周五討論班美式期權的定價方法.docx

美式期權的定價方法 殷玉芳 2011.12.0921.1 介紹考慮一個實際問題，如何確定美式期權的價格。通過變量代換引用參數(shù)，那么對于美式看跌、看漲和支付紅利的兩值期權問題如下：對于看跌： (21.1)對于看漲: (21.2)對于收益為的兩值期權（現(xiàn)金或無值看漲期權），當 (21.3) (21.4)其中為無量綱兩值收益。我們將上述期權定價問題轉(zhuǎn)化為更為嚴謹?shù)木€性互補問題。 (21.5)下面給出轉(zhuǎn)化后的收益限制函數(shù)。看跌： 看漲： 兩值期權： 初始條件和邊界條件變?yōu)?連續(xù) （21.6）這種方法可以推廣到更為一般的收益函數(shù)。線性互補公式的優(yōu)勢是沒有明確提到自由邊界，若能夠解決線性問題，那我們就可以找到自由邊界，定義為自由邊界。對于看跌期權來說， 但, 當對于其他有許多自由邊界問題，線性互補公式也是有效的。21.2 有限差分公式為了尋求解決美式看跌自由邊界問題的數(shù)值方法，之前，我們運用許多不同的方法，一種簡單的方法將區(qū)域分割成規(guī)則的有限網(wǎng)格，并且通過線性互補方程來進行有限差分近似，這是這一章所運用的唯一方法。首先將線性互補格式進行離散化，將在規(guī)則網(wǎng)格一步長進行有限差分近似，則，其中，其中為很大的數(shù)。 為了避免顯式、隱式和Crank-Nicolson離散格式，我們利用一般的有限差分-近似 其中，當時分別對應著顯示格式，Crank-Nicolson格式和隱式格式。記 （21.7）為離散化的收益函數(shù)。上一章，對于有限差分方法，記為精確解的有限差分近似解。條件意味著當 （21.8）邊界條件和初始條件變?yōu)?(21.9)則有限差分近似為 由于從而 其中若當，且穩(wěn)定。定義 （21.10）從而 （21.11）注意到，在時間時，精確被知，由于已知，則線性互補條件則近似為 （21.12）21.3 有限差分問題解 有限差分近似（21.8）-（21.12）可看作為一個約束矩陣問題，這和障礙問題的有限差分近似（20.3）類似，同樣采取投影SOR方法來解決這一問題。 定義為在時刻的近似值向量，為同一時刻的限制向量。 （21.13） 其中中不包含，這是由于邊界條件已經(jīng)精確給出。令 （21.14）從而 其中 （21.15）在和，即為邊界條件在和時 （21.16）下給出一個階的三對角對稱矩陣 (21.17)從而線性互補問題轉(zhuǎn)化為矩陣形式 (21.18)同樣地，用投影SOR方法來解決離散化的線性互補問題，這是一個隱式格式：向量包含在時刻的信息，并決定在時刻的值。對于給定，可以得到，在任一時刻，我們可以計算，因此利用投影SOR能夠解決（21.18）這一問題，為了實施投影SOR算法，我們注意到，矩陣(對稱正定矩陣)的非零元：對角元素，上、下對角元素.從到迭代的算法是障礙問題的投影SOR算法的一個簡單修改。特別地，1. 給定，由公式（21.14）(21.15) (21.16)算出向量，通過（21.7）和（21.13）式，計算出限制向量。2. 定義為迭代向量，然后，為初始值，通過投影SOR算法，由生成，我們知道當,(,若不然，可能不收斂)。3. 由分量 (注：式子中而不是) ，從而由得到，其中,為給定的相關參數(shù)。4