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萬(wàn)有引力和天體運(yùn)動(dòng)1、 萬(wàn)有引力和天體運(yùn)動(dòng)1、 重力的理解地球?qū)ζ浔砻嫖矬w的萬(wàn)有引力產(chǎn)生兩個(gè)效果:(1)物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力:F向Gmmr2,(2)物體自身的重力:由于緯度的變化,物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力不斷變化,因而表面物體的重力隨緯度的增大而增大。在地球的同一緯度處,g隨物體離地面高度的增大而減小,即繞地球運(yùn)動(dòng)的物體所受地球的萬(wàn)有引力充當(dāng)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,萬(wàn)有引力、向心力、重力三力合一由此推得兩個(gè)不同天體表面重力加速度的關(guān)系為:例題(G):假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體一礦井深度為d已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零求礦井底部和地面處的重力加速度大小之比?()例題:赤道上物體重力加速度是g,物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的加速度是a,要使赤道上的物體飄起來(lái),則轉(zhuǎn)速應(yīng)為原來(lái)的多少倍?A、; B、; C、; D、。2、 開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律(1)所有的行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓,太陽(yáng)處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。(2)對(duì)每一個(gè)行星而言,太陽(yáng)行星的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。(3)所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。其表達(dá)式為: ,其中a是橢圓軌道的半長(zhǎng)軸(把軌道看成圓形),T是行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期,k是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的常量,K只與中心天體質(zhì)量M有關(guān)3、 天體的質(zhì)量、密度、周期(1)測(cè)天體的質(zhì)量:測(cè)量衛(wèi)星繞天體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T,由GMm/r2=mr(2/T)2得(2)測(cè)量天體的密度:測(cè)量天體的半徑其中,若該衛(wèi)星環(huán)繞天體表面進(jìn)行運(yùn)動(dòng),r=R,由上式可以看出,近地衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)中,天體密度只與表面環(huán)繞周期有關(guān).例題:地球表面的衛(wèi)星周期約為84分鐘,估算地球的密度已知地球的半徑和重力加速度,估算地球的密度(3)天體運(yùn)動(dòng)的周期:,可以推得開(kāi)普勒第三定律:(常量)例題(G):設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M,某行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期為T,軌道可視作半徑為r的圓已知萬(wàn)有引力常量為G,則描述該行星運(yùn)動(dòng)的上述物理量滿足()A、 B C D2、 衛(wèi)星和航天1、 三個(gè)宇宙速度第一宇宙速度分為兩個(gè)別稱:航天器最小發(fā)射速度、航天器最大運(yùn)行速度。第一宇宙速度的推導(dǎo):人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),其軌道半徑近似等于地球半徑R,其向心力為地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力,其向心加速度近似等于地面處的重力加速度,第二宇宙速度:V=11.2km/s叫做第二宇宙速度,能脫離地球引力到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)處的最小速度,達(dá)到這個(gè)速度之后會(huì)擺脫地球的引力,成為太陽(yáng)的行星。第三宇宙速度:V=16.7km/s叫做第三宇宙速度,能脫離太陽(yáng)的引力到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)處的最小速度。2、 同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星、天空中的熱氣球和地球上的物體(1) 若已知人造衛(wèi)星繞地心做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r,地球的質(zhì)量為M,由得衛(wèi)星運(yùn)行的向心加速度為:;由得衛(wèi)星運(yùn)行的線速度為:;由得衛(wèi)星運(yùn)行的角速度為:;由得衛(wèi)星運(yùn)行的周期為:;由得衛(wèi)星運(yùn)行的動(dòng)能:;即隨著運(yùn)行的軌道半徑的逐漸增大,向心加速度a、線速度v、角速度、動(dòng)能Ek將逐漸減小,周期T將逐漸增大。若通過(guò)觀測(cè)衛(wèi)星的周期T和行星表面的重力加速度g及行星的半徑R可以求出衛(wèi)星的高度。(2)近地衛(wèi)星把在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星稱之為近地衛(wèi)星,它運(yùn)行的軌道半徑可以認(rèn)為等于地球的半徑R0,其軌道平面通過(guò)地心。若已知地球表面的重力加速度為g0,則由得:;由得:;由得:。若將地球半徑R0=6.4106m和g0=9.8m/s2代入上式,可得v=7.9103m/s,=1.2410-3rad/s,T=5074s(約84分鐘)由于,和且衛(wèi)星運(yùn)行的軌道半徑 rR0,所以所有繞地球做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星線速度v7.9103m/s,角速度1.2410-3rad/s,而周期T5074s。(3)同步衛(wèi)星因?yàn)橹芷赥=24h確定,所以同步衛(wèi)星的高度都是確定的h=r-R=3.56107m(約為三萬(wàn)六千千米)運(yùn)行速率:2r/T=3.1 km/s同步衛(wèi)星的軌道與地球赤道共面,且是圓形軌道;至少發(fā)射三顆同步衛(wèi)星且對(duì)稱分布在同一軌道上,才能實(shí)現(xiàn)全球通信(4)地球上的物體和熱氣球熱氣球等同于地球上的物體,浮力相當(dāng)于地面的支持力。靜止在地球表面上的物體,盡管地球?qū)ξ矬w的重量也為mg,盡管物體隨地球自轉(zhuǎn)也一起轉(zhuǎn),繞地軸做勻速率圓周運(yùn)動(dòng),且運(yùn)行周期等于地球自轉(zhuǎn)周期,與近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星有相似之處,但它的軌道平面不一定通過(guò)地心,只有當(dāng)物體在赤道上時(shí),軌道平面才能過(guò)地心.地球?qū)ξ矬w的引力F的一個(gè)分力是使物體做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力F=m2r,另一個(gè)分力才是物體的重量mg,即引力F不等于物體的重量mg,只有當(dāng)r=0時(shí),即物體在兩極處,由于F=m2r=0,F(xiàn)才等于mg。赤道上隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)的物體與近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星的區(qū)別和聯(lián)系:A、赤道上物體受的萬(wàn)有引力只有一小部分充當(dāng)向心力,另一部分作為重力使得物體緊壓地面,而近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星的引力全部充當(dāng)向心力,衛(wèi)星已脫離地球;B、赤道上(地球上)的物體、同步衛(wèi)星與地球保持相對(duì)靜止,而近地衛(wèi)星相對(duì)于地球而言處于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。C、軌道半徑:赤道上的物體和近地衛(wèi)星都運(yùn)動(dòng)軌道相同,等于地球的半徑,同步衛(wèi)星的軌道半徑大D、運(yùn)行周期:同步衛(wèi)星和赤道上地球上的物體周期相同,并且小于近地衛(wèi)星的周期E、向心加速度:近地衛(wèi)星向心加速度最大,地球上赤道上的物體向心加速度最小三、變軌問(wèn)題衛(wèi)星由低軌道運(yùn)動(dòng)到高軌道,要加速,加速后作離心運(yùn)動(dòng),勢(shì)能增大,動(dòng)能減少,到高軌道作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)速度小于低軌道上的速度。當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(shí),F(xiàn)萬(wàn)和mv2/r不再相等,因此不能再根據(jù)v2=GM/r來(lái)計(jì)算r當(dāng)以第一宇宙速度發(fā)射人造衛(wèi)星,它將圍繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng);若它發(fā)射的速度介于第一宇宙速度與第二宇宙速度之間,則它將圍繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)。有時(shí)為了讓衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng),要在衛(wèi)星發(fā)射后做橢圓運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中二次點(diǎn)火,以達(dá)到預(yù)定的圓軌道。設(shè)第一宇宙速度為v,則由第一宇宙速度的推導(dǎo)過(guò)程有。在地球表面若衛(wèi)星發(fā)射的速度v1v,則此時(shí)衛(wèi)星受地球的萬(wàn)有引力應(yīng)小于衛(wèi)星以v1繞地表做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力m,故從此時(shí)開(kāi)始衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng),在衛(wèi)星離地心越來(lái)越遠(yuǎn)的同時(shí),其速率也要不斷減小,在其橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)處(離地心距離為R),速率為v2(v2v1),此時(shí)由于Gm,衛(wèi)星從此時(shí)起做向心運(yùn)動(dòng),同時(shí)速率增大,從而繞地球沿橢圓軌道做周期性的運(yùn)動(dòng)。如果在衛(wèi)星經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)地點(diǎn)處開(kāi)動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)使其速率突然增加到v3,使Gm,則衛(wèi)星就可以以速率v3,以R為半徑繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。同樣的道理,在衛(wèi)星回收時(shí),選擇恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)使做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星速率突然減小,衛(wèi)星將會(huì)沿橢圓軌道做向心運(yùn)動(dòng),讓該橢圓與預(yù)定回收地點(diǎn)相切或相交,就能成功地回收衛(wèi)星。例題:飛船沿半徑為R的圓周繞地球運(yùn)動(dòng),其周期為T,如圖所示如果飛船要返回地面,可在軌道上的某點(diǎn)A將速度降低到適當(dāng)?shù)臄?shù)值,從而使飛船沿著地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行,橢圓與地球表面在B點(diǎn)相切,(地球半徑為Ro)求飛船由A 點(diǎn)到B 點(diǎn)所需的時(shí)間。 四、雙星系統(tǒng)和三星系統(tǒng)1、“雙星”問(wèn)題:兩顆質(zhì)量可以相比的恒星相互繞著旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象,叫雙星。雙星問(wèn)題是萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用的一個(gè)重要內(nèi)容,現(xiàn)就這類問(wèn)題的處理作簡(jiǎn)要分析?!半p星”問(wèn)題的分析思路質(zhì)量m1,m2;球心間距離L;軌道半徑 r1 ,r2 ;周期T1,T2 ;角速度1,2 線速度V1 V2;向心力相同,是一對(duì)作用力和反作用力。周期相同。角速度相同m12r1= m22r2m1r1=m2r2 r1:r2=m2:m1V1=r1 V2=r2V1:V2=r1:r2=m2:m1m1+m2=42L3/GT22、 “三星”問(wèn)題 有兩種情況:第一種三顆星連在同一直線上,兩顆星圍繞中央的星(靜止不動(dòng))在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行,周期相同;第二種三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的外接圓軌道運(yùn)行,三星運(yùn)行周期相同。公式推導(dǎo)1、在天體運(yùn)動(dòng)中,將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們?cè)谙嗷サ娜f(wàn)有引力作用下間距保持不變,并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如果雙星間距為,質(zhì)量分別為和,試計(jì)算:(1)雙星的軌道半徑;(2)雙星的運(yùn)行周期;(3)雙星的線速度。2、兩個(gè)星球組成雙星,它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下,繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)?,F(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R,其運(yùn)動(dòng)周期為T,求兩星的總質(zhì)量。(引力常量為G)3、宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng),通常可忽略其它星體對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為 R 的圓軌道上運(yùn)行;另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)三顆星質(zhì)量相等,每個(gè)星體的質(zhì)量均為m。(1)試求第一種情況下,星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期(2)假設(shè)第二種情況下星體之間的距離為R,求星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期4、兩顆靠得很近的天體稱為雙星,它們都繞兩者連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),因而不至于由于萬(wàn)有引力而吸引到一起,以下說(shuō)法中正確的是:A、它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比與其質(zhì)量成反比。B、它們做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比與其質(zhì)量成反比。C、它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與其質(zhì)量成正比。 D、它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與其質(zhì)量成反比。5(G)如圖,質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),星球A和B兩者中心之間的距離為L(zhǎng).已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線,A和B分別在O的兩側(cè)引力常數(shù)為G. (1)求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期;(2)在地月系統(tǒng)中,若忽略其它星球的影響,可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T1.但在近似處理問(wèn)題時(shí),常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的,這樣算得的運(yùn)行周期記為T2.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.981024 kg和7.351022 kg.求T2與T1兩者平方之比(結(jié)果保留3位小數(shù))(,)6、 (G)用天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀測(cè),人們?cè)谟钪嬷邪l(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng),通過(guò)對(duì)它們的研究,使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)存在的形式和分布有了較深刻的認(rèn)識(shí),雙星系統(tǒng)是由兩個(gè)星體構(gòu)成,其中每個(gè)星體的大小都遠(yuǎn)小于兩星體間的距離,一般雙星系統(tǒng)距離其它星體很遠(yuǎn),可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理,現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定,該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M,兩者相距L,它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。(1) 計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T計(jì)算。(2) 若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T觀測(cè),且T觀測(cè):T計(jì)算=1: (N1),為了解釋T觀測(cè)與T計(jì)算的不同,目前有一種流行的理論認(rèn)為,在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗物質(zhì),作為一種簡(jiǎn)化模型,我們假定在這兩個(gè)星體邊線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì),而不考慮其它暗物質(zhì)的影響,試根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。()7、(G)已知地球的自轉(zhuǎn)周期和半徑分別為T和R,地球同步衛(wèi)星A的圓軌道半徑為h。衛(wèi)星B沿半徑為r(rh)的圓軌道在地球赤道的正上方運(yùn)行,其運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。求:(1)衛(wèi)星B做圓周運(yùn)動(dòng)的周期;(2)衛(wèi)星A和B連續(xù)地不能直接通訊的最長(zhǎng)時(shí)間間隔(信號(hào)傳

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