高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.2 兩條直線的位置關(guān)系課件 理.ppt

第九章平面解析幾何 9 2兩條直線的位置關(guān)系 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 兩條直線的位置關(guān)系 1 兩條直線平行與垂直 兩條直線平行 對(duì)于兩條不重合的直線l1 l2 若其斜率分別為k1 k2 則有l(wèi)1 l2 k1 k2均存在 當(dāng)直線l1 l2不重合且斜率都不存在時(shí) l1 l2 k1 k2 知識(shí)梳理 1 答案 兩條直線垂直 如果兩條直線l1 l2的斜率存在 設(shè)為k1 k2 則有l(wèi)1 l2 k1 k2均存在 當(dāng)其中一條直線的斜率不存在 而另一條的斜率為0時(shí) l1 l2 2 兩條直線的交點(diǎn)直線l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解 k1 k2 1 答案 2 幾種距離 1 兩點(diǎn)p1 x1 y1 p2 x2 y2 之間的距離 p1p2 2 點(diǎn)p0 x0 y0 到直線l ax by c 0的距離d 3 兩條平行線ax by c1 0與ax by c2 0 其中c1 c2 間的距離d 答案 1 一般地 與直線ax by c 0平行的直線方程可設(shè)為ax by m 0 與之垂直的直線方程可設(shè)為bx ay n 0 2 過(guò)直線l1 a1x b1y c1 0與l2 a2x b2y c2 0的交點(diǎn)的直線系方程為a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 r 但不包括l2 3 點(diǎn)到直線與兩平行線間的距離的使用條件 1 求點(diǎn)到直線的距離時(shí) 應(yīng)先化直線方程為一般式 2 求兩平行線之間的距離時(shí) 應(yīng)先將方程化為一般式且x y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等 知識(shí)拓展 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí) 一定有k1 k2 l1 l2 2 如果兩條直線l1與l2垂直 則它們的斜率之積一定等于 1 3 已知直線l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 a1 b1 c1 a2 b2 c2為常數(shù) 若直線l1 l2 則a1a2 b1b2 0 答案 思考辨析 4 點(diǎn)p x0 y0 到直線y kx b的距離為 5 直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離 6 若點(diǎn)a b關(guān)于直線l y kx b k 0 對(duì)稱 則直線ab的斜率等于 且線段ab的中點(diǎn)在直線l上 答案 1 設(shè)a r 則 a 1 是 直線l1 ax 2y 1 0與直線l2 x a 1 y 4 0平行 的 條件 解析 1 充分性 當(dāng)a 1時(shí) 直線l1 x 2y 1 0與直線l2 x 2y 4 0平行 2 必要性 當(dāng)直線l1 ax 2y 1 0與直線l2 x a 1 y 4 0平行時(shí)有a 2或1 所以 a 1 是 直線l1 ax 2y 1 0與直線l2 x a 1 y 4 0平行 的充分不必要條件 充分不必要 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 教材改編 已知點(diǎn) a 2 a 0 到直線l x y 3 0的距離為1 則a 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知直線l1 3 m x 4y 5 3m l2 2x 5 m y 8平行 則實(shí)數(shù)m的值為 得m 1或 7 解析答案 1 2 3 4 5 7 4 2014 福建改編 已知直線l過(guò)圓x2 y 3 2 4的圓心 且與直線x y 1 0垂直 則l的方程是 解析圓x2 y 3 2 4的圓心為點(diǎn) 0 3 又因?yàn)橹本€l與直線x y 1 0垂直 所以直線l的斜率k 1 由點(diǎn)斜式得直線l y 3 x 0 化簡(jiǎn)得x y 3 0 x y 3 0 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 若直線 3a 2 x 1 4a y 8 0與 5a 2 x a 4 y 7 0垂直 則a 解析由兩直線垂直的充要條件 得 3a 2 5a 2 1 4a a 4 0 解得a 0或a 1 0或1 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 例1 1 已知兩條直線l1 a 1 x 2y 1 0 l2 x ay 3 0平行 則a 解析若a 0 兩直線方程為 x 2y 1 0和x 3 此時(shí)兩直線相交 不平行 所以a 0 解得a 1或a 2 1或2 題型一兩條直線的平行與垂直 解析答案 2 已知兩直線方程分別為l1 x y 1 l2 ax 2y 0 若l1 l2 則a 解析方法一 l1 l2 k1k2 1 解得a 2 方法二 l1 l2 a 2 0 a 2 2 解析答案 思維升華 思維升華 1 當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí) 不僅要考慮到斜率存在的一般情況 也要考慮到斜率不存在的特殊情況 同時(shí)還要注意x y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件 2 在判斷兩直線平行 垂直時(shí) 也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論 已知兩直線l1 x ysin 1 0和l2 2x sin y 1 0 求 的值 使得 1 l1 l2 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解方法一當(dāng)sin 0時(shí) 直線l1的斜率不存在 l2的斜率為0 顯然l1不平行于l2 解析答案 方法二由a1b2 a2b1 0 得2sin2 1 0 又b1c2 b2c1 0 所以1 sin 0 即sin 1 2 l1 l2 解因?yàn)閍1a2 b1b2 0是l1 l2的充要條件 所以2sin sin 0 即sin 0 所以 k k z 故當(dāng) k k z時(shí) l1 l2 解析答案 題型二兩條直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題 解析答案 又 交點(diǎn)位于第一象限 解析答案 方法二如圖 已知直線 解析答案 而直線方程y kx 2k 1可變形為y 1 k x 2 表示這是一條過(guò)定點(diǎn)p 2 1 斜率為k的動(dòng)直線 兩直線的交點(diǎn)在第一象限 兩直線的交點(diǎn)必在線段ab上 不包括端點(diǎn) 動(dòng)直線的斜率k需滿足kpa k kpb 2 直線l過(guò)點(diǎn)p 1 2 且到點(diǎn)a 2 3 和點(diǎn)b 4 5 的距離相等 則直線l的方程為 解析答案 解析方法一當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 設(shè)直線l的方程為y 2 k x 1 即kx y k 2 0 即 3k 1 3k 3 解析答案 思維升華 即x 3y 5 0 當(dāng)l過(guò)ab中點(diǎn)時(shí) ab的中點(diǎn)為 1 4 直線l的方程為x 1 故所求直線l的方程為x 3y 5 0或x 1 答案x 3y 5 0或x 1 即x 3y 5 0 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí) 直線l的方程為x 1 也符合題意 思維升華 思維升華 1 求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法 求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程 先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程 2 利用距離公式應(yīng)注意 點(diǎn)p x0 y0 到直線x a的距離d x0 a 到直線y b的距離d y0 b 兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x y的系數(shù)化為相等 1 如圖 設(shè)一直線過(guò)點(diǎn) 1 1 它被兩平行直線l1 x 2y 1 0 l2 x 2y 3 0所截的線段的中點(diǎn)在直線l3 x y 1 0上 求其方程 解與l1 l2平行且距離相等的直線方程為x 2y 2 0 設(shè)所求直線方程為 x 2y 2 x y 1 0 即 1 x 2 y 2 0 又直線過(guò) 1 1 1 1 2 1 2 0 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 2 正方形的中心為點(diǎn)c 1 0 一條邊所在的直線方程是x 3y 5 0 求其他三邊所在直線的方程 解析答案 設(shè)與x 3y 5 0平行的一邊所在直線的方程是x 3y m 0 m 5 解得m 5 舍去 或m 7 所以與x 3y 5 0平行的邊所在直線的方程是x 3y 7 0 解析答案 設(shè)與x 3y 5 0垂直的邊所在直線的方程是3x y n 0 解得n 3或n 9 所以與x 3y 5 0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x y 3 0和3x y 9 0 命題點(diǎn)1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 例3過(guò)點(diǎn)p 0 1 作直線l 使它被直線l1 2x y 8 0和l2 x 3y 10 0截得的線段被點(diǎn)p平分 則直線l的方程為 解析設(shè)l1與l的交點(diǎn)為a a 8 2a 則由題意知 點(diǎn)a關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn)b a 2a 6 在l2上 代入l2的方程得 a 3 2a 6 10 0 解得a 4 即點(diǎn)a 4 0 在直線l上 所以直線l的方程為x 4y 4 0 x 4y 4 0 題型三對(duì)稱問(wèn)題 解析答案 命題點(diǎn)2點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 例4已知直線l 2x 3y 1 0 點(diǎn)a 1 2 則點(diǎn)a關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)a 的坐標(biāo)為 解析答案 命題點(diǎn)3直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題 例5已知直線l 2x 3y 1 0 求直線m 3x 2y 6 0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m 的方程 解析答案 思維升華 解在直線m上任取一點(diǎn) 如m 2 0 則m 2 0 關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)m 必在直線m 上 解析答案 思維升華 設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為n 又 m 經(jīng)過(guò)點(diǎn)n 4 3 由兩點(diǎn)式得直線m 的方程為9x 46y 102 0 思維升華 解決對(duì)稱問(wèn)題的方法 1 中心對(duì)稱 直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決 思維升華 2 軸對(duì)稱 直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決 在等腰直角三角形abc中 ab ac 4 點(diǎn)p是邊ab上異于a b的一點(diǎn) 光線從點(diǎn)p出發(fā) 經(jīng)bc ca發(fā)射后又回到原點(diǎn)p 如圖 若光線qr經(jīng)過(guò) abc的重心 則ap 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 返回 解析建立如圖所示的坐標(biāo)系 可得b 4 0 c 0 4 故直線bc的方程為x y 4 設(shè)p a 0 其中0 a 4 解析答案 解析答案 代入化簡(jiǎn)可得3a2 4a 0 返回 思想與方法系列 一 平行直線系由于兩直線平行 它們的斜率相等或它們的斜率都不存在 因此兩直線平行時(shí) 它們的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有必然的聯(lián)系 典例求與直線3x 4y 1 0平行且過(guò)點(diǎn) 1 2 的直線l的方程 思維點(diǎn)撥因?yàn)樗笾本€與3x 4y 1 0平行 因此 可設(shè)該直線方程為3x 4y c 0 c 1 18 妙用直線系求直線方程 思想與方法系列 解析答案 思維點(diǎn)撥 溫馨提醒 規(guī)范解答解依題意 設(shè)所求直線方程為3x 4y c 0 c 1 又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn) 1 2 所以3 1 4 2 c 0 解得c 11 因此 所求直線方程為3x 4y 11 0 溫馨提醒 溫馨提醒 與直線ax by c 0平行的直線系方程為ax by c1 0 c1 c 再由其他條件求c1 二 垂直直線系由于直線a1x b1y c1 0與a2x b2y c2 0垂直的充要條件為a1a2 b1b2 0 因此 當(dāng)兩直線垂直時(shí) 它們的一次項(xiàng)系數(shù)有必要的關(guān)系 可以考慮用直線系方程求解 典例求經(jīng)過(guò)a 2 1 且與直線2x y 10 0垂直的直線l的方程 思維點(diǎn)撥依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程 再由待定系數(shù)法求解 解析答案 思維點(diǎn)撥 溫馨提醒 規(guī)范解答解因?yàn)樗笾本€與直線2x y 10 0垂直 所以設(shè)該直線方程為x 2y c1 0 又直線過(guò)點(diǎn) 2 1 所以有2 2 1 c1 0 解得c1 0 即所求直線方程為x 2y 0 溫馨提醒 溫馨提醒 與直線ax by c 0垂直的直線系方程為bx ay c1 0 再由其他條件求出c1 三 過(guò)直線交點(diǎn)的直線系典例求經(jīng)過(guò)兩直線l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交點(diǎn)p 且與直線l3 3x 4y 5 0垂直的直線l的方程 思維點(diǎn)撥可分別求出直線l1與l2的交點(diǎn)及直線l的斜率k 直接寫(xiě)出方程 也可以利用過(guò)交點(diǎn)的直線系方程設(shè)直線方程 再用待定系數(shù)法求解 解析答案 思維點(diǎn)撥 溫馨提醒 返回 規(guī)范解答 即4x 3y 6 0 方法二設(shè)直線l的方程為x 2y 4 x y 2 0 即 1 x 2 y 4 2 0 又 l l3 3 1 4 2 0 解得 11 直線l的方程為4x 3y 6 0 溫馨提醒 返回 溫馨提醒 本題方法一采用常規(guī)方法 先通過(guò)方程組求出兩直線交點(diǎn) 再根據(jù)垂直關(guān)系求出斜率 由于交點(diǎn)在y軸上 故采用斜截式求解 方法二則采用了過(guò)兩直線a1x b1y c1 0與a2x b2y c2 0的交點(diǎn)的直線系方程 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 直接設(shè)出過(guò)兩直線交點(diǎn)的方程 再根據(jù)垂直條件用待定系數(shù)法求解 思想方法感悟提高 1 兩直線的位置關(guān)系要考慮平行 垂直和重合 對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1 l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若有一條直線的斜率不存在 那么另一條直線的斜率一定要特別注意 2 對(duì)稱問(wèn)題一般是將線與線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱 利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法 方法與技巧 1 在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí) 首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在 若兩條直線都有斜率 可根據(jù)判定定理判斷 若直線無(wú)斜率 要單獨(dú)考慮 2 在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d 時(shí) 一定要注意將兩方程中x y的系數(shù)化為相同的形式 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 設(shè)a b c分別是 abc中角a b c所對(duì)邊的邊長(zhǎng) 則直線sina x ay c 0與bx sinb y sinc 0的位置關(guān)系是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即直線sina x ay c 0與bx sinb y sinc 0垂直 方法二由正弦定理有a 2rsina b 2rsinb 其中r為 abc外接圓的半徑 所以bsina asinb 2rsinbsina 2rsinasinb 0 所以直線sina x ay c 0與bx sinb y sinc 0垂直 答案垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二 解析答案 4 若直線l1 y k x 4 與直線l2關(guān)于點(diǎn) 2 1 對(duì)稱 則直線l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn) 解析直線l1 y k x 4 經(jīng)過(guò)定點(diǎn) 4 0 其關(guān)于點(diǎn) 2 1 對(duì)稱的點(diǎn)為 0 2 又直線l1 y k x 4 與直線l2關(guān)于點(diǎn) 2 1 對(duì)稱 故直線l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn) 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 從點(diǎn) 2 3 射出的光線沿與向量a 8 4 平行的直線射到y(tǒng)軸上 則反射光線所在的直線方程為 其與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 0 2 又點(diǎn) 2 3 關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為 2 3 所以反射光線過(guò)點(diǎn) 2 3 與 0 2 由兩點(diǎn)式得直線方程為x 2y 4 0 x 2y 4 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由題可知 集合m表示過(guò)點(diǎn) 2 3 且斜率為3的直線 但除去 2 3 點(diǎn) 而集合n表示一條直線 7 已知兩直線l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 若l1 l2 且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等 則a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 解析答案 9 已知 abc的頂點(diǎn)a 5 1 ab邊上的中線cm所在直線方程為2x y 5 0 ac邊上的高bh所在直線方程為x 2y 5 0 求直線bc的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解依題意知 kac 2 a 5 1 lac為2x y 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 代入2x y 5 0 得2x0 y0 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即6x 5y 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 已知直線l經(jīng)過(guò)直線l1 2x y 5 0與l2 x 2y 0的交點(diǎn) 1 若點(diǎn)a 5 0 到l的距離為3 求l的方程 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解易知l不可能為l2 可設(shè)經(jīng)過(guò)兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為 2x y 5 x 2y 0 即 2 x 1 2 y 5 0 點(diǎn)a 5 0 到l的距離為3 l的方程為x 2或4x 3y 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求點(diǎn)a 5 0 到l的距離的最大值 解得交點(diǎn)p 2 1 如圖 過(guò)p作任一直線l 設(shè)d為點(diǎn)a到l的距離 則d pa 當(dāng)l pa時(shí)等號(hào)成立 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 若點(diǎn) m n 在直線4x 3y 10 0上 則m2 n2的最小值是 解析因?yàn)辄c(diǎn) m n 在直線4x 3y 10 0上 所以4m 3n 10 0 解析答案 表示4m 3n 10 0上的點(diǎn) m n 到原點(diǎn)的距離 如圖 當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線與直線4m 3n 10 0垂直時(shí) 原點(diǎn)到點(diǎn) m n 的距離最小為2 所以m2 n2的最小值為4 4 12 如圖 已知直線l1 l2 點(diǎn)a是l1 l2之間的定點(diǎn) 點(diǎn)a到l1 l2之間的距離分別為3和2 點(diǎn)b是l2上的一動(dòng)點(diǎn) 作ac ab 且ac與l1交于點(diǎn)c 則 abc的面積的最小值為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析以a為坐標(biāo)原點(diǎn) 平行于l1的直線為x軸 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 設(shè)b a 2 c b 3 且a 0 b 0 ac ab 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即 abc面積的最小值為6 答案6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi) 到點(diǎn)a 1 2 b 1 5 c 3 6 d 7 1 的距