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第二節(jié)兩條直線的位置關系考綱傳真1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩平行直線間的距離1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1l2k1k2.當直線l1,l2不重合且斜率都不存在時,l1l2.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1,l2的斜率存在,設為k1,k2,則有l(wèi)1l2k1k21.當其中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,l1l2.2兩條直線的交點的求法直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(A1,B1,C1,A2,B2,C2為常數(shù)),則l1與l2的交點坐標就是方程組的解3距離P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點之間的距離|P1P2|d點P0(x0,y0)到直線l:AxByC0的距離d平行線AxByC10與AxByC20間的距離d1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)當直線l1和l2斜率都存在時,一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于1.()(3)點P(x0,y0)到直線ykxb的距離為.()(4)已知直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(A1,B1,C1,A2,B2,C2為常數(shù)),若直線l1l2,則A1A2B1B20.()(5)若點P,Q分別是兩條平行線l1,l2上的任意一點,則P,Q兩點的最小距離就是兩條平行線的距離()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(教材改編)已知點(a,2)(a0)到直線l:xy30的距離為1,則a等于()A.B2C.1D.1C由題意得1,即|a1|,又a0,a1.3直線l:(a2)x(a1)y60,則直線l恒過定點_(2,2)直線l的方程變形為a(xy)2xy60,由解得x2,y2,所以直線l恒過定點(2,2)4已知直線l1:ax(3a)y10,l2:x2y0.若l1l2,則實數(shù)a的值為_2由2,得a2.5已知直線3x4y30與直線6xmy140平行,則它們之間的距離是_2,m8,直線6xmy140可化為3x4y70,兩平行線之間的距離d2.兩條直線的平行與垂直(1)設aR,則“a1”是“直線l1:ax2y10與直線l2:x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件(2)(2017青島模擬)過點(1,3)且垂直于直線x2y30的直線方程為()A2xy10B2xy50Cx2y50Dx2y70(1)A(2)A(1)當a1時,顯然l1l2,若l1l2,則a(a1)210,所以a1或a2.所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件(2)直線x2y30的斜率為,從而所求直線的斜率為2.又直線過點(1,3),所以所求直線的方程為y32(x1),即2xy10.規(guī)律方法1.判定直線間的位置關系,要注意直線方程中字母參數(shù)取值的影響,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,還要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件2在判斷兩直線平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關系得出結論,可避免討論另外當A2B2C20時,比例式與,的關系容易記住,在解答選擇、填空題時,有時比較方便變式訓練1已知過點A(2,m)和點B(m,4)的直線為l1,直線2xy10為l2,直線xny10為l3.若l1l2,l2l3,則實數(shù)mn的值為()A10B2 C0D8Al1l2,kAB2,解得m8.又l2l3,(2)1,解得n2,mn10.兩直線的交點與距離問題(1)直線l過點P(1,2)且到點A(2,3)和點B(4,5)的距離相等,則直線l的方程為_(2)過點P(3,0)作一直線l,使它被兩直線l1:2xy20和l2:xy30所截的線段AB以P為中點,求此直線l的方程. 【導學號:31222289】(1)x3y50或x1法一:當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y2k(x1),即kxyk20.由題意知,即|3k1|3k3|,k,直線l的方程為y2(x1),即x3y50.當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x1,也符合題意法二:當ABl時,有kkAB,直線l的方程為y2(x1),即x3y50.當l過AB中點時,AB的中點為(1,4),直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.(2)設直線l與l1的交點為A(x0,y0),則直線l與l2的交點B(6x0,y0),2分由題意知解得6分即A,從而直線l的斜率k8,10分直線l的方程為y8(x3),即8xy240.12分規(guī)律方法1.求過兩直線交點的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點坐標,再結合其他條件寫出直線方程;也可利用過交點的直線系方程,再求參數(shù)2利用距離公式應注意:點P(x0,y0)到直線xa的距離d|x0a|,到直線yb的距離d|y0b|;兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)化為相等變式訓練2若直線l過點A(1,1)與已知直線l1:2xy60相交于B點,且|AB|5,求直線l的方程解過點A(1,1)與y軸平行的直線為x1.解方程組求得B點坐標為(1,4),此時|AB|5,即直線l的方程為x1.4分設過點A(1,1)且與y軸不平行的直線為y1k(x1),解方程組得x且y(k2,否則l與l1平行)則B點坐標為.8分又A(1,1),且|AB|5,所以2252,解得k.10分因此y1(x1),即3x4y10.綜上可知,所求直線的方程為x1或3x4y10.12分對稱問題(1)平面直角坐標系中直線y2x1關于點(1,1)對稱的直線方程是_(2)光線從A(4,2)點射出,到直線yx上的B點后被直線yx反射到y(tǒng)軸上的C點,又被y軸反射,這時反射光線恰好過點D(1,6),則BC所在的直線方程是_(1)y2x3(2)10x3y80(1)法一:在直線l上任取一點P(x,y),其關于點(1,1)的對稱點P(2x,2y)必在直線y2x1上,2y2(2x)1,即2xy30.因此,直線l的方程為y2x3.法二:由題意,l與直線y2x1平行,設l的方程為2xyc0(c1),則點(1,1)到兩平行線的距離相等,解得c3.因此所求直線l的方程為y2x3.法三:在直線y2x1上任取兩個點A(0,1),B(1,3),則點A關于點(1,1)對稱的點M(2,1),B關于點(1,1)對稱的點N(1,1)由兩點式求出對稱直線MN的方程為,即y2x3.(2)作出草圖,如圖所示,設A關于直線yx的對稱點為A,D關于y軸的對稱點為D,則易得A(2,4),D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直線經(jīng)過點B與C.故BC所在的直線方程為,即10x3y80.遷移探究1在題(1)中“將結論”改為“求點A(1,1)關于直線y2x1的對稱點”,則結果如何?解設點A(1,1)關于直線y2x1的對稱點為A(a,b),2分則AA的中點為,4分所以解得10分故點A(1,1)關于直線y2x1的對稱點為.12分遷移探究2在題(1)中“關于點(1,1)對稱”改為“關于直線xy0對稱”,則結果如何?解在直線y2x1上任取兩個點A(0,1),B(1,3),則點A關于直線xy0的對稱點為M(1,0),點B關于直線xy0的對稱點為N(3,1),6分根據(jù)兩點式,得所求直線的方程為,即x2y10.12分規(guī)律方法1.第(1)題求解的關鍵是利用中點坐標公式,將直線關于點的中心對稱轉化為點關于點的對稱2解決軸對稱問題,一般是轉化為求對稱點問題,關鍵是要抓住兩點,一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直;二是已知點與對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上變式訓練3(2017廣州模擬)直線x2y10關于直線xy20對稱的直線方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30B由題意得直線x2y10與直線xy20的交點坐標為(1,1)在直線x2y10上取點A(1,0),設A點關于直線xy20的對稱點為B(m,n),則解得故所求直線的方程為,即2xy10.思想與方法1兩直線的位置關系要考慮平行、垂直和重合對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1,l2,l1l2k1k2;l1l2k1k21.若有一條直線的斜率不存在,那么另一條直線的斜率一定要特別注意2對稱問題一般是將線與線的對稱轉化為點與點的對稱,點與線的對稱,利用坐標轉移法易錯與防范1判斷兩條直線的位置關系時,首先應分析直線的斜率是否存在兩條直線都有斜率,可根據(jù)判定定理判斷,若直線無斜率時,要單獨考慮2(1)求點到直線的距離時,應先化直線方程為一般式;(2)求兩平行線之間的距離時,應先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對應相等課時分層訓練(四十六)兩條直線的位置關系A組基礎達標(建議用時:30分鐘)一、選擇題1已知點A(1,2),B(m,2)且線段AB的垂直平分線的方程是x2y20,則實數(shù)m的值是()A2B7C3D1C因為線段AB的中點在直線x2y20上,代入解得m3.2(2016北京高考)圓(x1)2y22的圓心到直線yx3的距離為()A1B2 C.D2C圓心坐標為(1,0),所以圓心到直線yx3即xy30的距離為.3若直線(a1)x2y0與直線xay1互相垂直,則實數(shù)a的值等于()A1B0 C1D2C由1,得a12a,故a1.4直線mxy2m10經(jīng)過一定點,則該定點的坐標是()A(2,1)B(2,1)C(1,2)D(1,2)Amxy2m10,即m(x2)y10.令得故定點坐標為(2,1)5若直線l1:yk(x4)與直線l2關于點(2,1)對稱,則直線l2經(jīng)過定點() 【導學號:31222290】A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4,2)B直線l1:yk(x4)經(jīng)過定點(4,0),其關于點(2,1)對稱的點為(0,2),又直線l1:yk(x4)與直線l2關于點(2,1)對稱,故直線l2經(jīng)過定點(0,2)二、填空題6(2017深圳模擬)直線l1的斜率為2,l1l2,直線l2過點(1,1)且與y軸交于點P,則P點坐標為_ 【導學號:31222291】(0,3)因為l1l2,且l1的斜率為2,則直線l2的斜率k2.又直線l2過點(1,1),所以l2的方程為y12(x1),整理得y2x3.令x0,得y3,所以P點坐標為(0,3)7已知直線l1與l2:xy10平行,且l1與l2的距離是,則直線l1的方程為_xy10或xy30設直線l1的方程為xyC0(C1),由題意知,即|C1|2,解得C1或C3,因此直線l1的方程為xy10或xy30.三、解答題9求經(jīng)過直線l1:3x2y10和l2:5x2y10的交點,且垂直于直線l3:3x5y60的直線l的方程 【導學號:31222292】解由方程組得l1,l2的交點坐標為(1,2).5分l3的斜率為,l的斜率為,8分則直線l的方程為y2(x1),即5x3y10.12分10已知直線l:(2ab)x(ab)yab0及點P(3,4)(1)證明直線l過某定點,并求該定點的坐標;(2)當點P到直線l的距離最大時,求直線l的方程解(1)證明:直線l的方程可化為a(2xy1)b(xy1)0,由得2分直線l恒過定點(2,3).5分(2)設直線l恒過定點A(2,3),當直線l垂直于直線PA時,點P到直線l的距離最大.7分又直線PA的斜率kPA,直線l的斜率kl5.10分故直線l的方程為y35(x2),即5xy70.12分B組能力提升(建議用時:15分鐘)1(2015廣東高考)平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xy0或2xy0B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy50或2xy50D切線平行于直線2xy10.設切線方程為2xyc0.依題意,得,則c5.2(2017洛陽模擬)在直角坐標平面內,過定點P的直線l:axy10與過定點Q的直線m

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