估計水塔水流量

估計水塔的水流量 一 問題美國某州的各用水管理機構(gòu)要求各社區(qū)提供以每小時多少加侖計的用水率以及每天所用的總水量 但許多社區(qū)并沒有測量流入或流出當?shù)厮乃康脑O(shè)備 他們只能代之以每小時測量水塔中的水位 其精度在0 5 以內(nèi) 更為重要的是 無論什么時候 只要水塔中的水位下降到某一最底水位L時 水泵就啟動向水塔重新充水直至到某一最高水位H 但也無法得到水泵的供水量的測量數(shù)據(jù) 因此 在水泵正在工作時 人們不容易建立水塔中的水位與水泵工作時的用水量之間的關(guān)系 水泵每天向水塔充水一次或兩次 每次約兩小時 試估計在任何時刻 甚至包括水泵正在工作的時間內(nèi) 水從水塔流出的流量f t 并估計一天的總用水量 實例 AMCM 91A題 估計水塔的水流量 時間水位時間水位時間水位 秒 0 01英尺 秒 0 01英尺 秒 0 01英尺 0313735932水泵工作6853528423316311039332水泵工作7185427676635305439435355075021269710619299443318344579154水泵工作13937294746636335082649水泵工作179212892499533260859683475212402850539363167899533397252232797572543087932703340285432752605743012322842697645542927 表1 某小鎮(zhèn)某天的水塔水位 表1給出了某個真實小鎮(zhèn)的真實數(shù)據(jù) 水塔是一個圓形柱體 高40英尺 直徑57英尺 通常水塔的水位降至約27英尺時水泵開始向水塔充水 而當通常水塔的水位升至約35 5英尺時水泵停止向水塔充水 二 基本假設(shè) 1 影響水從水塔流出的流率的唯一因素是公眾對水的傳統(tǒng)要求 2 水塔中水的水位不影響水流量的大小 因為物理學(xué)的定律指出 水塔的最大水流量與水位高度的平方根成正比 由表中數(shù)據(jù)有說明最高水位和最底水位的兩個流量幾乎相等 3 水泵工作的起止時間由水塔的水位決定 水泵工作性能效率總是一定的 沒有工作時需維修 使用次數(shù)多影響使用效率問題 水泵充水量遠大于水塔水流量 一 問題的重述 略 對離散數(shù)據(jù)的處理 可以用數(shù)據(jù)逼近的方法來解決 本問題要想到用數(shù)值逼近來建模 數(shù)值逼近的方法有很多 如Lagrange插值 分段插值 樣條插值 曲線擬合等 本問題分三步 1 先決定所給數(shù)據(jù)點處的水流量 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換即可 2 找一個水從水塔流出的水流量光滑逼近函數(shù)3 處理水泵工作時的充水水流量及一天該鎮(zhèn)的總用水量下面介紹樣條插值理論 4 表中的時間數(shù)據(jù)準確在一秒以內(nèi) 5 水塔水流量與水泵狀態(tài)獨立 不因水泵工作而增加或減少水流量的大小 6 水塔水流量曲線可以用一條光滑的曲線來逼近 樣條插值 分段插值存在著一個缺點 就是會導(dǎo)致插值函數(shù)在子區(qū)間的端點 銜接處 不光滑 即導(dǎo)數(shù)不連續(xù) 對于一些實際問題 不但要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 而且要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 為了滿足這些要求 人們引入了樣條插值的概念 所謂 樣條 SPLINE 是工程繪圖中的一種工具 它是有彈性的細長木條 繪圖時 用細木條連接相近的幾個結(jié)點 然后再進行拼接 連接全部結(jié)點 使之成為一條光滑曲線 且在結(jié)點處具有連續(xù)的曲率 樣條函數(shù)就是對這樣的曲線進行數(shù)學(xué)模擬得到的 它除了要求給出各個結(jié)點處的函數(shù)值外 只需提供兩個邊界點處導(dǎo)數(shù)信息 便可滿足對光滑性的不同要求 1 樣條函數(shù)的定義設(shè)f x 是區(qū)間 a b 上的一個連續(xù)可微函數(shù) 在區(qū)間 a b 上給定一組基點 a x0 x1 x2 xn b設(shè)函數(shù)s x 滿足條件 1 s x 在每個子區(qū)間 xi xi 1 i 0 1 2 n 1 上是次數(shù)不超過m的多項式 2 s x 在區(qū)間 a b 上有m 1階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 則稱s x 是定義在 a b 上的m次樣條函數(shù) x0 x1 x2 稱為樣條結(jié)點 其中x1 xn 1稱為內(nèi)結(jié)點 x0 xn稱為邊界結(jié)點 當m 3時 便成為最常用的三次樣條函數(shù) 設(shè)y f x 在點x0 x1 x2 xn的值為y0 y1 y2 yn 若函數(shù)S x 滿足下列條件S xi f xi yi i 0 1 2 n 1 1 則稱S x 為函數(shù)f x 的三次樣條插值函數(shù) 簡稱三次樣條 2 三次樣條插值函數(shù) 構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的方法有很多 這里介紹一個常用的方法 三彎矩插值法記Mi S xi f xi fi yi 考慮它在任一區(qū)間 xi xi 1 上的形式 根據(jù)三次樣條的定義可知 S x 的二階導(dǎo)數(shù)S x 在每一個子區(qū)間 xi xi 1 i 0 1 2 n 1 上都是線性函數(shù) 于是在 xi xi 1 上S x Si x 的二階導(dǎo)數(shù)表示成 1 2 其中hi xi 1 xi 對S x 連續(xù)積分兩次 并利用插值條件S xi yi 得到 三次樣條函數(shù)的構(gòu)造 xxi xi 1S x Mi Mi 1 因此 只要能求出所有的 Mi 就能求出樣條插值函數(shù)S x 下面考慮Mi的求法 則由連續(xù)性S xi S xi i 1 2 n 1 得 iMi 1 2Mi iMi 1 di其中 上面的方程組有n 1個方程 但有n 1個變量Mi 故需兩個方程才能求唯一解 為此引入下列邊界條件 下面介紹幾種常用的邊界條件第一型邊界條件 可以用數(shù)值微分獲得端點導(dǎo)數(shù)值 已知f x 在兩端點的導(dǎo)數(shù)f a 和f b 要求S a f a S b f b 第二型邊界條件 已知f x 在兩端點的二階導(dǎo)數(shù)f a 和f b 要求S a M0 f a S b Mn f b 特別當S a S b 0時 S x 稱為自然三次樣條第三型邊界條件 已知f x 是以b a為周期的周期函數(shù) 要求S x 滿足周期條件S a S b S a S b S a S b 三次樣條插值問題加上第i型邊界條件稱為第i型插值問題 i 可以證明第i型插值問題的解是存在且唯一的 他們對應(yīng)如下的三對角方程組 2 0M0d0 12 1M1d1 n 12 n 1Mn 1dn 1 n2Mndn 對于第一型插值問題 取 0 1 n 1 對于第二型插值問題 取 0 0 n 0對于第三型插值問題 利用周期性 可導(dǎo)出其中 以上各組條件與方程組 聯(lián)立 可以解出未知參數(shù)M0 M1 Mn 然后代入S x 表達式 即可求得樣條函數(shù) 上面構(gòu)造方法中Mi相應(yīng)于力學(xué)中細梁在xi處截面的彎矩 每一個方程中又至多出現(xiàn)相鄰的三個Mi 通常稱為三彎矩法 總結(jié)以上論述 可得求三次樣條的步驟為 1 確定邊界條件 判定是第幾型插值問題 2 根據(jù)所確定的條件計算各值 形成方程組 3 解三對角方程組 求得M0 M1 M2 Mn 4 將求得的Mi值代回S x 的表達式中 從而可求得函數(shù)y f x 在任一點的近似值S x 估計水塔的水流量 三 符號約定及說明h 水塔中水位的高度 是時間的函數(shù) 單位為英尺V 水塔中水的體積 是時間的函數(shù) 單位為加侖t 時間 單位為小時f 水塔水流量 是時間的函數(shù) 單位為加侖 小時p 水泵工作時充水的水流量 是時間的函數(shù) 單位為加侖 小時 四 問題分析與建模 采用三次樣條插值來做曲線逼近 為形象化 將表中數(shù)據(jù)描點畫圖 時間 水位 1 補充充水的開始和截止數(shù)據(jù) 由假設(shè)知水塔的水位降至約27英尺時水泵開始向水塔充水 水塔的水位升至約35 5英尺時水泵停止向水塔充水 水泵每天向水塔充水一次或兩次 每次約兩小時 由表1 有第一次充水期的一些數(shù)據(jù)為32284 秒 26 97 27 英尺 35932水泵工作39332水泵工作39435 秒 35 5 英尺 由39435 32284 7048 1 958 小時 滿足每次約兩小時的條件可推斷在32284 秒 為充水的開始時間 在39435 秒 為充水的截止時間 75021 秒 26 97 27 英尺 推斷在75021 秒 為充水的開始時間79154水泵工作82649水泵工作 補充數(shù)據(jù)35 5英尺 85968 秒 34 75 英尺 與35 5英尺相差太多 但85968 75021 3 041 小時 而82649 75021 7628 2 11889 小時 滿足每次約兩小時的條件推斷在82649 秒 為充水的截止時間 獲得一個額外數(shù)據(jù) 第二次充水期的一些數(shù)據(jù)為 時間水體積時間水體積時間水體積 小時 加侖 小時 加侖 小時 加侖 06061259 9811水泵工作19 03755425540 921159371610 9256水泵工作19 95945282361 843158302610 954267771520 83925148722 949757157112 032865767022 0150水泵工作3 871456259912 954463953422 95816777154 978155209913 875862235223 88006633975 900054408114 982260459824 98696485067 006453396315 903958932525 90836376257 928652537216 82615750088 967851487217 9317558781 2 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 表2 V r2h 用數(shù)學(xué)軟件繪圖如下 3 由數(shù)據(jù) ti Vi 產(chǎn)生水流量f t 的方法有 1 由對水體積的微商數(shù)據(jù)點直接獲得水流量f t 的近似函數(shù)值2 先獲得水體積V t 的近似函數(shù) 再對其求導(dǎo)我們利用第一種方法 為獲得水體積的微商數(shù)據(jù)點 選用數(shù)值微分公式 用程序計算出流量函數(shù)點集 f tk 給出計算的數(shù)據(jù)表和散點圖 略 用樣條插值或數(shù)據(jù)擬合的數(shù)學(xué)軟件 可以得到水流量f t 的近似函數(shù) 這里也記為f t 這里 樣條函數(shù)所需的邊界條件可以由數(shù)值微分公式得出 于是我們得到了水流量的估計函數(shù)模型 注 使用樣條插值時 得出的水流量f t 不必給出具體的函數(shù)關(guān)系式 畫出它的圖形即可 使用擬合時 得出的水流量f t 有具體的函數(shù)關(guān)系式 此時要選好擬合函數(shù)類本題可選為8次多項式 4 水泵充水期間的水流量處理 水泵充水期間的水流量用平均水流量代替 第一次充水期間充滿水的水量 同理可以得出第二次充水期間的平均水流量p2 91910加侖 小時于是有充水期間的平均水流量 p p1 p2 2 94743加侖 小時 五 一天的總用水量 為確定模型的準確性 做如下檢驗 檢驗2 利用給定的數(shù)據(jù)檢驗 對非充水期間的用水量用已知數(shù)據(jù)盡量算出 其余部分用數(shù)值積分計算 取 0 24 區(qū)間 有 第一次充水前用水量為 v1 606125 514872 91253 加侖 第一次充水后 第二次充水前用水量為 v2 677715 514872 162843 加侖 得一天總用水量為 v1 v2 v3 30981 31905 1829 333129 加侖 與 相比 只相差0 02 檢驗說明擬合函數(shù)f t 相當精確 六 誤差分析 估計所得模型算出一天總用水量的誤差 水位觀測值的誤差在0 5 以內(nèi) 由圓柱體積公式可以知道 對應(yīng)水體積的誤差也在0 5 以內(nèi) 由轉(zhuǎn)換水體積的數(shù)值 有水體積誤差約在2574 3389加侖之間 這與一天的用水量相比是微不足道的 為分析一天總用水量的誤差 由于直接從構(gòu)造公式中計算誤差不方便 下面采用直接由所得水體積數(shù)表來分析誤差 記Vp1 Vp2為兩次充水期間的用水量 Vt表示t時刻的水體積 則一天用水總量可以如下計算 V V0 V8 9678 Vp1 V10 9542 V20 8392 Vp2 V22 9581 V23 88 V 23 88 24 式中V0 V8 9678 V10 9542 V20 8392 V22 9581 V23 88的誤差為0 5 我們只需估計Vp1 Vp2 V 23 88 24 的誤差 由于直接用樣條函數(shù)來估計Vp1 Vp2 V 23 88 24 的誤差不方便 我們利用樣條函數(shù)的誤差總是相近的特點 采用從實際中分析誤差的界限 做法為 隨機取出測量水位的時間區(qū)間用水量的誤差 以其平均值作為Vp1 Vp2 V 23 88 24 的誤差 V 23 88 24 是時間區(qū)間 23 88 24 的用水量 這里取 0 9211 1 8431 3 8714 4 9781 7 9286 8 9678 10 9542 12 0328 15 9039 16 8261 19 0375 19 9594 由表2 分別得用水量為10690 10500 10500 20045 14317 14318加侖 而用樣條模型算出的用水量分別為9574 10391 9663 21622 14470 14397加侖對應(yīng)誤差分別約為11 7 1 0 8 7 7 3 1 1 0 5 其平均值約為5