4.3_泰勒級(jí)數(shù)

4 3泰勒級(jí)數(shù) 一 泰勒 Taylor 定理 則當(dāng)時(shí) 有 其中 證明 略 一 泰勒 Taylor 定理 而不是在整個(gè)解析區(qū)域D上展開 的收斂性質(zhì)的限制 冪級(jí)數(shù)的收斂域必須 是圓域 冪級(jí)數(shù)一旦收斂 其和函數(shù)一定解析 一 泰勒 Taylor 定理 注 2 展開式中的系數(shù)還可以用下列方法直接給出 方法一 一 泰勒 Taylor 定理 注 2 展開式中的系數(shù)還可以用下列方法直接給出 方法二 一 泰勒 Taylor 定理 注 3 對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù) 用任何方法展開為冪級(jí)數(shù) 其結(jié)果都是一樣的 即具有唯一性 方法一利用已知的結(jié)果 4 2 方法二利用泰勒定理 方法三利用長除法 一 泰勒 Taylor 定理 注 4 對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù) 能不能在不具體展開為冪級(jí)數(shù) 的情況下 就知道其收斂域 可以知道 等于從點(diǎn)到的最近一個(gè)奇點(diǎn)的距離 在收斂圓內(nèi) 2 奇點(diǎn)也不可能在收斂圓外 不然收斂半徑 還可以擴(kuò)大 故奇點(diǎn)只能在收斂圓周上 二 將函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的方法 1 直接展開法 利用泰勒定理 直接計(jì)算展開系數(shù) 解 二 將函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的方法 1 直接展開法 利用泰勒定理 直接計(jì)算展開系數(shù) 同理可得 二 將函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的方法 2 間接展開法 根據(jù)唯一性 利用一些已知的展開式 通過有理運(yùn)算 代換運(yùn)算 逐項(xiàng)求導(dǎo) 逐項(xiàng)求積等方法展開 兩個(gè)重要的已知展開式 故收斂半徑 1 2 2 解 1 解 2 解 解 解 解 泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例 計(jì)算斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng) 1 斐波拉契 3 斐波拉契數(shù)列 2 兔子問題 一對(duì) 超級(jí) 小兔 在它們出生的第三個(gè)月開始 每月又 可生一對(duì) 超級(jí) 小兔 問n個(gè)月后 共可得到多少對(duì)兔子 4 計(jì)算斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng) 令 由 有 將代入上式并求解得 泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例 計(jì)算斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng) 4 計(jì)算斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng) 2 泰勒級(jí)數(shù)展開 其中 泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例 計(jì)算斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng) 輕松一下 作圓G 附 泰勒定理的證明 由柯西積分公式有 由有 設(shè)z為G內(nèi)任意一點(diǎn) 附 泰勒定理的證明 證明 其中 下面需證明 交換次序 附 泰勒定理的證明 證明 由在