高中數(shù)學(xué)第二章2.4向量的應(yīng)用2.4.1向量在幾何中的應(yīng)用示范教案.docx

2.4.1 向量在幾何中的應(yīng)用示范教案教學(xué)分析1本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對向量的認(rèn)識，更好地體會向量這個(gè)工具的優(yōu)越性教學(xué)中，主要是通過例子說明向量在幾何中的應(yīng)用對于向量方法，就思路而言，幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來代替“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果代數(shù)方法的流程圖可以簡單地表述為：則向量方法的流程圖可以簡單地表述為：這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”，也是本節(jié)的重點(diǎn)2研究幾何可以采取不同的方法，這些方法包括：綜合方法不使用其他工具，對幾何元素及其關(guān)系直接進(jìn)行討論；解析方法以數(shù)(代數(shù)式)和數(shù)(代數(shù)式)的運(yùn)算為工具，對幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論；向量方法以向量和向量的運(yùn)算為工具，對幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論；分析方法以微積分為工具，對幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論，等等前三種方法都是中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的內(nèi)容有些平面幾何問題，利用向量方法求解比較容易使用向量方法要點(diǎn)在于用向量表示線段或點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)與線之間的關(guān)系，建立向量等式，再根據(jù)向量的線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì)，得出向量的系數(shù)應(yīng)滿足的方程組，求出方程組的解，從而解決問題使用向量方法時(shí)，要注意向量起點(diǎn)的選取，選取得當(dāng)可使計(jì)算過程大大簡化三維目標(biāo)1通過書中例子，了解向量在平面幾何中的應(yīng)用，理解向量與直線平行、垂直的概念，直線斜率與直線方向向量間的關(guān)系2明了平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示，會求經(jīng)過一點(diǎn)且與已知向量平行的直線方程3通過本節(jié)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生深刻理解向量在處理有關(guān)平面幾何問題中的優(yōu)越性，活躍學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并體會向量在幾何和現(xiàn)實(shí)生活中的意義教學(xué)中要求盡量引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)這個(gè)現(xiàn)代化手段重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法；向量法解決幾何問題的“三步曲”教學(xué)難點(diǎn)：如何將幾何等實(shí)際問題化歸為向量問題課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背景和幾何背景，當(dāng)向量和平面坐標(biāo)系結(jié)合后，向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方便本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法思路2.(情境導(dǎo)入)由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題下面通過幾個(gè)具體實(shí)例，說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用推進(jìn)新課(1)平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，如圖1，你能觀察、發(fā)現(xiàn)并猜想出平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系嗎？圖1(2)你能利用所學(xué)知識證明你的猜想嗎？能利用所學(xué)的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法？(3)你能總結(jié)一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎？活動：(1)教師引導(dǎo)學(xué)生猜想平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系利用類比的思想方法，猜想平行四邊形有沒有相似關(guān)系指導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和(2)教師引導(dǎo)學(xué)生探究證明方法，并點(diǎn)撥學(xué)生對各種方法分析比較，平行四邊形是學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形，在平面幾何的學(xué)習(xí)中，學(xué)生得到了它的許多性質(zhì)，有些性質(zhì)的得出比較麻煩，有些性質(zhì)的得出比較簡單讓學(xué)生體會研究幾何可以采取不同的方法，這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法(3)由于平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長度)、夾角問題，而平面向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題解決幾何問題時(shí)，先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素然后通過向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積來研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”，即建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系討論結(jié)果：略例 1如圖2，已知平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)在對角線BD上，并且BEFD，求證：四邊形AECF是平行四邊形圖2證明：由已知可設(shè)a，b，則ab，ba.因?yàn)閍bba，所以，即邊AE，F(xiàn)C平行且相等因此，四邊形AECF是平行四邊形點(diǎn)評：解完此例后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)選擇基底，用向量證明幾何問題的思路.變式訓(xùn)練如圖3，AD、BE、CF是ABC的三條高求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)圖3證明：設(shè)BE、CF相交于H，并設(shè)b，c，h，則hb，hc，cb.因?yàn)椋?hb)c0，(hc)b0，即(hb)c(hc)b.化簡得h(cb)0.所以.所以AH與AD共線，即AD、BE、CF相交于一點(diǎn)H.例 2求證：平行四邊形對角線互相平分活動：在初中時(shí)，這個(gè)定理用三角形全等判定定理和平行線的性質(zhì)證明過這里，我們用向量運(yùn)算的方法再證一次雖然證明過程看上去并不簡單，但證明過程給我們提供了用向量證明幾何問題的一般方法本例教師可直接講解證明：如圖4，已知ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M，圖4設(shè)x，y，則xxx，yy()(1y)y.于是，我們得到關(guān)于基底，的兩個(gè)分解式所以解此方程組，得x，y.所以點(diǎn)M是AC和BD的中點(diǎn)，即對角線AC和BD在交點(diǎn)M處互相平分點(diǎn)評：從例2的證明可以看出，證明方法與代數(shù)學(xué)中的解應(yīng)用題方法(設(shè)未知數(shù)，列方程)基本一致這里，也是先設(shè)未知數(shù)，由題中給出的條件，列出向量表達(dá)式，再選基底向量，列出同一向量的兩個(gè)分解式，由向量分解的唯一性轉(zhuǎn)化為方程組求解例 3已知正方形ABCD(圖5)，P為對角線AC上任意一點(diǎn)，PEAB于點(diǎn)E，PFBC于點(diǎn)F，連接DP，EF.求證：DPEF.圖5證明：選擇正交基底，在這個(gè)基底下，有(1,0)，(0,1)，由已知，可設(shè)(a，a)，得(1a,0)，(0，a)，(1a，a)，(a，a1)因?yàn)?1a，a)(a，a1)(1a)aa(a1)0，所以.因此DPEF.變式訓(xùn)練如圖6，在RtABC中，已知BCa.若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問：與的夾角取何值時(shí)，的值最大？并求出這個(gè)最大值圖6解：方法一，如圖6.，0.，()()a2a2()a2a2a2cos.故當(dāng)cos1，即0，與的方向相同時(shí)，最大，其最大值為0.方法二：如圖7.圖7以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)|AB|c，|AC|b，則A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|2a，|BC|a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則Q(x，y)(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)(xc)(x)y(yb)(x2y2)cxby.cos，cxbya2cos.a2a2cos.故當(dāng)cos1，即0，與的方向相同時(shí)，最大，其最大值為0.例 4求通過點(diǎn)A(1,2)，且平行于向量a(3,2)的直線方程(圖8)圖8活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析本例條件，可由向量確定直線斜率教師可借此講解：在解析幾何初步中，我們用一條直線的傾斜角或斜率確定直線的方向現(xiàn)在看一看直線的傾斜角、斜率與平行于這條直線的向量之間的關(guān)系設(shè)直線l的傾斜角為(圖8)，斜率為k，A(x1，y1)l，P(x，y)l，向量a(a1，a2)平行于l，由直線斜率和正切函數(shù)的定義，可得ktan.如果知道直線的斜率k，則向量(a1，a2)一定與該直線平行解：由題意知直線的斜率k.所求直線的方程為y2(x1)整理，得2x3y80.5已知直線l：AxByC0，n(A，B)求證：向量nl(圖9)圖9證明：設(shè)(x0，y0)為直線l的方程的一個(gè)解，則Ax0By0C0.對l的方程和式兩邊作差，整理，得A(xx0)B(yy0)0.由向量垂直的條件，得向量n(A，B)與向量(xx0，yy0)垂直由于動點(diǎn)(x，y)的集合就是直線l，所以nl.點(diǎn)評：本例所證結(jié)論，使我們得到直線一般方程AxByC0中，變量x，y的系數(shù)構(gòu)成向量(A，B)的幾何解釋即向量(A，B)與直線l垂直，向量(B，A)與l平行這樣，直線間的位置關(guān)系，即平行、垂直、夾角，就可轉(zhuǎn)化為向量問題來處理.6求通過A(2,1)，且與直線l：4x3y90平行的直線方程(圖10)圖10解：因?yàn)橄蛄?4，3)與直線l垂直，所以向量n(4，3)與所求的直線垂直設(shè)P(x，y)為一動點(diǎn)，則(x2，y1)點(diǎn)P在所求直線上，當(dāng)且僅當(dāng)n0.轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，即4(x2)(3)(y1)0.整理，得4x3y50.這就是所求的直線方程1由學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識有：平行四邊形向量加、減法的幾何模型，用向量方法解決平面幾何問題的步驟要提醒學(xué)生理解領(lǐng)悟它的實(shí)質(zhì)，達(dá)到熟練掌握的程度2本節(jié)都學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)方法：向量法，向量法與幾何法、解析法的比較，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的化歸的思想方法，深切體會向量的工具性這一特點(diǎn)課本本節(jié)習(xí)題24A組1,2,3，B組1,2.1本節(jié)是對研究平面幾何方法的探究與歸納，設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：充分使用多媒體這個(gè)現(xiàn)代化手段，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、歸納、猜想、論證等一系列思維活動本節(jié)知識方法容量較大，思維含量較高，教師要把握好火候，恰時(shí)恰點(diǎn)地激發(fā)學(xué)生的智慧火花2由于本節(jié)知識方法在高考大題中得以直接的體現(xiàn)，特別是與其他知識的綜合更是高考的熱點(diǎn)問題因此在實(shí)際授課時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注向量知識、向量方法與本書的三角、后續(xù)內(nèi)容的解析幾何等知識的交匯，提高學(xué)生綜合解決問題的能力3平面向量的運(yùn)算包括向量的代數(shù)運(yùn)算與幾何運(yùn)算相比較而言，學(xué)生對向量的代數(shù)運(yùn)算要容易接受一些，但對向量的幾何運(yùn)算往往感到比較困難，無從下手向量的幾何運(yùn)算主要包括向量加減法的幾何運(yùn)算，向量平行與垂直的充要條件及定比分點(diǎn)的向量式等，它們在處理平面幾何的有關(guān)問題時(shí)，往往有其獨(dú)到之處，教師可讓學(xué)有余力的學(xué)生課下繼續(xù)探討，以提高學(xué)生的思維發(fā)散能力一、利用向量解決幾何問題的進(jìn)一步探討用平面向量的幾何運(yùn)算處理平面幾何問題有其獨(dú)到之處，特別是處理線段相等，線線平行，垂直，點(diǎn)共線，線共點(diǎn)等問題，往往簡單明了，少走彎路，同時(shí)避免了復(fù)雜，煩瑣的運(yùn)算和推理，可以收到事半功倍的效果現(xiàn)舉幾例以供教師、學(xué)生進(jìn)一步探究使用1簡化向量運(yùn)算例 1如圖11所示，O為ABC的外心，H為垂心，求證：.圖11證明：如圖11，作直徑BD，連接DA，DC，有，且DAAB，DCBC，AHBC，CHAB，故CHDA，AHDC，得四邊形AHCD是平行四邊形從而.又，得，即.2證明線線平行例 2如圖12，在梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別為腰AB，CD的中點(diǎn)求證：EFBC，且|(|).圖12證明：連接ED，EC，ADBC，可設(shè)(0)，又E，F(xiàn)是中點(diǎn)，0，且()而(1)，.EF與BC無公共點(diǎn)，EFBC.又0，|(|)(|)3證明線線垂直例 3如圖13，在ABC中，由A與B分別向?qū)匓C與CA作垂線AD與BE，且AD與BE交于H，連接CH，求證：CHAB.圖13證明：由已知AHBC，BHAC，有0，0.又，故有()0，且()0，兩式相減，得()0，即0，.4證明線共點(diǎn)或點(diǎn)共線例 4求證：三角形三中線共點(diǎn)，且該點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于各該中線長的.已知：ABC的三邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)(如圖14)圖14求證：AE，BF，CD共點(diǎn)，且.證明：設(shè)AE，BF相交于點(diǎn)G，1，由定比分點(diǎn)的向量式有，又F是AC的中點(diǎn)，()，設(shè)2，則，12，2，即.又(2)()，C，G，D共線，且.二、備用習(xí)題1.如圖15，半圓的直徑AB6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動點(diǎn)，則()的最小值為()圖15A. B9 C D92有一邊長為1的正方形ABCD，設(shè)a，b，c，則|abc|_.3已知|a|2，|b|，a與b的夾角為45，則使ba與a垂直的_.4在等邊ABC中，a，b，c，且|a|1，則abbcca_.5已知三個(gè)向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k_.6如圖16所示，已知矩形ABCD，AC是對角線，E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作MN交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，試運(yùn)用向量知識證明AMCN.圖167已知四邊形ABCD滿足|2|2|2|2，M為對角線AC的中點(diǎn)求證：|.8求證：如果一個(gè)角的兩邊平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)參考答案：1D2.23.24.5.2或116證明：建立如圖17所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)BCa，BAb，則C(a,0)，A(0，b)，E(，)圖17又設(shè)M(x2，b)，N(x1,0)，則(x2,0)，(x1a,0)，(x2，)，(x1，)，(x2)()(x1)()0.x2ax1.|x2|ax1|x1a|.而|x1a|，|，即AMCN.7證明：設(shè)a，b，c，d，abcd0，ab(cd)a2b22abc2d22c