高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù)I 2.8 函數(shù)與方程課件 理.ppt

2 8函數(shù)與方程 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 課時(shí)作業(yè) 題型分類(lèi)深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y f x x d 把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y f x x d 的零點(diǎn) 2 幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f x 0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與有交點(diǎn) 函數(shù)y f x 有 3 函數(shù)零點(diǎn)的判定 零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn) 并且有 那么 函數(shù)y f x 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn) 即存在c a b 使得 這個(gè)也就是方程f x 0的根 1 函數(shù)的零點(diǎn) 知識(shí)梳理 f x 0 x軸 零點(diǎn) f a f b 0 a b f c 0 c 對(duì)于在區(qū)間 a b 上連續(xù)不斷且的函數(shù)y f x 通過(guò)不斷地把函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間 使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近 進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法 2 二分法 f a f b 0 一分為二 零點(diǎn) 3 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 1 有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論 1 若連續(xù)不斷的函數(shù)f x 在定義域上是單調(diào)函數(shù) 則f x 至多有一個(gè)零點(diǎn) 2 連續(xù)不斷的函數(shù) 其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào) 3 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí) 函數(shù)值可能變號(hào) 也可能不變號(hào) 2 三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f x 0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)y f x 有零點(diǎn) 判斷下列結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn) 2 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn) 函數(shù)圖象連續(xù)不斷 則f a f b 0 3 只要函數(shù)有零點(diǎn) 我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值 4 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn) 5 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)且f a f b 0 則函數(shù)f x 在 a b 上有且只有一個(gè)零點(diǎn) 1 教材改編 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為a 0b 1c 2d 3 考點(diǎn)自測(cè) 答案 解析 f x 是增函數(shù) 又f 0 1 f 1 f 0 f 1 0 f x 有且只有一個(gè)零點(diǎn) 2 下列函數(shù)中 既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是a y cosxb y sinxc y lnxd y x2 1 答案 解析 由于y sinx是奇函數(shù) y lnx是非奇非偶函數(shù) y x2 1是偶函數(shù)但沒(méi)有零點(diǎn) 只有y cosx是偶函數(shù)又有零點(diǎn) 3 2016 吉林長(zhǎng)春檢測(cè) 函數(shù)f x lnx x 2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是a 1 b 1 2 c 2 e d e 3 答案 解析 所以f 2 f e 0 4 函數(shù)f x 2x log0 5x 1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 答案 解析 2 由圖象知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn) 故函數(shù)f x 有2個(gè)零點(diǎn) 5 函數(shù)f x ax 1 2a在區(qū)間 1 1 上存在一個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案 解析 函數(shù)f x 的圖象為直線(xiàn) 由題意可得f 1 f 1 0 題型分類(lèi)深度剖析 題型一函數(shù)零點(diǎn)的確定 命題點(diǎn)1確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間例1 1 2017 長(zhǎng)沙調(diào)研 已知函數(shù)f x lnx 的零點(diǎn)為x0 則x0所在的區(qū)間是a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 答案 解析 x0 2 3 故選c 2 2016 濟(jì)南模擬 設(shè)函數(shù)y x3與y x 2的圖象的交點(diǎn)為 x0 y0 若x0 n n 1 n n 則x0所在的區(qū)間是 答案 解析 1 2 易知f x 為增函數(shù) 且f 1 0 x0所在的區(qū)間是 1 2 命題點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 答案 解析 例2 1 函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 2 當(dāng)x 0時(shí) 令x2 2 0 解得x 正根舍去 所以在 0 上有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)x 0時(shí) f x 2 0恒成立 所以f x 在 0 上是增函數(shù) 又因?yàn)閒 2 2 ln20 所以f x 在 0 上有一個(gè)零點(diǎn) 綜上 函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 2 若定義在r上的偶函數(shù)f x 滿(mǎn)足f x 2 f x 當(dāng)x 0 1 時(shí) f x x 則函數(shù)y f x log3 x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是a 多于4b 4c 3d 2 答案 解析 由題意知 f x 是周期為2的偶函數(shù) 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y f x 及y log3 x 的圖象 如圖 觀(guān)察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn) 即函數(shù)y f x log3 x 有4個(gè)零點(diǎn) 思維升華 1 確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間 可利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法 2 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法 解方程法 零點(diǎn)存在性定理 結(jié)合函數(shù)的性質(zhì) 數(shù)形結(jié)合法 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 跟蹤訓(xùn)練1 1 已知函數(shù)f x log2x 在下列區(qū)間中 包含f x 零點(diǎn)的區(qū)間是a 0 1 b 1 2 c 2 4 d 4 答案 解析 因?yàn)閒 1 6 log21 6 0 f 2 3 log22 2 0 所以函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在區(qū)間為 2 4 2 函數(shù)f x xcosx2在區(qū)間 0 4 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為a 4b 5c 6d 7 答案 解析 由f x xcosx2 0 得x 0或cosx2 0 又x 0 4 所以x2 0 16 由于cos k 0 k z 而在 k k z 的所有取值中 故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1 5 6 題型二函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 例3 1 函數(shù)f x 2x a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間 1 2 內(nèi) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a 1 3 b 1 2 c 0 3 d 0 2 答案 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f x 2x a在區(qū)間 1 2 上單調(diào)遞增 又函數(shù)f x 2x a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間 1 2 內(nèi) 則有f 1 f 2 0 所以 a 4 1 a 0 即a a 3 0 所以0 a 3 2 已知函數(shù)f x x2 3x x r 若方程f x a x 1 0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案 解析 0 1 9 設(shè)y1 f x x2 3x y2 a x 1 在同一直角坐標(biāo)系中作出y1 x2 3x y2 a x 1 的圖象如圖所示 由圖可知f x a x 1 0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y1 x2 3x 與y2 a x 1 的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1 消去y得x2 3 a x a 0有兩個(gè)不等實(shí)根 所以 3 a 2 4a 0 即a2 10a 9 0 解得a9 又由圖象得a 0 09 幾何畫(huà)板展示 引申探究 本例 2 中 若f x a恰有四個(gè)互異的實(shí)數(shù)根 則a的取值范圍是 答案 解析 作出y1 x2 3x y2 a的圖象如右 當(dāng)x 0或x 3時(shí) y1 0 思維升華 已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的步驟及方法 1 步驟 判斷函數(shù)的單調(diào)性 利用零點(diǎn)存在性定理 得到參數(shù)所滿(mǎn)足的不等式 組 解不等式 組 即得參數(shù)的取值范圍 2 方法 常利用數(shù)形結(jié)合法 跟蹤訓(xùn)練2 1 2016 棗莊模擬 已知函數(shù)f x x2 x a a 0 在區(qū)間 0 1 上有零點(diǎn) 則a的取值范圍為 答案 解析 2 0 a x2 x在 0 1 上有解 函數(shù)y x2 x x 0 1 的值域?yàn)?0 2 0 a 2 2 a 0 2 2015 湖南 若函數(shù)f x 2x 2 b有兩個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 答案 解析 0 2 由f x 2x 2 b 0 得 2x 2 b 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y 2x 2 與y b的圖象 如圖所示 則當(dāng)0 b 2時(shí) 兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn) 從而函數(shù)f x 2x 2 b有兩個(gè)零點(diǎn) 幾何畫(huà)板展示 題型三二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 例4已知f x x2 a2 1 x a 2 的一個(gè)零點(diǎn)比1大 一個(gè)零點(diǎn)比1小 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解答 方法一設(shè)方程x2 a2 1 x a 2 0的兩根分別為x1 x2 x1 x2 則 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根與系數(shù)的關(guān)系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 方法二函數(shù)圖象大致如圖 則有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 2 a 1 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 2 1 思維升華 解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題 1 利用一元二次方程的求根公式 2 利用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系 3 利用二次函數(shù)的圖象列不等式組 跟蹤訓(xùn)練3 2016 臨沂一模 若函數(shù)f x m 2 x2 mx 2m 1 的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間 1 0 和區(qū)間 1 2 內(nèi) 則m的取值范圍是 答案 解析 典例 1 若函數(shù)f x ax x a a 0且a 1 有兩個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 2 若關(guān)于x的方程22x 2xa a 1 0有實(shí)根 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 1 利用轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題 思想與方法系列4 答案 解析 思想方法指導(dǎo) 1 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 利用數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)范圍 2 a f x 有解 型問(wèn)題 可以通過(guò)求函數(shù)y f x 的值域解決 幾何畫(huà)板展示 1 函數(shù)f x ax x a a 0且a 1 有兩個(gè)零點(diǎn) 即方程ax x a 0有兩個(gè)根 即函數(shù)y ax與函數(shù)y x a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)0 a 1時(shí) 圖象如圖 所示 此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)a 1時(shí) 圖象如圖 所示 此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn) 實(shí)數(shù)a的取值范圍為 1 返回 課時(shí)作業(yè) 1 設(shè)f x lnx x 2 則函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 f 1 ln1 1 2 10 f 1 f 2 0 函數(shù)f x lnx x 2的圖象是連續(xù)的 f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 濰坊模擬 已知函數(shù)則函數(shù)f x 的零點(diǎn)為 當(dāng)x 1時(shí) 由f x 2x 1 0 解得x 0 又因?yàn)閤 1 所以此時(shí)方程無(wú)解 綜上 函數(shù)f x 的零點(diǎn)只有0 故選d 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知三個(gè)函數(shù)f x 2x x g x x 2 h x log2x x的零點(diǎn)依次為a b c 則a a b cb a c bc b a cd c a b 答案 解析 故f x 2x x的零點(diǎn)a 1 0 g 2 0 g x 的零點(diǎn)b 2 方法二由f x 0得2x x 由h x 0得log2x x 作出函數(shù)y 2x y log2x和y x的圖象 如圖 由圖象易知a 0 0 c 1 而b 2 故a c b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 方程 x2 2x a2 1 a 0 的解的個(gè)數(shù)是a 1b 2c 3d 4 答案 解析 數(shù)形結(jié)合法 a 0 a2 1 1 而y x2 2x 的圖象如圖 y x2 2x 的圖象與y a2 1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn) 5 已知函數(shù)則使方程x f x m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是a 1 2 b 2 c 1 2 d 1 2 答案 解析 當(dāng)x 0時(shí) x f x m 即x 1 m 解得m 1 當(dāng)x 0時(shí) x f x m 即x m 解得m 2 即實(shí)數(shù)m的取值范圍是 1 2 故選d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 已知x r 符號(hào) x 表示不超過(guò)x的最大整數(shù) 若函數(shù)f x a x 0 有且僅有3個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 若函數(shù)f x x2 ax b的兩個(gè)零點(diǎn)是 2和3 則不等式af 2x 0的解集是 答案 解析 f x x2 ax b的兩個(gè)零點(diǎn)是 2 3 2 3是方程x2 ax b 0的兩根 f x x2 x 6 不等式af 2x 0 即 4x2 2x 6 0 2x2 x 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)b 使函數(shù)g x f x b有兩個(gè)零點(diǎn) 則a的取值范圍是 答案 解析 0 1 令 x x3 x a h x x2 x a 函數(shù)g x f x b有兩個(gè)零點(diǎn) 即函數(shù)y f x 的圖象與直線(xiàn)y b有兩個(gè)交點(diǎn) 結(jié)合圖象 圖略 可得ah a 即aa2 解得a1 故a 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f x 在r上單調(diào)遞減 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 衡水期中 若a 1 設(shè)函數(shù)f x ax x 4的零點(diǎn)為m 函數(shù)g x logax x 4的零點(diǎn)為n 則的最小值為 答案 解析 1 設(shè)f x ax g x logax h x 4 x 則h x 與f x g x 的交點(diǎn)a b橫坐標(biāo)分別為m n m 0 n 0 因?yàn)閒 x 與g x 關(guān)于直線(xiàn)y x對(duì)稱(chēng) 所以a b兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y x對(duì)稱(chēng) 又因?yàn)閥 x和h x 4 x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2 所以m n 4 又m 0 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 作出函數(shù)f x 的圖象 如圖所示 故f x 在 0 1 上是減函數(shù) 而在 1 上是增函數(shù) 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 若方程f x m有兩個(gè)不相等的正根 求m的取值范圍 解答 由函數(shù)f x 的圖