高中數(shù)學(xué)必修5常考題型：一元二次不等式及其解法.doc

一元二次不等式及其解法【知識(shí)梳理】1一元二次不等式我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集. 3一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表判別式b24ac000)的根有兩相異實(shí)根x1，x2，(x1x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒有實(shí)數(shù)根二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象ax2bxc0(a0)的解集或xx2Rax2bxc0)的解集【?？碱}型】題型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x27x30；(2)x24x50；(3)4x218x0；(4)x23x50；(5)2x23x20.解(1)因?yàn)?2423250，所以方程2x27x30有兩個(gè)不等實(shí)根x13，x2.又二次函數(shù)y2x27x3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為x|x，或x3(2)原不等式可化為(x5)(x1)0，所以原不等式的解集為x|1x5(3)原不等式可化為20，所以原不等式的解集為.(4)原不等式可化為x26x100，(6)24040，所以方程x26x100無實(shí)根，又二次函數(shù)yx26x10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.(5)原不等式可化為2x23x20，因?yàn)?42270，所以方程2x23x20無實(shí)根，又二次函數(shù)y2x23x2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.【類題通法】解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；(2)計(jì)算對應(yīng)方程的判別式；(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集【對點(diǎn)訓(xùn)練】1解下列不等式：(1)x25x60；(2)x27x6.(3)(2x)(x3)x(4x)解：(1)方程x25x60的兩根為x11，x26.結(jié)合二次函數(shù)yx25x6的圖象知，原不等式的解集為x|x6(2)原不等式可化為x27x60.解方程x27x60得，x11，x26.結(jié)合二次函數(shù)yx27x6的圖象知，原不等式的解集為x|1x0.方程(x2)(x3)0兩根為2和3.結(jié)合二次函數(shù)y(x2)(x3)的圖象知，原不等式的解集為x|x2(4)由原不等式得8x28x44xx2.原不等式等價(jià)于9x212x40.解方程9x212x40，得x1x2.結(jié)合二次函數(shù)y9x212x4的圖象知，原不等式的解集為x|x.題型二、解含參數(shù)的一元二次不等式【例2】解關(guān)于x的不等式x2(1a)xa0.解方程x2(1a)xa0的解為x11，x2a，函數(shù)yx2(1a)xa的圖象開口向上，則當(dāng)a1時(shí)，原不等式解集為x|ax1；當(dāng)a1時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)a1時(shí)，原不等式解集為x|1xa【類題通法】解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)：(1)若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項(xiàng)系數(shù)大于0與小于0進(jìn)行討論；(2)若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式進(jìn)行討論；(3)若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論【對點(diǎn)訓(xùn)練】2解關(guān)于x的不等式：ax2(a1)x10(aR)解：原不等式可化為：(ax1)(x1)0，當(dāng)a0時(shí)，x1，當(dāng)a0時(shí)(x1)0x1.當(dāng)a1時(shí)，x1，當(dāng)1a0時(shí)，(x1)0，x或x1.當(dāng)a1時(shí)，1，x1或x，綜上原不等式的解集是：當(dāng)a0時(shí)，x|x1；當(dāng)a0時(shí)，；當(dāng)a1時(shí)，x|x1；當(dāng)1a0時(shí)，.當(dāng)a1時(shí)，題型三、一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系【例3】已知關(guān)于x的不等式x2axb0的解集為x|1x2，求關(guān)于x的不等式bx2ax10的解集解x2axb0的解集為x|1x2，1,2是x2axb0的兩根由韋達(dá)定理有得代入所求不等式，得2x23x10.由2x23x10(2x1)(x1)0x或x1.bx2ax10的解集為(1，)【類題通法】1一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函數(shù)yax2bxc與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2二次函數(shù)yax2bxc的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化【對點(diǎn)訓(xùn)練】3已知方程ax2bx20的兩根為和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2bx10.解：(1)方程ax2bx20的兩根為和2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得a2，b3.(2)由(1)知，ax2bx10可變?yōu)?x23x10，即2x23x10，解得x1.不等式ax2bx10的解集為x|x1【練習(xí)反饋】1不等式x(2x)0的解集為()Ax|x0Bx|x2Cx|x2或x0Dx|0x2解析：選D原不等式化為x(x2)0，故0x2.2已知集合Mx|x23x280，Nx|x2x60，則MN為()Ax|4x2或3x7Bx|4x2或3x7Cx|x2或x3Dx|x2或x3解析：選AMx|x23x280x|4x7，Nx|x2x60x|x2或x3，MNx|4x2或3x73二次函數(shù)yx24x3在y0時(shí)x的取值范圍是_解析：由y0得x24x30，1x3答案：(1,3)4若不等式ax2bx20的解集為，則實(shí)數(shù)a_，實(shí)數(shù)b_.解析：由題意可知，2是方程ax2bx20的兩個(gè)根由根與系數(shù)的關(guān)系得解得a2，b3.答案：235解下列不等式：(1)x(7x)12；(2)x22(x1)解：(1)原不等