環(huán)境規(guī)劃與管理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(doc 27頁).doc

第四章 環(huán)境規(guī)劃與管理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié) 環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法一、數(shù)據(jù)的表示方法1、列表法例：研究電阻的阻值與溫度的關(guān)系時(shí)，測(cè)試結(jié)果如下：測(cè)量序號(hào)溫度t/電阻R/1105104222941092342711324600118057501224691012672、圖示法n 圖示法的第一步就是按列表法的要求列出因變量y與自變量x相對(duì)應(yīng)的yi與xi數(shù)據(jù)表格。n 作曲線圖時(shí)必須依據(jù)一定的法則，只有遵守這些法則，才能得到與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)位置偏差最小而光滑的曲線圖形。n 坐標(biāo)紙的選擇-常用的坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系，包括笛卡爾坐標(biāo)系（又稱普通直角坐標(biāo)系）、半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系和對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。 半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系 半對(duì)數(shù)坐標(biāo)的標(biāo)度法 一個(gè)軸是分度均勻的普通坐標(biāo)軸，另一個(gè)軸是分度不均勻的對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸。 右圖中的橫坐標(biāo)軸（x軸）是對(duì)數(shù)坐標(biāo)。在此軸上，某點(diǎn)與原點(diǎn)的實(shí)際距離為該點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)的對(duì)數(shù)值，但是在該點(diǎn)標(biāo)出的值是真數(shù)。為了說明作圖的原理，作一條平行于橫坐標(biāo)軸的對(duì)數(shù)數(shù)值線。3、插值法計(jì)算數(shù)值 （1）作圖插值法例：用分光光度計(jì)法測(cè)定溶液中鐵的含量,測(cè)得標(biāo)準(zhǔn)曲線數(shù)據(jù)如下：Fe （g/mL） 2 4 6 8 10 12吸光度（A） 0.097 0.200 0.304 0.408 0.510 0.613測(cè)得未知液的吸光度為0.413，試求未知液中鐵的含量。在圖的縱坐標(biāo)上0.413處找到直線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)，讀出其對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為未知液中鐵的含量 8.122（2）比例法（3）牛頓內(nèi)插公式一般的非線性函數(shù)都可以展開為多項(xiàng)式（二）數(shù)據(jù)特征n 數(shù)據(jù)特征是對(duì)環(huán)境總體狀況進(jìn)行估計(jì)判斷的基礎(chǔ)，是認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)理論特性的基本出發(fā)點(diǎn)，通?？煞譃橐韵氯悾簄 位置特征數(shù):表示數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)或刻畫頻數(shù)分布圖中心位置的特征數(shù)；n 離散特征數(shù):用來描述數(shù)據(jù)分散程度；n 分布形態(tài)特征數(shù):刻劃了根據(jù)所獲數(shù)據(jù)繪制的分布曲線圖的形態(tài)。1. 位置特征數(shù)（1）算術(shù)平均數(shù)：式中：x1, x2, , xn為樣本個(gè)體數(shù)據(jù)，n為樣本個(gè)數(shù)（2）加權(quán)平均數(shù) 如果樣本個(gè)體數(shù)據(jù)x1, x2, , xn取值因頻 數(shù)不同或?qū)傮w重要性有所差別，則常采取加權(quán)平均方法。式中：wi是個(gè)體數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻數(shù)，或是因該個(gè)體對(duì)樣本貢獻(xiàn)不同而取的不同的數(shù)值。 （5）中位數(shù)n 環(huán)境數(shù)據(jù)有時(shí)顯得比較分散，甚至個(gè)別的數(shù)據(jù)離群偏遠(yuǎn)，難以判斷去留，這時(shí)往往用到中位數(shù)。n 樣本數(shù)據(jù)依次排列（從大到小或者從小到大）居中間位置的數(shù)即為中位數(shù)，若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則中位數(shù)為正中兩個(gè)數(shù)的平均值。n 只有當(dāng)數(shù)據(jù)的分布呈正態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)才代表這組數(shù)據(jù)的中心趨向，近似于真值。 1. 位置特征數(shù)n 環(huán)境統(tǒng)計(jì)中常常用到幾何平均數(shù)。不同的平均值都有各自適用場(chǎng)合，選擇的平均數(shù)指標(biāo)應(yīng)能反映數(shù)據(jù)典型水平，并非隨意采用。幾何平均直徑： 2. 離散特征數(shù)3. 分布形態(tài)特征數(shù)二、異常數(shù)據(jù)的剔除n 在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)候，我們常常會(huì)遇到個(gè)別數(shù)據(jù)偏離預(yù)期或大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)結(jié)果的情況，如果我們把這些數(shù)據(jù)和正常數(shù)據(jù)放在一起進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可能會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的正確性，如果把這些數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單地剔除，又可能忽略了重要的實(shí)驗(yàn)信息。這里重要的問題是如何判斷異常數(shù)據(jù)，然后將其剔除。判斷和剔除異常數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理中的一項(xiàng)重要任務(wù)，目前的一些方法還不是十分完善，有待進(jìn)一步研究和探索。n 目前人們對(duì)異常數(shù)據(jù)的判別與剔除主要采用物理判別法和統(tǒng)計(jì)判別法兩種方法。n 物理判別法就是根據(jù)人們對(duì)客觀事物已有的認(rèn)識(shí)，判別由于外界干擾、人為誤差等原因造成實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)偏離正常結(jié)果，在實(shí)驗(yàn)過程中隨時(shí)判斷，隨時(shí)剔除。n 統(tǒng)計(jì)判別法是給定一個(gè)置信概率，并確定一個(gè)置信限，凡超過此限的誤差，就認(rèn)為它不屬于隨機(jī)誤差范圍，將其視為異常數(shù)據(jù)剔除。n 剔除異常數(shù)據(jù)實(shí)質(zhì)上是區(qū)別異常數(shù)據(jù)由偶然誤差還是系統(tǒng)誤差造成的問題。n 若是人為因素的偶然誤差就應(yīng)剔除，如果沒有足夠的理由證實(shí)是偶然過失造成的時(shí)候，應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，采用一定的檢驗(yàn)方法來決定取舍。 n 本節(jié)著重介紹統(tǒng)計(jì)判別法。1.拉依達(dá)準(zhǔn)則 若可疑數(shù)據(jù)xp與樣本數(shù)據(jù)之算術(shù)平均值的偏差的絕對(duì)值大于3倍（2倍）的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即：則應(yīng)將xp從該組數(shù)據(jù)中剔除，至于選擇3s還是2s與顯著性水平有關(guān)，顯著性水平表示的是檢驗(yàn)出錯(cuò)的幾率為，或檢驗(yàn)的可置信度為1。3s相當(dāng)于顯著水平0.01，2s相當(dāng)于顯著水平0.05。2. 格拉布斯準(zhǔn)則用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)xp時(shí)，選取一定的顯著性水平 ，若： 則應(yīng)將xp從該組數(shù)據(jù)中剔除， 稱為格拉布斯檢驗(yàn)臨界值，可查相關(guān)表格得到。 以上準(zhǔn)則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的，當(dāng)偏離正態(tài)分布, 特別是測(cè)量次數(shù)很少時(shí)，則判斷的可靠性就差。因此，對(duì)粗大誤差除用剔除準(zhǔn)則外，更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責(zé)任心。另外, 要保證測(cè)量條件穩(wěn)定，防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。 3.狄克遜（dixon）法n 狄克遜研究了n次測(cè)量結(jié)果，按其數(shù)值大小排列成如下次序：n 當(dāng) xi 服從正態(tài)分布時(shí)n 用不同的公式求得 f 值，再經(jīng)過查表，得到相應(yīng)的臨界值，進(jìn)行比較,若計(jì)算值f(n，)視為異常值，舍棄；再對(duì)剩余數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，直到?jīng)]有異常值為止。狄克遜通過模擬實(shí)驗(yàn)認(rèn)為：n7，使用 f10 ；8n10，用 f11 ；11n13，用 f21 ；n14，用 f22 效果好。例題 n 用狄克遜法判斷下列測(cè)試數(shù)據(jù)(40.02，40.15， 40.20，40.13，40.16)中的40.02是否應(yīng)舍棄？n 解：將數(shù)據(jù)排列，取 =0.05 n 40.02 40.13 40.15 40.16 40.20n ，0.6110.642n 所以40.02應(yīng)保留。三、數(shù)據(jù)的誤差分析（一）幾種誤差的基本概念 例題: 滴定的體積誤差V絕對(duì)誤差相對(duì)誤差20.00 mL0.02 mL0.1%2.00 mL0.02 mL1.0%（二）誤差的來源及分類1. 隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差是在一定條件下以不可預(yù)知的規(guī)律變化著的誤差。這些偶然因素是操作者無法嚴(yán)格控制的，故無法完全避免隨機(jī)誤差。但它的出現(xiàn)一般具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律，大多服從正態(tài)分布。2. 系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差是指由某個(gè)或某些不確定的因素所引起的誤差。當(dāng)條件一旦確定，系統(tǒng)誤差就是一個(gè)客觀上的恒定值，它不能通過多次測(cè)量取平均值的方法來消除，只能根據(jù)儀器的性能、環(huán)境條件或個(gè)人偏差等進(jìn)行校正，使之降低。3. 過失誤差 過失誤差是由于操作人員不仔細(xì)、操作不正確等原因引起的，它是可以完全避免的。 （三）誤差分析 n 誤差可能是由于隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差單獨(dú)造成的，還可能是兩者的疊加。誤差分析中，常采用精密度、正確度和準(zhǔn)確度來表示誤差的性質(zhì)。 n 精密度反映了隨機(jī)誤差大小的程度，是指在相同條件下，對(duì)被測(cè)對(duì)象進(jìn)行多次反復(fù)測(cè)量，測(cè)量值之間的一致(符合)程度。 n 正確度指測(cè)量值與其“真值”的接近程度。n 對(duì)于一組數(shù)據(jù)來說，精密度高并不意味著正確度也高；反之，精密度不好，但當(dāng)測(cè)量次數(shù)相當(dāng)多時(shí)，有時(shí)也會(huì)得到好的正確度。n 準(zhǔn)確度指被測(cè)對(duì)象測(cè)量值之間的一致程度以及與其“真值”的接近程度。準(zhǔn)確度、正確度和精密度的關(guān)系四、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理 n 在大批的環(huán)境統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，當(dāng)數(shù)據(jù)的物理量不同、單位或量值差別較大時(shí)，常常會(huì)給下一步分析帶來困難，這時(shí)就有必要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，從而提高計(jì)算的精度。n 環(huán)境管理與規(guī)劃中，常采用下面的公式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：第二節(jié) 最優(yōu)化分析方法 一、線性規(guī)劃 在環(huán)境規(guī)劃管理中，線性規(guī)劃常常用來解決兩類優(yōu)化問題：一是如何優(yōu)化資源配置使產(chǎn)值最大或利潤最高，二是如何統(tǒng)籌安排以便消耗最少的資源或排放最少的污染物。一般線性規(guī)劃問題的求解，最常用的算法是單純形法。 二、非線性規(guī)劃 在環(huán)境規(guī)劃與管理中，某些問題的決策模型可能會(huì)出現(xiàn)下面的情況：目標(biāo)函數(shù)非線性，約束條件為線性；目標(biāo)函數(shù)為線性，約束條件非線性；目標(biāo)函數(shù)與約束條件均為非線性函數(shù)。上述情況均屬于非線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型的一般形式是： n 數(shù)值求解非線性規(guī)劃的算法大體分為兩類：n 一是采用逐步線性逼近的思想，通過一系列非線性函數(shù)線性化的過程，利用線性規(guī)劃獲得非線性規(guī)劃的近似最優(yōu)解；n 二是采用直接搜索的思想，根據(jù)部分可行解或非線性函數(shù)在局部范圍內(nèi)的某些特性，確定迭代程序，通過不斷改進(jìn)目標(biāo)值的搜索計(jì)算，獲得最優(yōu)或滿足需要的局部最優(yōu)解。三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃 n 在環(huán)境規(guī)劃管理中，經(jīng)常遇到多階段最優(yōu)化問題，即各個(gè)階段相互聯(lián)系，任一階段的決策選擇不僅取決于前一階段的決策結(jié)果，而且影響到下一階段活動(dòng)的決策，從而影響到整個(gè)決策過程的優(yōu)化問題。這類問題通常采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解。 n 基本原理為：作為多階段決策問題，其整個(gè)過程的最優(yōu)策略應(yīng)具有這樣的性質(zhì)，即無論過去的狀態(tài)和決策如何，對(duì)前面的決策所形成的狀態(tài)而言，其后一系列決策必須構(gòu)成最優(yōu)決策。 n 可以把多階段決策問題分解成許多相互聯(lián)系的小問題，從而把一個(gè)大的決策過程分解成一系列前后有序的子決策過程，分階段實(shí)現(xiàn)決策的“最優(yōu)化”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“總體最優(yōu)化”方案。為使最后決策方案獲得最優(yōu)決策效果，動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解可用下列遞推關(guān)系式表示： 第三節(jié) 常用決策分析方法 n 決策是指通過對(duì)解決問題備選方案的比較，從中選出最好的方案。n 決策貫穿于環(huán)境管理與規(guī)劃的各個(gè)方面，是管理與規(guī)劃的核心。決策技術(shù)n 技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析中的決策，是指對(duì)多方案進(jìn)行評(píng)價(jià)與擇優(yōu)，從而選定一個(gè)最滿意的方案。n 決策的分類n 按決策的條件n 確定型n 非確定型n 風(fēng)險(xiǎn)型n 按決策的對(duì)象n 宏觀n 微觀n 按決策在企業(yè)組織中的地位分類n 高層決策n 中層決策n 基層決策 決策樹法n 決策樹技術(shù)的含義n 是把方案的一系列因素按它們的相互關(guān)系用樹狀結(jié)構(gòu)表示出來，再按一定程序進(jìn)行優(yōu)選和決策的技術(shù)方法。n 決策樹技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)n 便于有次序、有步驟、直觀而又周密地考慮問題；n 便于集體討論和決策；n 便于處理復(fù)雜問題的決策。決策樹圖形n 適用對(duì)象n 多階段決策、前一階段的決策影響后續(xù)階段的結(jié)構(gòu)和決策的項(xiàng)目。n 方法n 用決策樹的形式列出決策問題的邏輯結(jié)構(gòu)。n 從決策樹的末端向決策點(diǎn)倒退，計(jì)算出不同決策方案下的期望值，將未占優(yōu)的方案去掉，直到得出初始的決策方案。運(yùn)用決策樹技術(shù)的步驟（1）繪制決策樹圖；（2）預(yù)計(jì)可能事件（可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)）及其發(fā)生的概率；（3）計(jì)算各策略方案的損益期望值；（4）比較各策略方案的損益期望值，進(jìn)行擇優(yōu)決策。 若決策目標(biāo)是效益，應(yīng)取期望值大的方案；若決策目標(biāo)是費(fèi)用或損失，應(yīng)取期望值小的方案。決策樹例題（參考書目：環(huán)境管理學(xué)-楊賢智編著 ）有一石油化工企業(yè)，對(duì)一批廢油渣進(jìn)行綜合利用。它可以先作實(shí)驗(yàn)，然后決定是否綜合利用；也可以不作實(shí)驗(yàn)，只憑經(jīng)驗(yàn)決定是否綜合利用。作實(shí)驗(yàn)的費(fèi)用每次為3000元，綜合利用費(fèi)每次為10000元。若做出產(chǎn)品，可收入40000元；作不出產(chǎn)品，沒有收入。各種不同情況下的產(chǎn)品成功概率均已估計(jì)出來，都標(biāo)在圖1上。試問欲使收益期期望值為最大，企業(yè)應(yīng)如何作出決策。 根據(jù)圖中給出之?dāng)?shù)據(jù)求解。決策樹采用逆順序計(jì)算法。 1 計(jì)算事件點(diǎn)、的期望值400000.8500.1534000400000.1000.904000400000.5500.4522000原決策樹根據(jù)以上算出的期望值可簡(jiǎn)化為（圖2a）：2.在決策點(diǎn)2、3、4作出決策2 按max（3400010000），024000，決定綜合利用。3 按max（400010000），00，決定不綜合利用。4 按max（2200010000），012000，決定綜合利用。決策樹繼續(xù)簡(jiǎn)化為（圖2b）： 3.計(jì)算狀態(tài)點(diǎn)的期望值：240000.600.4144004.在決策1作出決策。5.最后得出整個(gè)問題的決策序列為：不作實(shí)驗(yàn)、直接綜合利用，收入期望值為12000元。 二、決策矩陣 n 決策矩陣又稱為損益矩陣，它是利用損益的期望值進(jìn)行決策，常用于有限條件下資源分配的最優(yōu)化決策問題。 三、多目標(biāo)決策方法 n 在環(huán)境管理與規(guī)劃問題中,同時(shí)存在著多個(gè)目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)都要求達(dá)到其最優(yōu)值，并且各目標(biāo)之間往往存在著沖突和矛盾，這類問題就是多目標(biāo)決策問題。解決這類決策問題的方法就是多目標(biāo)決策方法。 第四節(jié) 環(huán)境數(shù)學(xué)模型 一、數(shù)學(xué)模型概述 n 環(huán)境數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)語言和方法來描述環(huán)境污染過程中的物理、化學(xué)、生物化學(xué)、生物生態(tài)以及社會(huì)等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。n 它是建立在對(duì)環(huán)境系統(tǒng)進(jìn)行反復(fù)的觀察研究，通過實(shí)驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)，取得大量的有關(guān)信息和數(shù)據(jù)，進(jìn)而對(duì)所研究的系統(tǒng)行為動(dòng)態(tài)、過程本質(zhì)和變化規(guī)律有了較深刻認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過簡(jiǎn)化和數(shù)學(xué)演繹而得出的一些數(shù)學(xué)表達(dá)式，這些表達(dá)式描述了環(huán)境系統(tǒng)中各變量及其參數(shù)間的關(guān)系。一、數(shù)學(xué)模型概述n 環(huán)境數(shù)學(xué)模型主要應(yīng)用于環(huán)境規(guī)劃與管理、環(huán)境影響評(píng)價(jià)和環(huán)境質(zhì)量預(yù)測(cè)幾個(gè)方面，其類型主要包括大氣擴(kuò)散模型、水文與水動(dòng)力模型、水質(zhì)模型、土壤侵蝕模型、沉積物遷移模型和物種棲息地模型等，每一類模型又可按模型的空間維數(shù)、時(shí)間相關(guān)性、數(shù)學(xué)方程特征等來進(jìn)行分類 .二、模型建立建立數(shù)學(xué)模型的步驟(一)建模準(zhǔn)備n 了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對(duì)象的特征。(二)模型假設(shè)n 根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語言作出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步，建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡(jiǎn)單，應(yīng)盡量使問題線性化、均勻化。二、模型建立建立模型的方法1、圖解法n 采用點(diǎn)和線組成的用以描述系統(tǒng)的圖形稱為圖模型，可用于描述自然界和人類社會(huì)中大量事物和實(shí)物之間的關(guān)系。n 圖模型形象、直觀，對(duì)決策者了解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和功能之間的關(guān)系很有幫助。但圖解建模法作為一種描述性方法，往往精確度較差，而且受人的視覺影響而局限于三維空間中，因此它通常作為建立系統(tǒng)方程式模型的輔助分析工具來用。 2、質(zhì)量平衡法 n 根據(jù)質(zhì)量平衡原則建立微分方程是最常用的建立白箱模型的方法。n 應(yīng)用質(zhì)量平衡方法必須知道物質(zhì)流的方向和通量，污染物質(zhì)反應(yīng)的方式和速度，以及各種污染物之間的相關(guān)關(guān)系和關(guān)聯(lián)作用。n 環(huán)境數(shù)學(xué)模型中很多都是在質(zhì)量平衡的基礎(chǔ)上建立的。值得注意的是，幾乎每一個(gè)利用質(zhì)量平衡原則建立的模型中都包含了一個(gè)或多個(gè)待定參數(shù)，它們一般很難由過程的機(jī)理確定，且數(shù)值又隨時(shí)間、空間變化，因此需要借助于大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)最終確定參數(shù)。3、概率統(tǒng)計(jì)法n 回歸分析法建立在對(duì)客觀事物進(jìn)行大量試驗(yàn)和觀察的基礎(chǔ)上，是一種用來尋找隱藏在某些現(xiàn)象中的規(guī)律性的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。 n 回歸分析法就是通過分析因素之間的因果關(guān)系和影響程度進(jìn)行預(yù)測(cè)，用過去和現(xiàn)在的環(huán)境監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)確定函數(shù)關(guān)系式，按最小二乘法原則確定函數(shù)式中的參數(shù)值，進(jìn)而建立回歸預(yù)測(cè)模型，用于預(yù)測(cè)環(huán)境要素特征發(fā)展變化的規(guī)律。3、概率統(tǒng)計(jì)法n 根據(jù)變量之間函數(shù)形式的不同，回歸分析分為線形回歸和非線性回歸；根據(jù)自變量個(gè)數(shù)的多少，可分為一元回歸和多元回歸。n 根據(jù)數(shù)據(jù)處理方法的不同，時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法主要分為移動(dòng)平均法、加權(quán)滑動(dòng)平均法和指數(shù)平均法。 三、模型參數(shù)的估值方法 由于環(huán)境系統(tǒng)中的模型基本上都是灰箱模型，其中至少存在著一個(gè)待定參數(shù)，因此參數(shù)的估計(jì)是建立環(huán)境數(shù)學(xué)模型非常重要的一項(xiàng)工作。下面介紹幾種主要的估值方法。（一）圖解法 凡是給定的公式或數(shù)據(jù)可以直接描述成一條直線，或經(jīng)過一定處理后可以轉(zhuǎn)化為直線時(shí)，常常采用圖解法估計(jì)參數(shù)。作圖時(shí)，將自變量x和因變量y標(biāo)注在直角坐標(biāo)系中，確定每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)位，把所有的點(diǎn)位連接起來，形成一條直線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： Y=b + ax （4-21）式中：a是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距。 （二）經(jīng)驗(yàn)公式法 根據(jù)長時(shí)期的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，人們提出了許多經(jīng)驗(yàn)公式來估計(jì)數(shù)學(xué)模型中的相關(guān)參數(shù)。應(yīng)注意的是，使用經(jīng)驗(yàn)公式要求該系統(tǒng)條件與建立經(jīng)驗(yàn)公式的條件一致或相近，否則就會(huì)出現(xiàn)很大偏差。（三）線性回歸法 此法適用于自變量xi(i=1,2,n)與因變量y呈一次線性關(guān)系的情況。線性回歸分析有兩個(gè)基本假設(shè)：一是所有的自變量的值xij(j=1,2,m)均不存在誤差，因變量的值含有測(cè)量誤差；二是與各測(cè)量值擬合得最好的線性方程：y=a1x1+a2x2+aixi+anxn+b是能使各點(diǎn)到直線的豎向偏差的平方和 最小的直線。根據(jù)極值存在的條件，分別對(duì)Z做ai、b的一階偏導(dǎo)，使：由此可以求得偏差平方