洛比達(dá)法則.doc

洛必達(dá)法則教學(xué)目的：使學(xué)生能夠用洛必達(dá)法則求不定式極限。教學(xué)重點(diǎn)：用洛必達(dá)法則求不定式極限。教學(xué)過(guò)程未定形：如下的函數(shù)極限都是未定形。 1、型： 如：型：2、型： 如：3、型： 如：4、型： 如：5、 型： 如：6、 型： 如：7、 型： 如：它們的計(jì)算不能用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，且它們只表示類型，沒(méi)有具體意義。 1“”型不定式定理 （洛必達(dá)法則）設(shè)函數(shù)、滿足：（1）；（2）在內(nèi)，都存在，且；（3）（）。則 。 證明: 因?yàn)闃O限與f(a) 及g(a) 無(wú)關(guān), 所以可以假定f(a) = g(a) = 0, 于是由條件(1)、(2)知, f(x) 及g(x) 在點(diǎn) a 的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的。設(shè)x是這鄰域內(nèi)的一點(diǎn), 那么在以x 及a為端點(diǎn)的區(qū)間上, 柯西中值定理的條件均滿足, 因此有(在x與a之間). 令xa, 并對(duì)上式兩端求極限, 注意到xa 時(shí)a, 再根據(jù)條件(3)便得要證明的結(jié)論。說(shuō)明 此定理中的換成其它六種趨向過(guò)程仍成立。此定理的證明，利用到上節(jié)我們學(xué)習(xí)的柯西中值定理，有興趣讀者可以試一下，在此略去。下面通過(guò)幾個(gè)例子熟悉洛必達(dá)法則的應(yīng)用。 例， (b 0). 例，. 例， . 例，. 2、求“ ”型未定式的極限. 定理（洛必達(dá)法則）設(shè)函數(shù)、滿足：（1）；（2）在內(nèi)，都存在，且； （3）（）。則 。說(shuō)明 同樣此定理中的換成其它六種趨向過(guò)程仍成立。 例，. 例，= (n為正整數(shù), 0).3. 其它類型未定式0、-、00、1 、0都可以轉(zhuǎn)化為或型未定式來(lái)計(jì)算.（1）“”型設(shè)，則就構(gòu)成了“”型不定式，它可以作如下轉(zhuǎn)化：=（型）；或=（型）。例，。誰(shuí)放分子，誰(shuí)放分母是有講究的，例如 =,就不能得到任何結(jié)果。（2）“”型這種形式的不定型可以通過(guò)通分等手段轉(zhuǎn)化為型或型。例，。（3）“”型它可以通過(guò)如下轉(zhuǎn)化：。例，計(jì)算極限。解：因?yàn)?，?，所以 。例，計(jì)算極限。解：因?yàn)?，而，所?。例，計(jì)算極限。解：。 （）注意：（1）洛必達(dá)法則只能適用于“”和“”型的不定式，其它的不定式須先化簡(jiǎn)變形成“”或“”型才能運(yùn)用該法則；（2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則。連續(xù)多次使用羅比達(dá)法則時(shí)，每次都要檢查是否滿足定理?xiàng)l件。只有待定型才能用洛必達(dá)法則，否定會(huì)引導(dǎo)到荒謬的結(jié)果例如 . （極限不存在且不是待定型） 事實(shí)上 1；（3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要。因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在。例15 求極限。解 它是一個(gè)型的不定式，運(yùn)用洛必達(dá)法則，得，如此反復(fù)下去，并不能解得結(jié)果。改用其它方法，得。 洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法, 但最好能與其它求極限的方法結(jié)合使用. 例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn), 可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替代或重要極限時(shí), 應(yīng)盡可能應(yīng)用, 這樣可以使運(yùn)算簡(jiǎn)捷. 例，.例，求 解法1 （羅比達(dá)法則，無(wú)窮小代換） （羅比達(dá)法則）故 解法2 （無(wú)窮小代換） （羅比達(dá)法則，無(wú)窮小代換） 故 最后, 我們指出, 本節(jié)定理給出的是求未定式的一種方法. 當(dāng)定理?xiàng)l件滿足時(shí), 所求的極限當(dāng)然存在（或?yàn)椋? 但定理?xiàng)l件不滿足時(shí), 所求極限卻不一定不存在. 例，求. 解: 因?yàn)闃O限不存在, 所以不能用洛必達(dá)法則. . 問(wèn)題1 下面的解法錯(cuò)在哪里？因?yàn)?，則 問(wèn)題2 下面的解法錯(cuò)在哪里？因?yàn)椋瑒t例，且，。求。解：?jiǎn)栴}3 以下解法對(duì)否？ 求極限的方法小結(jié):（1）單調(diào)有界序列必有極限; （2）用夾逼定理; （3）用極限運(yùn)算法則 （4）用函數(shù)的連續(xù)性; （5）用兩個(gè)重要極限; （6）無(wú)窮小乘有界函數(shù)仍是無(wú)窮小; （7） 等價(jià)無(wú)窮小替換 （8）用洛必達(dá)法則; 補(bǔ)充例題: 例，=ln a -ln b = ln. (a0, b0). 例，= =. 例，= =3. 例，xln=2a=2a . (a 0). 例，求解：設(shè)=A, 則 lnA=l