l上，則直線l的一個方向向量為_解析(1，1,0)，即為l的一個方向向量答案(1，1,0)3若向量a(x,2,1)，b(1，y,3)都是直線l的方向向量，則xy_.解析據(jù)題意可知，ab，故存在實數(shù)，使ab，即(x,2,1)(1，y,3)，即x，2y,13，解得，y6，x，xy6.答案4若直線l，且l的方向向量為(m,2,4)，平面的法向量為，則m為_. 【導(dǎo)學(xué)號：71392189】解析(m,2,4)，m1.答案15如圖324，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCBB1