方程的根與函數的零點.doc

方程的根與函數的零點八道江區(qū) 白山市第二中學 劉慶輝【教學理念】今年是我省進入高中課改的第一年，我將力求在本節(jié)課的教學中體現新課標的要求：以學生為主體，充分發(fā)揮學生的主動性，鼓勵學生在學習過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索，與他人合作的良好習慣，讓學生體驗數學發(fā)現和創(chuàng)造的歷程。發(fā)展他們的創(chuàng)新意識，通過典型事例的分析，使學生理解數學概念和結論逐步形成的過程，體會其中蘊涵的函數與方程的重要數學思想方法?！窘滩姆治觥勘竟?jié)是選自人教版高中課程標準實驗教科書A版（必修1）第三章第一節(jié)內容，是在學生系統(tǒng)地學習了函數的概念及性質，并且掌握了幾個基本初等函數知識的基礎上，在這一節(jié)結合函數的圖象和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而理解函數的零點與方程的根之間的關系；為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)學習算法奠定基礎.【學情分析】由于初中學習了一次函數和二次函數，及高中又剛剛學習過了函數的性質，所以先由一次函數和二次函數入手，學生易于接受，也能很快掌握，通過函數圖象及信息技術的應用，學生能夠加深認識和理解根與零點的知識.【教學目標】 根據新課標的教學理念以及本節(jié)課的實際，教學目標設計如下：知識與技能 理解函數零點的概念，領會函數零點與相應方程的根之間的關系，掌握零點存在的判定條件過程與方法 探求零點存在性的判定，感知歸納總結與概括的思想方法.情感、態(tài)度、價值觀 在函數與方程的聯系中體驗數學中的轉化思想的意義和價值,感受數學的美感,發(fā)展學生學習數學的熱情.由于本節(jié)既有概念的教學，又有概念的應用結合其內容的知識體系以及學生的認知能力，教學重難點如下：【教學重點】 零點的概念及零點與方程的根之間的關系【教學難點】 零點存在的條件【教學方法】教師啟發(fā)引導，學生討論探究【教學程序與環(huán)節(jié)設計】：問題導入進入新課新課推進新課深入創(chuàng)設情境組織探究1 -例題研究 收獲體會作業(yè)反饋組織探究2償試練習 探索研究【教學過程與操作設計】：環(huán)節(jié)教學內容設置設計意圖問題導入1.一枚炮彈從地面發(fā)射后,炮彈的高度隨時間變化的函數關系式為 ,問炮彈經過多長時間回到地面? （1）舉一個常見的簡單的例子,使學生對本節(jié)的內容有一個直觀的感受.（2）一是復習，二是為下面畫圖能順利進行做好準備（3）教師點出課題,使學生的注意力集中于本節(jié)學習的內容之中.2一次函數,二次函數的圖象如何畫出,要注意哪些要點？ （幻燈片展示） 進入新課創(chuàng)設情境組織探究1組織探究2償試練習探 索研 究 1我們來研究方程的根與函數的圖象間的關系，問：該如何來研究？從哪開始來研究？ （教師提問）（學生會想到熟悉的一元一次方程與一次函數的圖象, 一元二次方程與二次函數的圖象，指數方程與指數函數的圖象,教師要引導學生努力思考)1.主要是調動學生的思維，使學生的思維處于起步狀態(tài)。同時，該問題設置的目的還在于培養(yǎng)學生從具體到一般的數學思維方法為學生在高中的后繼學習做一些準備.2對于上述函數與方程，我們應先研究誰好呢？ （教師提問）（引導學生發(fā)表不同的見解，會發(fā)現一元一次方程與一次函數圖象, 一元二次方程與二次函數圖象，最易研究.）2.向學生滲透“從最簡單、最熟悉的問題入手去解決較復雜問題”的一般思維方法.這也是新中所提出的對學生思維的一種要求.3請學生舉一些一元一次方程與相應的一次函數圖象, 一元二次方程與相應的二次函數圖象的例子. (幻燈片展示)（學生會舉出很多例子，啟發(fā)學生從這些例子中選出有代表性且能解決問題的即可.）例(1)方程與函數(2)方程與函數(學生歸納： 的根 相應函數圖象與x軸的交點 的關系)(3) (4)(5) (學生歸納：二次函數），方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點），方程有兩相等實根二次函數的圖象與軸有一個交點，），方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，)4函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點 （板書）找同學說出一次函數和二次函數的零點函數圖象與軸的有一個零點=二次函數），二次函數有兩個零點），二次函數有一個二重零點,），二次函數無零點由一次函數和二次函數的零點歸納更為一般的結論函數零點的意義： （板書）函數的零點就是方程的（實數根）亦即函數的圖象與軸交點的（橫坐標）即：方程有（實數根）函數的圖象與軸有（交點）函數有（零點）利用函數圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根，并指出其對應的函數的零點。（1）；（2）；5對于一次函數和二次函數的零點易求，那么對于不能用公式法求根或更一般的方程又如何找出零點呢？先來看具體的函數（零點存在性的探索）：（）觀察二次函數的圖象： 在區(qū)間上有零點_；_，_,_0（或） 在區(qū)間上有零點_；_0（或）（）觀察下面函數的圖象 在區(qū)間上_(有/無)零點；_0（或） 在區(qū)間上_(有/無)零點；_0（或）在區(qū)間c,d上_(有/無)零點；f(c)_0（或）思考：對于函數，在區(qū)間上有 0時，零點的情況？由以上探索，你可以得出什么樣的結論？(學生歸納：函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有0，那么函數在（a ,b）內有零點，即存在c（a ,b），使得f(c)=0這個c也就是方程f(x)=0的根）；(由學生找出關鍵條件：連續(xù)不斷的一條曲線，有0，那么函數在（a ,b）內有零點)。（板書）怎樣利用函數零點存在性定理，判定函數在某給定區(qū)間上是否存在零點3.該問題的設置具有一定的開放性，有利于提高學生的參與意識.培養(yǎng)學生面對問題時的分析判斷能力，選出帶有典型性的解決方案。引導學生解方程，畫函數圖象，分析方程的根與圖象和X軸交點的橫坐標之間的關系總結出一元一次方程的根與相應的一次函數圖象與x軸的交點(x,0) 的關系，培養(yǎng)學生獨立思考的能力，通過觀察、思考、總結、概括得出結論，并積極和同學進行交流，培養(yǎng)與別人合作的良好的精神培養(yǎng)學生的歸納與總結能力:推廣到一般的一元二次方程和二次函數又怎樣？這種能力的提高對于學生的學習是極為重要的,教師有意識地抓住各種機會,鍛煉學生的歸納總結的能力.4引出零點的概念引導學生仔細體會左邊的這段文字，感悟其中的思想方法再回到具體的函數中來加深體會.根據函數零點的意義探索研究一次函數和二次函數的零點情況，并進行交流，總結概括形成結論，充分發(fā)揮學生的主體作用.目的要學生明確零點不是點而是實數.再次深化由特殊到一般的思想方法并進一步培養(yǎng)學生歸納概括的能力。由學生完成填空,加深方程的根與函數的零點之間的聯系,突出本節(jié)學習的重點.結合圖象考察零點所在的大致區(qū)間與個數，結合函數的單調性說明零點的個數；讓學生認識到函數的圖象及基本性質（特別是單調性）在確定方程的根中的重要作用為下面更一般的方程的根與函數的零點的研究做準備.5.提出一個更一般的問題，激發(fā)學生的學習和探索興趣，使學生的思維走向深化，培養(yǎng)其思維的深刻性.培養(yǎng)學生知難而進的個性品質,設計上還是從特殊到一般的方法,學生易于接受.站在學生的角度設計問題,分析函數，按提示探索，完成解答，并認真思考，使學生發(fā)現規(guī)律。引導學生結合函數圖象，分析函數在區(qū)間端點上的函數值的符號與函數的零點的存在性是否具有著某種關系結合函數圖象，思考、討論、總結歸納得出函數零點存在的條件，并進行交流、評析，充分發(fā)揮班級群體思維的互補作用。這也是本節(jié)學習的重點內容,通過學生自己總結的結論,印象深刻,讓他們體會學習數學的樂趣.引導學生理解函數零點存在性定理，分析其中各條件的作用，為后面的應用做準備.例 題 研 究例1求函數的零點，并畫出它的大致圖象（板 演）（零點可求出，圖象可借助計算機或計算器來畫）例2求函數的零點個數并說出零點所在的區(qū)間. （板 演）設計問題1：1）你可以想到什么方法來判斷函數零點個數？2）判斷函數的單調性，由單調性你能說出該函數的零點具有什么特性？設計問題2：通過以上兩個例題你能總結出函數零點的求法么？引導學生歸納： （代數法）求方程的實數根； （幾何法）對于不能用求根公式求根的方程或者更為復雜的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點或零點所在的區(qū)間.。引導學生探索判斷函數零點的方法，指出可以借助計算機或計算器來畫函數的圖象，結合圖象確定零點所在的區(qū)間，然后利用函數單調性判斷零點的個數結合圖象對函數有零點形成直觀的認識例1，例2是兩個類型，通過對比使學生能總結出一般的函數零點求法.強化所學重點內容,使學生對函數的零點有一個更進一步的理解.進一步培養(yǎng)學生的歸納概括能力及對數學問題的反思意識.培養(yǎng)思維的系統(tǒng)性和嚴密性.收獲與體會說出方程的根與函數的零點的關系，并給出判定方程在某個閉區(qū)間存在根的基本步驟（1） 函數的圖像是否是一條連續(xù)的曲線（2） 計算端點處的函數值（3） 判斷函數值是否異號 小節(jié)是一堂課內容的概括和總結，是必不可少的一個環(huán)節(jié)，有利于使學生把握本節(jié)所學的重要內容，讓學生總結（1）是檢查學生的收獲情況.（2）是更進一步培養(yǎng)學生的歸納總結能力.而這種能力對學生的高中學習是極其重要的。作業(yè)反饋求下列函數的零點：（1）（2）（3）課后思考： 如何求出函數在區(qū)間內的零點？作業(yè)是學生學習信息的反饋，也是師生互動的一種方式，教師可以發(fā)現和彌補教學中的不足學生也可以找到自身的問題并及時糾正，實現“學數學用數學”，在學用中體驗成功的喜悅.板書設計: 方程的根與函數的零點一 零點的概念 四 例1二 零點的意義 例2三 零點的存在性定理 教學設計說明本節(jié)課是在新課標理念的指導下，本著“教師的主導地位與學生的主體地位相統(tǒng)一”的教學原則下組織本節(jié)課的教學。采取引導探究式的教學方法并配以多媒體輔助教學，通過教師的點撥，啟發(fā)學生主動思考、動手操作來達到對知識的發(fā)現和接受，并形成初步的應用技能。本節(jié)課的教學過程設計為六個環(huán)節(jié)：問題導入：進入新課：新課推進：新課深入：收獲與體驗：作業(yè)反饋。在教學過程中我充分遵循學生的認知規(guī)律，在課前生活事例的引領下，進入新知識的學習，而直觀情境又在學生積極思考的過程中激發(fā)學生的學習熱情和探究欲望。在這些環(huán)節(jié)的鋪墊中根與零點的知識呼之欲出。在新課推進和新課深入的兩個環(huán)節(jié)中均以問題為載體，通過學生合作作圖、尋求規(guī)律等一系列過程，在學生的探索與交流中解決問題，形成自己對本節(jié)課重難點的理解和掌握，從而實現重難點的突破。課堂練習和例題，由淺入深