20100513高一數(shù)學(xué)（數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法）

2 1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 高一數(shù)學(xué)必修五第二章數(shù)列 傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題 他們?cè)谏碁┥袭?huà)點(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)字 問(wèn)題提出 由于這些數(shù)可以用三角形點(diǎn)陣表示 故稱其為三角形數(shù) 1 3 6 10 問(wèn)題提出 因?yàn)檫@些數(shù)能夠表示成正方形 故稱為正方形數(shù) 1 4 9 16 1740 1823 1906 1989 2072 2 4 8 16 32 15 5 16 16 28 32 51 人們?cè)?740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星 并推算出它每隔83年出現(xiàn)一次 則從出現(xiàn)那次算起 這顆彗星出現(xiàn)的年份依次為 1984年到2008年 我國(guó)體育健兒共參加了7次奧運(yùn)會(huì) 獲得的金牌數(shù)依次為 某種細(xì)胞 如果每個(gè)細(xì)胞每分鐘分裂為2個(gè) 那么每過(guò)一分鐘 一個(gè)細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)依次為 再來(lái)看幾個(gè)問(wèn)題 1 均是一列數(shù) 2 有一定次序 觀察上面6個(gè)例子它們有什么共同特點(diǎn) 特點(diǎn) 1 1 3 6 10 2 1 2 4 8 16 4 15 5 16 16 28 32 51 5 2 4 8 16 32 3 1740 1823 1906 1989 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng) 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng) 首項(xiàng) 第2項(xiàng) 第n項(xiàng) 如 2 4 8 16 a4 a1 a2 a3 a5 32 1 數(shù)列的定義 按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列 其中右下標(biāo)n表示項(xiàng)的位置序號(hào) 上面的數(shù)列又可簡(jiǎn)記為 數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列 2 數(shù)列的分類 1 根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)是否有限分類 2 根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)的變化趨勢(shì)分類 遞增數(shù)列 遞減數(shù)列 擺動(dòng)數(shù)列 常數(shù)數(shù)列 遞增數(shù)列 從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 遞減數(shù)列 從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 擺動(dòng)數(shù)列 從第2項(xiàng)起 有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng) 有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 常數(shù)列 各項(xiàng)都相等的數(shù)列 如何用數(shù)學(xué)式子表示遞增數(shù)列 遞減數(shù)列和常數(shù)列 遞增數(shù)列 遞減數(shù)列 常數(shù)列 對(duì)于數(shù)列中的每個(gè)序號(hào)n都有唯一的一個(gè)數(shù) 項(xiàng) an與之對(duì)應(yīng) 項(xiàng)數(shù)n1234 64項(xiàng)an122223 263 自變量n 函數(shù)值an 3 數(shù)列與函數(shù) 數(shù)列是一種特殊的函數(shù) 可以認(rèn)為 數(shù)列是一種特殊的函數(shù) 數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N 或其有限子集 1 2 n 為定義域的函數(shù) 當(dāng)自變量從小到大的順序依次取值時(shí) 所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值 數(shù)列的項(xiàng)an與它對(duì)應(yīng)的序號(hào)n能否用一個(gè)公式來(lái)表示呢 3 數(shù)列與函數(shù) 如數(shù)列2 4 6 2n 數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n與項(xiàng)an之間的關(guān)系如果可以用一個(gè)公式表示 那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 4 數(shù)列通項(xiàng)公式 例1寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù) 1 1 2 2 0 2 0 3 3 5 7 9 4 2 4 8 16 例題講解 例2 已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n 1 用列表法寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng) 并作出圖象 解 數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn) 數(shù)列的圖象有何特點(diǎn) y 2x 1 函數(shù)有哪幾種表示法 通項(xiàng)公式法 列表法 圖象法 相應(yīng)地?cái)?shù)列有哪幾種表示法 例3根據(jù)下面數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 寫(xiě)出其前5項(xiàng) 1 2 知識(shí)探究 有5個(gè)猴子共同分享一堆蘋(píng)果 它們先后來(lái)到蘋(píng)果前 第一個(gè)猴子將所有蘋(píng)果平均分成5份 還剩1個(gè) 丟掉 自己拿走其中1份 第二個(gè)猴子又將余下的蘋(píng)果平均分成5份 還剩1個(gè) 丟掉 自己拿走其中1份 依次類推 那么第n個(gè)猴子與第n 1 n 2 個(gè)猴子所得的蘋(píng)果數(shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系 數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系式稱為遞推公式 遞推法表示數(shù)列需要哪些要素 初始項(xiàng)和遞推公式 其中稱為遞推公式 上述給出數(shù)列的方法叫做遞推法 數(shù)列1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 稱為斐波那契數(shù)列 該數(shù)列的遞推公式是什么 知識(shí)探究 如果數(shù)列 an 滿足那么數(shù)列 an 是否確定 知識(shí)探究 稱為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 記作Sn 那么Sn 1表示什么 an Sn Sn 1三者之間有什么關(guān)系 知識(shí)探究 例6下圖中的三角形稱為謝賓斯基三角形 在下圖四個(gè)三角形中 著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng) 寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出它的圖象 理論遷移 例7設(shè)數(shù)列 an 滿足 寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng) 例8已知數(shù)列 an 滿足求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 例9已知數(shù)列 an 滿足求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 1 數(shù)列是一種特殊的函數(shù) 其特殊性主要體現(xiàn)在函數(shù)的自變量只能依次取正整數(shù) 小結(jié)作業(yè) 2 表示數(shù)列的方法有通項(xiàng)公式法 列表法 圖像法 遞推法四種 其中通項(xiàng)公式法和遞推法是最常用的方法 并且二者可以相互轉(zhuǎn)化 3 數(shù)列的遞推公式是反映數(shù)列相鄰幾項(xiàng)的關(guān)系式 根據(jù)數(shù)列