關(guān)于動(dòng)態(tài)ADL的課件.docx

動(dòng)態(tài)回歸與誤差修正模型本章假定變量具有平穩(wěn)性，第6章將把誤差修正模型的應(yīng)用向非平穩(wěn)變量擴(kuò)展。5.1均衡與誤差修正機(jī)制均衡指一種狀態(tài)。達(dá)到均衡時(shí)將不存在破壞均衡的內(nèi)在機(jī)制。這里只考慮平穩(wěn)的均衡狀態(tài)，即當(dāng)系統(tǒng)受到干擾后會(huì)偏離均衡點(diǎn)，而內(nèi)在均衡機(jī)制將努力使系統(tǒng)重新回到均衡狀態(tài)。下面通過一個(gè)例子說明系統(tǒng)均衡概念。以兩個(gè)地區(qū)某種商品的價(jià)格為例，假設(shè)地區(qū)A中該商品物價(jià)由于某種原因上升時(shí)，該商品就會(huì)通過批發(fā)商從價(jià)格低的B地區(qū)向價(jià)格高的A地區(qū)流動(dòng)。從而使批發(fā)商從中獲利。這種活動(dòng)將直接導(dǎo)致該商品在B地區(qū)的需求增加，從而使該商品在B地區(qū)的價(jià)格上漲。從A地區(qū)看，由于增加了該商品的供給，則導(dǎo)致價(jià)格下降，反過來的情形也是一樣，從而使兩各地區(qū)的該商品價(jià)格越來越接近。用該兩個(gè)地區(qū)的價(jià)格數(shù)據(jù)繪制一張平面圖，價(jià)格A=價(jià)格B的直線表示此問題的均衡狀態(tài)。如上所述，當(dāng)價(jià)格離開這條直線后，市場(chǎng)機(jī)制這只無形的“手”就會(huì)把偏離均衡點(diǎn)的狀態(tài)重新拉回到均衡狀態(tài)。隨著時(shí)間推移，無論價(jià)格怎樣變化，兩個(gè)地區(qū)的價(jià)格都保持一致。若兩個(gè)變量xt,yt永遠(yuǎn)處于均衡狀態(tài)，則偏差為零。然而由于各種因素的影響，xt,yt并不是永遠(yuǎn)處于均衡位置上，從而使ut0，稱ut為非均衡誤差。當(dāng)系統(tǒng)偏離均衡點(diǎn)時(shí)，平均來說，系統(tǒng)將在下一期移向均衡點(diǎn)。這是一個(gè)動(dòng)態(tài)均衡過程。本期非均衡誤差ut是yt下一期取值的重要解釋變量。當(dāng)ut0時(shí)，說明yt相對(duì)于xt取值高出均衡位置。平均來說，變量yt在T+1期的取值yt+1將有所回落。所以說ut=f(yt,xt)具有一種誤差修正機(jī)制。當(dāng)然這種均衡不意味著一定是1比1的關(guān)系。例如中國宏觀消費(fèi)比問題。5.2“一般到特殊”建模法分布滯后模型：如果回歸模型中不僅包括解釋變量的本期值，而且包括解釋變量的滯后（過去）值，則這種回歸模型稱為分布滯后模型。例bxyt=a0+ni=0it-i+ut,utIID(0,s2)(5.1)而是在這些回歸系數(shù)的和式，i=0bi上。通過這個(gè)和式可以了解當(dāng)xt變化時(shí)，對(duì)yt產(chǎn)生的長上述模型的一個(gè)明顯問題是xt與xt-1,xt-2,xt-n高度相關(guān)，從而使bj的OLS估計(jì)值很不準(zhǔn)確。實(shí)際上對(duì)于分布滯后模型，這并不是一個(gè)嚴(yán)重問題，因?yàn)槿藗兊淖⒁饬Σ⒉辉趩蝹€(gè)回歸系數(shù)上，n期影響。盡管對(duì)每個(gè)bj估計(jì)得不很準(zhǔn)確，但這些估計(jì)值的和卻是相當(dāng)精確的?？聪率絍ar(bi)=Var(bi)+2Cov(bi,bk),ni=0i=0i=0k=0nni-1(5.2)若xt-i與xt-k,(ik)是正相關(guān)的（實(shí)際中常常如此），則（5.2）式中的協(xié)方差項(xiàng)通常是負(fù)的。當(dāng)這些項(xiàng)的值很大（絕對(duì)值）且為負(fù)時(shí)，Var(i=0bi)比i=0Var(bi)小，甚至比每個(gè)nnVar(bi)還小。分布滯后模型中的解釋變量存在高度相關(guān)，克服高度相關(guān)的一個(gè)方法是在等號(hào)右側(cè)加一個(gè)被解釋變量的滯后項(xiàng)（回顧第2章的可逆性）。動(dòng)態(tài)模型(自回歸模型)：如果在回歸模型的解釋變量中包括被解釋變量的一個(gè)或幾個(gè)滯后值，則稱這種回歸模型為動(dòng)態(tài)模型(或自回歸模型)。例1yt=a0+a1yt-1+b1xt+ut動(dòng)態(tài)分布滯后模型：如果在分布滯后模型中包括被解釋變量的若干個(gè)滯后值作解釋變量，則稱之為動(dòng)態(tài)分布滯后模型或自回歸分布滯后模型。例byt=a0+mi=1aiyt-i+pnj=1i=0jixjt-i+ut,utIID(0,s2)(5.3)用ADL(m,n,p)表示，其中m是自回歸階數(shù)，n是分布滯后階數(shù)，p是外生變量個(gè)數(shù)。對(duì)ADL(m,n,p)模型可采用OLS法估計(jì)，參數(shù)估計(jì)量是有偏的，但具有一致性。以簡單自回歸模型yt=byt-1+ut,|b|1,utIID(0,s2),(5.5)為例，模型滿足ytI(0)；隨著T，yt-1與ut相互獨(dú)立；E(utyt-1)=0；yt具有非零的有限的4階矩。b的OLS估計(jì)量計(jì)算公式是b=ytyt-1yt-12.Tt=2把(5.5)式代入(5.6)式得Tt=2(5.6)(byyyyb=Tt=2Tt=2t-1+ut)yt-12t-1=bTt=2Tyt-12+t=2T2t-1t=2t-1ut=b+yt-1utyt-12.Tt=2Tt=2(5.7)yt-1與ut是相關(guān)的。上式右側(cè)第二項(xiàng)的期望不為零。所以，用OLS法得到的回歸系數(shù)估計(jì)量是有偏估計(jì)量。若對(duì)(5.7)式右側(cè)第二項(xiàng)的分子分母分別除以（T-1）（樣本容量）并求概率極限，yt-1utt=2yt-1plim(T-1)t=2plimb=b+Tplim(T-1)-1T-12TTT=b(5.8)可見b也是一致估計(jì)量。最常見的是ADL(1,1)和ADL(2,2)模型，yt=a0+a1yt-1+b0xt+b1xt-1+ut,utIID(0,s2),(5.9)和yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+b0xt+b1xt-1+b2xt-2+ut,utIID(0,s2)對(duì)于ADL(1,1)模型(5.9)，xt和yt的長期關(guān)系是b+b1yt=a01-a1+01-a1xt=q0+q1xt,(5.10)2上式稱作靜態(tài)模型，參數(shù)稱作靜態(tài)參數(shù)或長期參數(shù)。長期參數(shù)描述變量之間的均衡關(guān)系。動(dòng)態(tài)模型(5.9)中的參數(shù)稱作動(dòng)態(tài)參數(shù)或短期參數(shù)。短期參數(shù)描述變量通向均衡狀態(tài)過程中的非均衡關(guān)系。通過對(duì)a0,b0和b1施加約束條件，從ADL模型（5.9）可以得到許多特殊的經(jīng)濟(jì)模型。下面以9種約束條件為例，給出特定模型如下：（1）當(dāng)a1=b1=0成立，摸型（5.9）變?yōu)閥t=a0+b0xt+ut.(5.11)這是一個(gè)靜態(tài)回歸模型。（2）當(dāng)b0=b1=0時(shí)，由模型（5.9）得yt=a0+a1yt-1+ut.(5.12)這是一階自回歸模型。（3）當(dāng)a1=b0=0時(shí)，則有yt=a0+b1xt-1+ut.(5.13)xt-1是yt的超前指示變量。此模型稱為前導(dǎo)模型。（4）當(dāng)約束條件是a1=1，b1=-b0時(shí)，（5.9）式變?yōu)镈yt=a0+b0Dxt+ut.(5.14)這是一個(gè)一階差分模型。當(dāng)xt與yt為對(duì)數(shù)形式時(shí)，上述模型為增長率模型。（5）若a1=0成立，模型（5.9）則變?yōu)橐浑A分布滯后模型。yt=a0+b0xt+b1xt-1+ut.(5.15)(6)取b1=0，則模型（5.9）變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的局部調(diào)整模型（偏調(diào)整模型）。yt=a0+a1yt-1+b0xt+ut.(5.16)(7)當(dāng)b0=0時(shí)，由模型（5.9）得yt=a0+a1yt-1+b1xt-1+ut.(5.17)模型中只有變量的滯后值作解釋變量，yt的值僅依靠滯后信息。這種模型稱為“盲始”模型。（8）給定b1=-a1，模型（5.9）化簡為yt=a0+a1(yt-1-xt-1)+b0xt+ut(5.18)此模型稱為比例響應(yīng)模型。解釋變量為xt與(yt-1-xt-1)。以上所列舉的例子說明實(shí)際上許多有特殊經(jīng)濟(jì)意義的模型都是由一個(gè)一般的ADL模型化簡得到的。這種建立模型的方法是首先從一個(gè)包括了盡可能多解釋變量的“一般”ADL模型開始，通過檢驗(yàn)回歸系數(shù)的約束條件逐步剔除那些無顯著性變量，壓縮模型規(guī)模，（在這個(gè)過程中要始終保持模型隨機(jī)誤差項(xiàng)的非自相關(guān)性。）最終得到一個(gè)簡化（或“特殊”）的模型。這種方法稱為“一般到特殊”建模法。也稱作亨德里（Hendry）建模法。關(guān)于檢驗(yàn)約束條件是否成立的方法將在5.4節(jié)討論。在1.5節(jié)中曾討論，模型若丟失重要解釋變量將導(dǎo)致回歸系數(shù)的OLS估計(jì)量喪失無偏性和一致性?！耙话愕教厥狻苯７ǖ闹饕獌?yōu)點(diǎn)是能夠把由于選擇變量所帶來的設(shè)定誤差減到最小。因?yàn)樵诔跏寄Ｐ椭邪嗽S多變量，所以不會(huì)使回歸系數(shù)的OLS估計(jì)量存在丟失變量誤差。雖然因?yàn)樵诔跏寄Ｐ椭邪嗽S多非重要解釋變量，從而使回歸參數(shù)估計(jì)量缺乏有效性，但隨著3檢驗(yàn)約束條件的繼續(xù)，那些非重要的解釋變量被逐步剔除掉，從而使估計(jì)量缺乏有效性的問題得到解決。5.3誤差修正模型（ECM）誤差修正模型由Sargan1964年提出，最初用于存儲(chǔ)模型。1977年由Hendry-Anderson和Davidson完善。ECM模型由ADL(m,n,p)模型變換而來。下面通過ADL(1,1)模型推導(dǎo)簡單的ECM模型。有yt=a0+a1yt-1+b0xt+b1xt-1+ut,|a1|1,utIID(0,s2),(5.25)其中ut應(yīng)不存在自相關(guān)和異方差。如果這個(gè)條件不能滿足，可通過增加xt和yt的滯后項(xiàng)或加入新的變量從而使ut滿足要求。從上式兩側(cè)同時(shí)減yt-1，在右側(cè)同時(shí)加減b0xt-1得，Dyt=a0+b0Dxt+(a1-1)yt-1+(b0+b1)xt-1+ut(5.26)上式右側(cè)第三、四項(xiàng)合并，Dyt=a0+b0Dxt+(a1-1)(yt-1-k1xt-1)+ut(5.28)其中k1=(b0+b1)/(1-a1)。在上述變換中沒有破壞恒等關(guān)系，所以不會(huì)影響模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)的解釋能力，也不會(huì)改變OLS估計(jì)量的性質(zhì)。上式稱為ECM模型，(a1-1)(yt-1-k1xt-1)稱為誤差修正項(xiàng)。(yt-1-k1xt-1)表示前一期的非均衡誤差，由(5.25)式知，若yt平穩(wěn)，必有|a|1，所以非均衡誤差項(xiàng)的系數(shù)(a1-1)必為負(fù)。說明誤差修正項(xiàng)對(duì)Dyt有一個(gè)反向修正作用。當(dāng)前一期yt，即yt-1相對(duì)于均衡點(diǎn)取值過高（低）時(shí)，通過誤差修正項(xiàng)的反向修正作用，使本期Dyt減?。ㄔ黾樱?，yt向均衡位置移動(dòng)。(a1-1)表示誤差修正項(xiàng)對(duì)Dyt的調(diào)節(jié)速度。進(jìn)一步變換(5.28)式Dyt=b0Dxt+(a1-1)(yt-1-k0-k1xt-1)+ut(5.29)(其中k0=a0/(1-a1)。yt-1-k0-k1xt1)是xt和yt的常期關(guān)系，Dyt=b0Dxt+(a1-1)()是xt和yt的短期關(guān)系。(10)當(dāng)約束條件a1+b0+b1=1成立時(shí)，模型（5.29）變?yōu)镈yt=b0Dxt+(a1-1)yt-1-k0-xt-1+ut，(5.31)這是一個(gè)k1=1的特殊誤差修正模型。ECM模型有如下特點(diǎn)：上述模型中的Dyt，Dxt和非均衡誤差項(xiàng)都是平穩(wěn)的。應(yīng)用最小二乘法估計(jì)模型時(shí)，參數(shù)估計(jì)量都具有優(yōu)良的漸近特性。在第6章可以看到，即使變量是非平穩(wěn)的，只要存在協(xié)積關(guān)系，誤差修正模型也不會(huì)存在虛假回歸問題。誤差修正模型中既有描述變量長期關(guān)系的參數(shù)，又有描述變量短期關(guān)系的參數(shù)；既可研究經(jīng)濟(jì)問題的靜態(tài)（長期）特征又可研究其動(dòng)態(tài)（短期）特征。誤差修正模型中的變量不存在多重共線性問題。ut是非自相關(guān)的。如果ut是自相關(guān)的，可在模型中加入Dyt和Dxt的足夠多滯后項(xiàng)，從而消除ut的自相關(guān)。同時(shí)相應(yīng)加大誤差修正項(xiàng)的滯后期。建模過程中允許根據(jù)t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)剔除ECM模型中的差分變量。在ECM模型中剔除差分變量，相當(dāng)于在原ADL模型中施加一個(gè)約束條件。例如剔除差分變量Dxt，相當(dāng)于在原ADL(1,1)模型中施加約束條件，b0=0。在非均衡誤差項(xiàng)中剔除任何水平滯后變量都是危險(xiǎn)的，這將影響長期關(guān)系的表達(dá)。ECM模型中的k0,k1未知，ECM模型不能直接被估計(jì)。估計(jì)方法是若變量為平穩(wěn)4變量或者為非平穩(wěn)變量但存在長期均衡關(guān)系，可以把誤差修正項(xiàng)的括號(hào)打開，對(duì)模型直接用OLS法估計(jì)。先估計(jì)長期均衡關(guān)系，然后把估計(jì)的非均衡誤差作為誤差修正項(xiàng)代入ECM模型，并估計(jì)該模型。5.4動(dòng)態(tài)模型的若干檢驗(yàn)方法在用“一般到特殊”方法建立模型時(shí)的，首先應(yīng)對(duì)初始模型（即對(duì)回歸參數(shù)不加任何約束的動(dòng)態(tài)分布滯后模型）的隨機(jī)誤差項(xiàng)進(jìn)行異方差和自相關(guān)檢驗(yàn)。對(duì)模型的其他檢驗(yàn)都應(yīng)建立在隨機(jī)誤差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲序列的基礎(chǔ)之上。在檢驗(yàn)約束條件是否成立的過程中逐步剔除不顯著變量，化簡模型，同時(shí)還要保持模型隨機(jī)誤差項(xiàng)的非自相關(guān)性和同方差性不被破壞。在這個(gè)過程中要用到許多統(tǒng)計(jì)量。下面介紹一些常用的檢驗(yàn)方法。1F檢驗(yàn)把樣本數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后建立回歸模型，隨機(jī)誤差項(xiàng)一般不會(huì)存在異方差。對(duì)于隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自相關(guān)檢驗(yàn)可用DW統(tǒng)計(jì)量完成。對(duì)于ADL模型（5.9），約束條件（5），（6），（7）和（10），即a1=0，b1=0，b0=0和a1+b0+b1-1=0（見5.2和5.3節(jié)）的是否成立可用t檢驗(yàn)完成。如果t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值，則相應(yīng)約束條件不成立，相應(yīng)解釋變量不能輕易地從模型中剔除掉。否則接受相應(yīng)約束條件，從模型中剔除相應(yīng)解釋變量。對(duì)于聯(lián)合線性約束條件（1），（2），（3）和（4）（見5.2節(jié)）可用F檢驗(yàn)完成。假定模型誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，共有m個(gè)線性約束條件，則所用統(tǒng)計(jì)量是F=(SSEr-SSEu)/mSSEu/(T-k)(5.45)其中SSEr表示施加約束條件后估計(jì)模型的殘差平方和，SSEu表示未施加約束條件的估計(jì)模型的殘差平方和，m表示約束條件個(gè)數(shù)，T表示樣本容量，k表示未加約束的模型中被估參數(shù)的個(gè)數(shù)。在零假設(shè)“約束條件真實(shí)”條件下，F(xiàn)F(m,Tk)因?yàn)閮蓚€(gè)模型都是用OLS法估計(jì)的，所以可把被解釋變量的總平方和（SST）分解為回歸平方和(SSR)與誤差平方和（SSE）兩部分。對(duì)于不加約束的模型有SST=SSRu+SSEu.對(duì)于施加約束條件的模型有，SST=SSRr+SSEr.如果約束條件成立，那么在施加約束條件下求到的SSEr不會(huì)比不加約束條件的SSEu大很多，用樣本計(jì)算的F值不會(huì)很大。若F值小于臨界值，則約束條件是可接受的（真實(shí)的）。否則應(yīng)該拒絕零假設(shè)。注意，F(xiàn)檢驗(yàn)的零假設(shè)是m個(gè)約束條件同時(shí)為零，備擇假設(shè)是m個(gè)約束條件不同時(shí)為零。所以拒絕零假設(shè)并不排除有部分約束條件為零。應(yīng)利用t檢驗(yàn)進(jìn)一步對(duì)每一個(gè)參數(shù)進(jìn)行顯著性判別。比如對(duì)ADL模型（5.9）檢驗(yàn)聯(lián)合約束條件a1=b1=0，則（5.9）式為無約束模型，(5.11)式為約束模型。yt=a0+a1yt-1+b0xt+b1xt-1+ut,utIID(0,s2),（無約束模型）(5.9)yt=a0+b0xt+ut.（約束模型）(5.11)用SSEu和SSEr分別表示對(duì)（5.9）和（5.11）式進(jìn)行OLS估計(jì)得到的SSE，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量按下式計(jì)算F=(SSEr-SSEu)/2SSEu/(T-4)5其中2表示約束條件個(gè)數(shù)，T表示樣本容量，4表示無約束模型（5.9）中被估參數(shù)個(gè)數(shù)。判別規(guī)則是，若FFa(2,T-4)，則拒絕兩個(gè)約束條件同時(shí)成立。例：（file:b1c4）中國國債發(fā)行額模型首先分析中國國債發(fā)行額序列的特征。1980年國債發(fā)行額是43.01億元（占GDP的1%），2001年國債發(fā)行額是4604億元（占GDP的4.8%）。以當(dāng)年價(jià)格計(jì)算，21年間（1980-2001）增長了106倍。平均年增長率是24.9%。5000DEBT400030002000100008082848688909294969800中國當(dāng)前正處在社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)逐步完善，宏觀經(jīng)濟(jì)平穩(wěn)運(yùn)行的階段。國債發(fā)行總量（DEBTt，億元）應(yīng)該與經(jīng)濟(jì)總規(guī)模，財(cái)政赤字的多少，每年的還本付息能力有關(guān)系。選擇3個(gè)解釋變量，國內(nèi)生產(chǎn)總值（百億元），財(cái)政赤字額（億元），年還本付息額（億元），根據(jù)散點(diǎn)圖建立中國國債發(fā)行額（DEBTt，億元）模型如下：DEBTt=b0+b1GDPt+b2DEFt+b3REPAYt+ut其中GDPt表示年國內(nèi)生產(chǎn)總值（百億元），DEFt表示年財(cái)政赤字額（億元），REPAYt表示年還本付息額（億元）。用1980-2000年數(shù)據(jù)得輸出結(jié)果如下；DEBTt=4.38+0.34GDPt+1.00DEFt+0.88REPAYt(5.46)(0.2)(2.1)(26.6)(17.2)R2=0.9986,DW=2.12,T=21,(1980-2000),SSE=48447.75用F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)是否可以對(duì)上式施加約束GDPt和DEFt的系數(shù)b1=0，b2=0。給出約束模型估計(jì)結(jié)果如下，DEBTt=104.85+1.63REPAYt(5.47)(0.8)(12.4)R2=0.89,DW=0.7,T=21,(1980-2000),SSE=3772378F=(SSEr-SSEu)/mSSEu/(T-k)=(3772378-48447.75)/248447.75/(21-4)=653.35因?yàn)镕=653.35F0。05(2,17)，約束條件不成立，不應(yīng)在模型中刪除變量GDPt和DEFt。附錄：EViews操作（1）：在(11.7)式窗口中點(diǎn)擊View，選CoefficientTests,Wald-coefficientRestrictions功能（Wald參數(shù)約束檢驗(yàn)），在隨后彈出的對(duì)話框中填入?yún)?shù)約束條件。對(duì)應(yīng)（5.46）式的EViews命令是c(2)=c(3)=0相當(dāng)于刪除變量GDP，DEF。點(diǎn)擊OK鍵，可得如下檢驗(yàn)結(jié)果。6EViews操作（2）：在(5.46)式窗口中點(diǎn)擊View，選CoefficientTests,RedundantVariables-LikelihoodRatio功能（模型中是否存在多余的不重要解釋變量），在隨后彈出的對(duì)話框中填入擬剔除的解釋變量GDP，DEF。也可得到如下結(jié)果。EViews操作（3）：在(5.47)式窗口中點(diǎn)擊View，選CoefficientTests,OmittedVariables-LikelihoodRatio功能（模型中是否丟了重要的解釋變量），在隨后彈出的對(duì)話框中填入擬加入的解釋變量GDP，DEF。也可得到如上結(jié)果。2似然比（LR）檢驗(yàn)以上介紹的t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)只適用于對(duì)線性約束條件的檢驗(yàn)。對(duì)于5.2節(jié)中的約束條件（9），a1b0+b1=0，則無法用t或F檢驗(yàn)完成。下面介紹三種常用的檢驗(yàn)方法，即似然比（LR）檢驗(yàn)，沃爾德（W）檢驗(yàn)和拉格朗日（lagrange）乘數(shù)（LM）檢驗(yàn)。這三種檢驗(yàn)所用統(tǒng)計(jì)量都是利用極大似然估計(jì)法計(jì)算的。LR檢驗(yàn)由內(nèi)曼皮爾遜（Neyman-Pearson1928）提出，只適用于對(duì)線性約束的檢驗(yàn)。W檢驗(yàn)和LM檢驗(yàn)既適用于對(duì)線性約束條件的檢驗(yàn)，也適用于對(duì)非線性約束條件的檢驗(yàn)。首先介紹LR檢驗(yàn)。LR檢驗(yàn)的基本思路是如果約束條件成立則相應(yīng)約束模型與非約束模型的極大似然函數(shù)值應(yīng)該是近似相等的。用b,s2)=-Tlog2ps2-tlogL(e222s(5.53)表示非約束模型的極大似然函數(shù)。其中b和s2分別是對(duì)b（參數(shù)集合），s2的極大似然估計(jì)。用logL(b,s2)=-T2log2ps2-et2s2(5.54)表示約束模型的極大似然函數(shù)。其中b和s2分別是對(duì)b和s2的極大似然估計(jì)。定義似然比LR=-2logL(b,s2)-logL(b,s2)(5.55)（LR）統(tǒng)計(jì)量為中括號(hào)內(nèi)是兩個(gè)似然函數(shù)之比（似然比檢驗(yàn)由此而得名）。在零假設(shè)約束條件成立條件下LRc2(m)(5.56)其中m表示約束條件個(gè)數(shù)。用樣本計(jì)算LR統(tǒng)計(jì)量。判別規(guī)則是，7R2=0.89,DW=0.7,T=21,(1980-2000),logL(,)=-156.834b2sLR=-2logL(,)-logL(,)=-2(-156.834+111.1068)=91.4544b2sb2s型，上式必變化為yt=b1x1t+b2(x2t+x3t)+vt，所以對(duì)約束估計(jì)量和來說，必然有-2b3b2b=0。如果約束條件成立，則無約束估計(jì)量-也應(yīng)該近似為零。如果約束條件不成立，bbb若LRc2a(m),則拒絕零假設(shè)，約束條件不成立。再看前面的例子，（5.9）式為無約束模型。（5.11）式為約束模型。yt=a0+a1yt-1+b0xt+b1xt-1+ut,utIID(0,s2),（無約束模型）(5.9)yt=a0+b0xt+ut（約束模型）(5.11)約束條件為a1=b1=0。在零假設(shè)成立條件下，LRc2(2).LR統(tǒng)計(jì)量只適用于對(duì)線性約束條件的檢驗(yàn)。對(duì)非線性約束條件應(yīng)該采用如下兩種檢驗(yàn)方法。例：（file:b1c4）中國國債發(fā)行額模型用1980-2000年數(shù)據(jù)分別得到非約束模型和約束模型的估計(jì)結(jié)果如下；DEBTt=4.38+0.34GDPt+1.00DEFt+0.88REPAYt(5.46)(0.2)(2.1)(26.6)(17.2)R2=0.9986,DW=2.12,T=21,(1980-2000),logL(b,s2)=-111.1068用F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)是否可以對(duì)上式施加約束GDPt和DEFt的系數(shù)b1=0，b2=0。給出約束模型估計(jì)結(jié)果如下，DEBTt=104.85+1.63REPAYt(5.47)(0.8)(12.4)因?yàn)長R=91.4544c20.05(2)=5.99，約束條件不成立，不應(yīng)在模型中刪除變量GDPt和DEFt。3W檢驗(yàn)（見書，EViews中有）W檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)是只需估計(jì)無約束模型。當(dāng)約束模型的估計(jì)很困難時(shí)，此方法尤其適用。W檢驗(yàn)由沃爾德（Wald1943）提出，適用于線性與非線性約束條件的檢驗(yàn)。W檢驗(yàn)的原理是測(cè)量無約束估計(jì)量與約束估計(jì)量之間的距離。先舉一個(gè)簡單例子。比如對(duì)模型yt=b1x1t+b2x2t+b3x3t+vt,(5.46)檢驗(yàn)線性約束條件b2=b3是否成立。W檢驗(yàn)只需對(duì)無約束模型(5.46)進(jìn)行估計(jì)，因?yàn)閷?duì)約束模323則無約束估計(jì)量b2-b3應(yīng)該顯著地不為零。關(guān)鍵是要找到一個(gè)準(zhǔn)則，從而判斷什么是顯著地不為零。首先需要知道（b2-b3）的抽樣分布。依據(jù)經(jīng)典回歸的假定條件，（b2-b3）服從均值為（b2-b3），方差為Var(b2-b3)的正態(tài)分布。通常Var(b2-b3)是未知的，使用的是Var(b2-b3)的樣本估計(jì)量，定義W統(tǒng)計(jì)量為，8W=(b2-b3)Var(b2-b3)N(0,1)（問題Var(b2-b3)怎樣計(jì)算？）其中f(b)表示由約束條件組成的(m1)階的列向量。用b表示施加約束條件后對(duì)參數(shù)集合b1,b2,bk的估計(jì)。若把b代入上式，則上式一定成立。當(dāng)把無約束估計(jì)值b代入上式時(shí)，在約束條件成立條件下，W漸近服從N(0,1)分布。假定若干約束條件是以聯(lián)合檢驗(yàn)的形式（m個(gè)約束條件）給出，f(b)=0,(5.57)通常上式不會(huì)成立。W統(tǒng)計(jì)量定義如下，W=f(b)Var(f(b)-1f(b)(5.58)其中f(b)是用b代替b后的f(b)表達(dá)式，Var(f(b)是f(b)的估計(jì)的方差協(xié)方差矩陣（(mm階）。計(jì)算公式如下：Var(f(b)=(f(b)b)(Var(b)(f(b)b)(5.59)其中f(b)b表示f(b)用無約束估計(jì)量b代替后的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，是mk階的，其中第i行第j列位置上的元素表示第i個(gè)約束條件對(duì)第j個(gè)無約束估計(jì)量的偏導(dǎo)數(shù)值。Var(b)是b的估計(jì)的方差協(xié)方差矩陣（kk階）。Var(f(b)是mm階的。在約束條件成立條件下，W=f(b)Var(f(b)1f(b)漸近服從c2(m)分布。W=f(b)Var(f(b)-1f(b)c2(m)其中m表示被檢驗(yàn)的約束條件的個(gè)數(shù)，判別規(guī)則是，若Wc2a(m)，則拒絕零假設(shè)，約束條件不成立。舉一個(gè)非線性約束的例子如下。假定對(duì)模型yt=b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut（5.46）檢驗(yàn)約束條件b1b2=b3是否成立。用b1,b2和b3分別表示b1，b2和b3的非約束估計(jì)量。b1,b2和b3既可以是極大似然估計(jì)量，也可以是最小二乘估計(jì)量。因?yàn)閷?duì)于本例f(b)只含有一個(gè)約束條件，所以改用f(b)表示，有f(b)=b1b2-b3(5.60)f(b)b=(f(b)b1f(b)b2f(b)b3)=(b2b1-1),(5.61)9Var(b)Cov(b1b2)Var(b)=Cov(b1b2)Var(b2)Cov(b1b3)Cov(b2b3)Cov(b2b3),Var(b3)1Covb1b3)(5.62)和-1)Var(b)b1,-1Var(f(b)=(b2b1b2根據(jù)（5.58）式，W統(tǒng)計(jì)量的具體表達(dá)式是，b)bb1-1W=(b2b1(b1b2-b3)2-1)Var(2.(5.63)在零假設(shè)b1b2=b3成立條件下，W統(tǒng)計(jì)量近似服從c2(1)分布。案例1：（file:nonli12）臺(tái)灣制造業(yè)生產(chǎn)函數(shù)，Lnyt=b1+b2Lnxt1+b3Lnxt2+ut的估計(jì)結(jié)果以及三個(gè)回歸系數(shù)估計(jì)量的方差協(xié)方差矩陣如下，（xt1是勞動(dòng)力，xt2是資本投入）Lnyt=-8.4+0.67Lnxt1+1.18Lnxt2(4.4)(3.9)R2=0.98,F=48.45,DW=1.3用W統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)b2/b3=0.5是否成立（a=0.05）。附錄：EViews操作：在回歸式窗口中點(diǎn)擊View，選CoefficientTests,Wald-CoefficientRestrictions功能。在彈出的對(duì)話框中填入c(2)=0.5*c(3)（即約束條件b2=0.5b3）。點(diǎn)擊OK鍵得概率大于0.05，說明統(tǒng)計(jì)量落在了零假設(shè)的接收域。結(jié)論是接受原假設(shè)（約束條件成立）。4LM乘數(shù)檢驗(yàn)（見書，EViews中有）（LR、W、LM統(tǒng)計(jì)量的比較）。與W檢驗(yàn)不同的是拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)（LM）檢驗(yàn)只需估計(jì)約束模型。所以當(dāng)施加約束條件后模型形式變得簡單時(shí)，更適用于這種檢驗(yàn)。LM檢驗(yàn)是由艾奇遜西爾維（Aitchison-Silvey1960）提出的。LM檢驗(yàn)另一種表達(dá)式是由拉奧（Rao1948）提出的，稱為得分檢驗(yàn)（scoretest）。首先給出非約束模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)10logL(b,s2)(5.64)對(duì)于非約束極大似然估計(jì)量bj必然有l(wèi)ogLbj=0,j(5.65)若約束條件成立，則施加約束條件下bj的極大似然估計(jì)量bj應(yīng)與不施加約束條件下bj的極大似然估計(jì)量bj非常接近。也就是說logL/b應(yīng)近似為零。LM檢驗(yàn)的原理是如果logL/bjj顯著地不為零，則約束條件不成立。LM統(tǒng)計(jì)量定義為)(I(b)-1logLlogLLM=(bb()(5.66)是以（logL/bj）為元素組成的列向量，同時(shí)用bj替換了bj。I(b)稱為信息矩陣，其中l(wèi)ogLb其逆矩陣是bj的方差協(xié)方差矩陣。在約束條件成立條件下，LM近似服從c2(m)分布。LMc2(m),其中m表示約束條件個(gè)數(shù)。假定有兩個(gè)約束條件f1(b)=0和f2(b)=0。為求這兩個(gè)約束條件下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)（5.64）的極大似然估計(jì)量，應(yīng)按拉格朗日乘數(shù)法則建立如下函數(shù)，logL*=logL+l1f1(b)+l2f2(b),(5.67)其中l(wèi)1，l2為拉格朗日乘數(shù)，求解約束極值問題應(yīng)對(duì)所有的j都滿足logL*/bj=0,即logL*bj=logLbj+l1f1(b)bj+l2f2(b)bj=0,j(5.68)由上式得logLbj=-l1f1(b)bj-l2f2(b)bj,j(5.69)當(dāng)上式中的bj用bj代替后，如果顯著地不為零，則約束條件不成立。根據(jù)上式，只有當(dāng)l1,l2束條件。因?yàn)椋?.69）式是logL/bj的函數(shù)，所以稱其為拉格朗日乘數(shù)統(tǒng)計(jì)量。不為零時(shí)，logL/bj才顯著地不為零。所以判別規(guī)則是如果l1，l2顯著地不為零，則拒絕約對(duì)于線性回歸模型，通常并不是按（5.66）式，而是通過一個(gè)輔助回歸式計(jì)算LM統(tǒng)計(jì)量的值。LM統(tǒng)計(jì)量與輔助回歸式的可決系數(shù)R2有直接聯(lián)系，而輔助回歸式的形式直接與被檢驗(yàn)的約束條件有關(guān)。LM檢驗(yàn)的實(shí)際步驟如下：(1)利用約束模型確定LM輔助回歸式的因變量ut。用OLS法估計(jì)約束模型，計(jì)算殘差序列ut，并把ut作為LM輔助回歸式的因變量。(2)利用非約束模型確定LM輔助回歸式的解釋變量。例如非約束模型如下式,yt=b0+b1x1t+b2x2t+bkxkt+ut.(5.70)11把上式改寫成如下形式ut=yt-b0-b1x1t-b2x2t-bkxkt.(5.71)則LM輔助回歸式中的解釋變量按如下形式確定。-utbj,j=0,1,k.對(duì)于非約束模型（5.70），LM輔助回歸式中的解釋變量是1,x1t,x2t,xkt。第一個(gè)解釋變量1表明常數(shù)項(xiàng)應(yīng)包括在LM輔助回歸式中。(3)建立LM輔助回歸式如下ut=a0+a1x1t+a2x2t+akxkt+vt,(5.72)其中ut由第一步得到。(4)用OLS法估計(jì)上式并計(jì)算可決系數(shù)R2。(5)用第四步得到的R2計(jì)算LM統(tǒng)計(jì)量的值。LM=TR2其中T表示樣本容量。由于上式計(jì)算的LM的值與（5.66）定義的LM的值相等（證明略）。在零假設(shè)成立前提下，TR2服從m個(gè)自由度的c2(m)分布，LM=TR2c2(m)其中m表示約束條件個(gè)數(shù)。判別規(guī)則是，若LMc2a(m),則拒絕零假設(shè)，約束條件不成立。以模型（5.46）為例介紹用LM輔助回歸方法檢驗(yàn)約束條件b2+b3=1。yt=b1x1t+b2x2t+b3x3t+vt,(5.46)檢驗(yàn)約束b2+b3=1是否成立。當(dāng)施加約束b2+b3=1時(shí)，上式變?yōu)?，yt=b1x1t+b2x2t+(1-b2)x3t+vt,(5.47)上式相對(duì)于（5.46）式為約束模型。若對(duì)（5.46）和（5.47）進(jìn)行OLS估計(jì)，則會(huì)發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果相同。yt=b1x1t+b2x2t+b3x3t(5.48)于是遇到參數(shù)不可識(shí)別問題。除非b2和b3存在準(zhǔn)確的關(guān)系b2+b3=1，否則無法知道b3是對(duì)b3的估計(jì)還是對(duì)（1-b2）的估計(jì)。即便b2+b3=1真的成立，實(shí)際中也很難有b2+b3=1成立。為避免參數(shù)的不可識(shí)別性，可利用約束最小二乘法（RLS）進(jìn)行估計(jì)。從（5.47）式兩側(cè)減去x3t得，yt-x3t=b1x1t+b2x2t-b2x3t+vt(5.49)令yt*=yt-x3t，x2t*=x2t-x3t，上式變?yōu)椋瑈t*=b1x1t+b2x2t*+vt,(5.50)第一步，用OLS法估計(jì)（5.50）式，并把得到的殘差序列vt作為LM輔助回歸的因變量。12變換（5.46）式得vt=yt-b1x1t-b2x2t-b3x3t.根據(jù)第二步，LM輔助回歸解釋變量是x1t,x2t和x3t。根據(jù)第三步，LM輔助回歸式是vt=a1x1t+a2x2t+a3x3t（原式中沒有b0，所以上式中沒有常數(shù)項(xiàng)。）計(jì)算可決系數(shù)R2。則LM=TR2c2(1).例：（file:nonli12）對(duì)臺(tái)灣制造業(yè)生產(chǎn)函數(shù)Lnyt=-8.4+0.67Lnxt1+1.18Lnxt2(4.4)(3.9)R2=0.89,F=48.45,DW=1.3,T=15用LM統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)b3=0是否成立。(1)用OLS法估計(jì)約束模型，計(jì)算殘差序列ut，Lnyt=2.16+1.24Lnxt1+ut(4.9)(17.6)R2=0.96,F=312并把ut作為LM輔助回歸式的因變量。(2)確定LM輔助回歸式的解釋變量。例如非約束模型如下式,Lnyt=b1+b2Lnx1t+b3Lnx2t+ut(29)把上式改寫成如下形式ut=Lnyt-b1-b2Lnx1t-b3Lnx2t(30)則LM輔助回歸式中的解釋變量按如下形式確定。-utbj,j=1,2,3對(duì)于非約束模型（30），LM輔助回歸式中的解釋變量是1,Lnx1