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4 3泰勒級數(shù) 一 泰勒 Taylor 定理 則當時 有 其中 證明 略 一 泰勒 Taylor 定理 而不是在整個解析區(qū)域D上展開 的收斂性質的限制 冪級數(shù)的收斂域必須 是圓域 冪級數(shù)一旦收斂 其和函數(shù)一定解析 一 泰勒 Taylor 定理 注 2 展開式中的系數(shù)還可以用下列方法直接給出 方法一 一 泰勒 Taylor 定理 注 2 展開式中的系數(shù)還可以用下列方法直接給出 方法二 一 泰勒 Taylor 定理 注 3 對于一個給定的函數(shù) 用任何方法展開為冪級數(shù) 其結果都是一樣的 即具有唯一性 方法一利用已知的結果 4 2 方法二利用泰勒定理 方法三利用長除法 一 泰勒 Taylor 定理 注 4 對于一個給定的函數(shù) 能不能在不具體展開為冪級數(shù) 的情況下 就知道其收斂域 可以知道 等于從點到的最近一個奇點的距離 在收斂圓內(nèi) 2 奇點也不可能在收斂圓外 不然收斂半徑 還可以擴大 故奇點只能在收斂圓周上 二 將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法 1 直接展開法 利用泰勒定理 直接計算展開系數(shù) 解 二 將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法 1 直接展開法 利用泰勒定理 直接計算展開系數(shù) 同理可得 二 將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法 2 間接展開法 根據(jù)唯一性 利用一些已知的展開式 通過有理運算 代換運算 逐項求導 逐項求積等方法展開 兩個重要的已知展開式 故收斂半徑 1 2 2 解 1 解 2 解 解 解 解 泰勒級數(shù)的應用舉例 計算斐波拉契數(shù)列的通項 1 斐波拉契 3 斐波拉契數(shù)列 2 兔子問題 一對 超級 小兔 在它們出生的第三個月開始 每月又 可生一對 超級 小兔 問n個月后 共可得到多少對兔子 4 計算斐波拉契數(shù)列的通項 令 由 有 將代入上式并求解得 泰勒級數(shù)的應用舉例 計算斐波拉契數(shù)列的通項 4 計算斐波拉契數(shù)列的通項 2 泰勒級數(shù)展開 其中 泰勒級數(shù)的應用舉例 計算斐波拉契數(shù)列的通項 輕松一下 作圓G 附 泰勒定理的證明 由柯西積分公式有 由有 設z為G內(nèi)任意一點 附 泰勒定理的證明 證明 其中 下面需證明 交換次序 附 泰勒定理的證明 證明 由在

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