第1講存在性問題探究教師版.doc

第一講存在性問題探究知識點睛對存在性問題的探究一直以來是初三期末以及中考中樂此不疲的題型。對特殊三角形的存在性問題探究、對特殊四邊形的存在性探究、對面積關(guān)系的探究、對特殊位置關(guān)系和圖形關(guān)系的探究等是探究的幾個重要方面。例題精講一、對幾何最值的探討【例1】 （2010安徽）如圖，在平面直角坐標系中放置一矩形，其頂點為（0，1）、（，1）、（，0）、（0，0）將此矩形沿著過（，1）、（，0）的直線向右下方翻折，、的對應(yīng)點分別為、（1）求折痕所在直線EF的解析式；（2）一拋物線經(jīng)過三點，求此二次函數(shù)解析式；（3）能否在直線EF上求一點P，使得周長最?。咳缒?，求出點P的坐標；若不能，說明理由 【解析】 （1）由于折痕所在直線過、，直線傾斜角為。所以直線的解析式為：，化簡得：。（2）設(shè)矩形沿直線向下方翻折后，的對應(yīng)點為.過作交所在的直線于點。，與重合，在軸上，即.【此時需要說明在軸上】設(shè)二次函數(shù)解析式為：拋物線經(jīng)過得到，解得該二次函數(shù)解析式為。（3）能，可以在直線上找到點，連接交于點，再連接。由于，此時點與在一條直線上，故得和最小，由于為定長，所以滿足周長最小。設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為：又因為為直線和直線的交點，解得。點的坐標為【補充】幾何模型：條件：如下左圖，是直線同旁的兩個定點問題：在直線上確定一點，使的值最小方法：作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交于點，則的值最小（不必證明）模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點連結(jié)，由正方形對稱性可知，與關(guān)于直線對稱連結(jié)交于，則的最小值是_；（2）如圖2，的半徑為2，點在上，是上一動點，求的最小值；（3）如圖3，是內(nèi)一點，分別是上的動點，求周長的最小值A(chǔ)BPlOABPRQ圖3OABC圖2ABECPD圖1（第25題）P【解析】 （1）的最小值為的長，因此最小值為（2）作關(guān)于對稱點，連接交于，此時的滿足值最小，此時最小值等于的長。易得，的最小值為（3）分別作關(guān)于的對稱點，連接分別交于點，此時三角形滿足周長最小。此時周長等于長，因此?！纠?】 已知：如圖，把矩形放置于直角坐標系中，取的中點，連結(jié)，把沿軸的負方向平移的長度后得到.（1）試直接寫出點的坐標；（2）已知點與點在經(jīng)過原點的拋物線上，點在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點作軸于點，連結(jié).若以為頂點的三角形與相似，試求出點的坐標；試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得的值最大.【解析】 （1）依題意得：；（3分）（2） ，. 拋物線經(jīng)過原點，設(shè)拋物線的解析式為又拋物線經(jīng)過點與點 解得：拋物線的解析式為.（5分）點在拋物線上，設(shè)點.1)若，則， ，解得： (舍去)或，點.（7分）2)若，則，解得： (舍去)或，點.（9分）存在點，使得的值最大.拋物線的對稱軸為直線，設(shè)拋物線與軸的另一個交點為，則點.（10分）點、點關(guān)于直線對稱，（11分）要使得的值最大，即是使得的值最大，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當三點在同一直線上時，的值最大. （12分）設(shè)過兩點的直線解析式為， 解得：直線的解析式為.當時，.存在一點使得最大.（13分）【例3】 （2009黃石.本題滿分12分）如圖，點P是雙曲線上一動點，過點P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點，交雙曲線y= （0k2|k1|）于E、F兩點（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S1= (用含k1、k2的式子表示)；（3分）（2）圖2中，設(shè)P點坐標為（4，3）判斷EF與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（4分）記，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒有，請說明理由（5分）【解析】 （1）；（2）EFAB 證明：如圖，由題意可得A（4，0），B（0，3）， PA=3，PE=，PB=4，PF=， 6分 又APB=EPFAPB EPF，PAB=PEFEFAB 7分S2沒有最小值，理由如下：過E作EMy軸于點M，過F作FNx軸于點N，兩線交于點Q由上知M（0，），N（，0），Q（，） 8分而SEFQ= SPEF，S2SPEFSOEFSEFQSOEFSEOMSFONS矩形OMQN= 當時，S2的值隨k2的增大而增大，而0k212 11分0S224，s2沒有最小值 12分二、對特殊三角形的探討【例4】 在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿ABC向終點C運動，連接DM交AC于點N.（1）如圖1，當點M在AB邊上時，連接BN.求證：；若ABC = 60，AM = 4，ABN =，求點M到AD的距離及tan的值；（2）如圖2，若ABC = 90，記點M運動所經(jīng)過的路程為x（6x12）.試問：x為何值時，ADN為等腰三角形. 【解析】 （1）證明：四邊形是菱形，2分又 4分作交的延長線于點，由，得，在中， ， 點到的距離為2. 6分易求，則 7分在中， ，由知， 故 9分（2）解：，菱形是正方形此時，下面分三種情形：）若，則此時，點恰好與點重合，得；10分）若，則.此時，點恰好與點重合，得； 11分）若，則，由，得，又，從而，易求AC=6，故 13分綜上所述：當或12 或時，是等腰三角形 14分（說明：對于）、）分類只要考生能寫出，就給2分）【例5】 已知：如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在軸的正半軸上，在軸的正半軸上，過原點作的平分線交于點，連接，過點作，交于點（1）求過點、的拋物線的解析式；（2）將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與軸的正半軸交于點，另一邊與線段 交于點如果與中的拋物線交于另一點，點的橫坐標為，那么是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）對于中的點，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點，使得直線與的交點與點、構(gòu)成的是 等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由26題圖yxDBCAEEOyxDBCAEEOFKGGyxDBCAEEOQPHGG(P)(Q)Q(P)【解析】 （1）由已知，得，設(shè)過點、的拋物線的解析式為將點的坐標代入，得將和點、的坐標分別代入，得解這個方程組，得故拋物線的解析式為 （2）成立 點在該拋物線上，且它的橫坐標為，點的縱坐標為 設(shè)的解析式為，將點、的坐標分別代入，得 解得的解析式為 ， 過點作于點，則，又， （3）點在上，則設(shè)若，則，解得，此時點與點重合 若，則，解得 ，此時軸與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點的橫坐標為1，點的縱坐標為 若，則，解得，此時，是等腰直角三角形過點作軸于點，則，設(shè)，解得，（舍去）綜上所述，存在三個滿足條件的點，即或或【例6】 （09福建寧德）如圖，已知拋物線的頂點為，與軸相交于、兩點（點在點的左邊），點的橫坐標是1（1）求點坐標及的值；（2）如圖，拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，將拋物線向右平移，平移后的拋物線記為， 的頂點為，當點、關(guān)于點成中心對稱時，求的解析式；（3）如圖，點是軸正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到拋物線拋物線 的頂點為，與軸相交于、兩點（點在點的左邊），當以點、為頂點的三角形是直角三角形時，求點的坐標yxAOBPM圖1C1C2C3圖yxAOBPN圖2C1C4QEF圖【解析】 （1）由拋物線得頂點的為 yxAOBPN圖(2)C1C4QEFHGK點在拋物線上解得， （2）連接，作軸于，作軸于點、關(guān)于點成中心對稱過點，且，頂點的坐標為 拋物線由關(guān)于軸對稱得到，拋物線由平移得到拋物線的表達式為 （3）拋物線由繞點軸上的點旋轉(zhuǎn)得到頂點、關(guān)于點成中心對稱由得點的縱坐標為5設(shè)點坐標為作軸于，作軸于作于旋轉(zhuǎn)中心在軸上，點坐標為坐標為，坐標為，根據(jù)勾股定理得當時，解得，點坐標為 當時，解得，點坐標為，綜上所得，當點坐標為或時，以點、為頂點的三角形是直角三角形【例7】 （本題滿分10分）已知：如圖，直線：經(jīng)過點一組拋物線的頂點（為正整數(shù)）依次是直線上的點，這組拋物線與軸正半軸的交點依次是：（為正整數(shù)），設(shè)（1）求的值；（2分）（2）求經(jīng)過點的拋物線的解析式（用含的代數(shù)式表示）（4分）（3）定義：若拋物線的頂點與軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”探究：當?shù)拇笮∽兓瘯r，這組拋物線中是否存在美麗拋物線？若存在，請你求出相應(yīng)的的值（4分）（第25題圖）yOMxnl123【解析】 （1）在上，2分 （2）由（1）得：， 在上， 當時，3 分 解法一：設(shè)拋物線表達式為：，4分 又， ，5 分 經(jīng)過點的拋物線的解析式為：6 分 解法二：，設(shè)，4 分 把代入：，得，5 分 拋物線的解析式為6 分 （3）存在美麗拋物線7 分 由拋物線的對稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，又，等腰直角三角形斜邊的長小于2，等腰直角三角形斜邊上的高必小于1，即拋物線的頂點的縱坐標必小于 1當時，當時，當時，yOMxnl123美麗拋物線的頂點只有8分若為頂點，由，則；9分若為頂點，由，則，綜上所述，的值為或時，存在美麗拋物線10分二、對特殊四邊形的探討【例8】 （2010福建泉州）我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：反比例函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形.你可以利用這一結(jié)論解決問題.如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將軸所在的直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)度角后的圖形.若它與反比例函數(shù)的圖象分別交于第一、三象限的點，已知點、.（1）直接判斷并填寫：不論取何值，四邊形的形狀一定是 ;（2）當點為時，四邊形是矩形，試求、和有值；觀察猜想：對中的值，能使四邊形為矩形的點共有幾個？(不必說理)（3）試探究：四邊形能不能是菱形？若能, 直接寫出B點的坐標, 若不能, 說明理由.【解析】 （1）平行四邊形（3分）（2）點在的圖象上，（4分）過作軸于，則在中，（5分）又點是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，點關(guān)于原點成中心對稱 （6分）四邊形為矩形，且，（7分）； （8分）能使四邊形為矩形的點共有2個；（9分）（3）四邊形不能是菱形.（10分）法一：點的坐標分別為、四邊形的對角線在軸上.又點分別是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在第一、三象限的交點.對角線與不可能垂直.四邊形不能是菱形法二：若四邊形為菱形，則對角線，且與互相平分，因為點的坐標分別為、所以點關(guān)于原點對稱，且在軸上. （11分）所以應(yīng)在軸上，這與“點分別在第一、三象限”矛盾，所以四邊形不可能為菱形. （12分）【例9】 （2010河南）在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過，三點（1）求拋物線的解析式；（2）若點為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點的橫坐標為，的面積為求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值（3）若點是拋物線上的動點，點是直線上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點、為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點的坐標【解析】 （1）設(shè)拋物線的解析式為，則有，解得拋物線的解析式為（2）過點作軸于點，設(shè)點的坐標為。則（3）滿足題意的點的坐標有4個，分別是：【例10】 （09年浙江）已知拋物線與軸相交于點，頂點為直線分別與軸，軸相交于兩點，并且與直線相交于點（1）填空：試用含的代數(shù)式分別表示點與的坐標，則，； （2）如圖，將沿軸翻折，若點的對應(yīng)點恰好落在拋物線上，與軸交于點，連結(jié)，求的值和四邊形的面積；（3）在拋物線上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，試說明理由第題xyBCODAMNNxyBCOAMN備用圖（第24題）第題xyBCODAMNNxyBCOAMNP1P2備用圖【解析】 （1）， （2）由題意得點與點關(guān)于軸對稱，將的坐標代入得，（不合題意，舍去）， ，點到軸的距離為3，直線的解析式為，它與軸的交點為，點到軸的距離為 （3）當點在軸的左側(cè)時，若是平行四邊形，則平行且等于，把向上平移個單位得到，坐標為，代入拋物線的解析式，得：（不舍題意，舍去）， 當點在軸的右側(cè)時，若是平行四邊形，則與互相平分，與關(guān)于原點對稱，將點坐標代入拋物線解析式得：，（不合題意，舍去）， 存在這樣的點或，能使得以為頂點的四邊形是平行四邊形【例11】 （09西城一模）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B，將OBA對折，使點O的對應(yīng)點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式； （2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由； （3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出的取值范圍.【解析】 （1）點C的坐標為. 點A、B的坐標分別為， 可設(shè)過A、B、C三點的拋物線的解析式為. 將代入拋物線的解析式，得. 過A、B、C三點的拋物線的解析式為. （2）可得拋物線的對稱軸為，頂點D的坐標為 ，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G.直線BC的解析式為.- - - - - - - - - - 4分設(shè)點P的坐標為.解法一：如圖1，作OPAD交直線BC于點P，連結(jié)AP，作PMx軸于點M. OPAD， POM=GAD，tanPOM=tanGAD. ，即.解得. 經(jīng)檢驗是原方程的解.此時點P的坐標為. 但此時，OMGA. OPAD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等， 直線BC上不存在符合條件的點P. 解法二：如圖3，取OA的中點E，作點D關(guān)于點E的對稱點P，作PNx軸于點N. 則PEO=DEA，PE=DE.可得PENDEG 由，可得E點的坐標為.NE=EG=， ON=OENE=，NP=DG=. 點P的坐標為. x=時， 點P不在直線BC上. 直線BC上不存在符合條件的點P . （3）的取值范圍是. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分說明：如圖3，由對稱性可知QO=QH，.當點Q與點B重合時，Q、H、A三點共線，取得最大值4（即為AH的長）；設(shè)線段OA的垂直平分線與直線BC的交點為K，當點Q與點K重合時，取得最小值0.四、其它問題【例12】 如圖1，已知點、，直線經(jīng)過點，且與軸交于點，將沿直線折疊得到.（1）填空：點坐標為（_，_），點坐標為（_，_）；（2）若拋物線經(jīng)過兩點，求拋物線的解析式；（3）將（2）中的拋物線沿軸向上平移，設(shè)平移后所得拋物線與軸交點為，點是平移后的拋物線與直線的公共點，在拋物線平移過程中是否存在某一位置使得直線軸.若存在，此時拋物線向上平移了幾個單位？若不存在，請說明理由.來源:學(xué)_科_網(wǎng)（提示：拋物線的對稱軸是，頂點坐標是 【解析】 （1）（2）拋物線 經(jīng)過 代入，解得： ， 所求拋物線解析式為：（3）答：存在解法一： 設(shè)拋物線向上平移個單位能使軸，則平移后的解析式為：此時拋物線與軸交點當點在直線上，且滿足直線軸時則點的坐標為又 在平移后的拋物線上，則有解得：或（）當 時，點，點M的坐標為此時，點E,M重合，不合題意舍去。（ii）當 時，點M的坐標為符合題意綜合（i）（ii）可知，拋物線向上平移個單位能使軸。解法二：當點在拋物線對稱軸的左側(cè)或在拋物線的頂點時，僅當重合時，它們的縱坐標相等。不會與軸平行當點在拋物線的右側(cè)時，設(shè)拋物線向上平移個單位能使軸則平移后的拋物線的解析式為 拋物線與軸交點拋物線的對稱軸為：根據(jù)拋物線的對稱性，可知點的坐標為時，直線軸將代入得， 解得： 拋物線向上平移個單位能使軸【例13】 （2010年福州）如圖1，在平面直角坐標系中，點B在直線上，過點作軸的垂線，垂足為，。若拋物線過點兩點。（1）求該拋物線的解析式；（2）若A點關(guān)于直線的對稱點為C，判斷點C是否在該拋物線上，并說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，O1是以BC為直徑的圓。過原點O作O1的切線OP，P為切點（P與點C不重合），拋物線上是否存在點Q，使得以PQ為直徑的圓與O1相切？若存在，求出點Q的橫坐標；若不存在，請說明理由?！窘馕觥?（1）把分別代入。得，解得該拋物線的解析式為。（2）點在拋物線上。理由：過作軸于點，連結(jié)，設(shè)交于點.點在直線上，關(guān)于直線對稱，.又軸，由勾股定理得，.，又，當時，點在拋物線上。（3）拋物線上存在點，使得以為直徑的圓與相切。過點作軸于點，連結(jié)，過作軸于點。，是中點，由平行線分線段成比例定理得，同理可得，點坐標為。，為的切線。又為切線，。四邊形為正方形，。設(shè)直線的解析式為.把分別代入，得，解得直線的解析式為。若以為直徑的圓與相切，則點為直線與拋物線的交點，可設(shè)點為直線與拋物線的交點，可設(shè)點的坐標為，則有，整理得，解得.點的橫坐標為或【例14】 （2010甘肅9市）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，設(shè)拋物線的頂點為（1）求該拋物線的解析式與頂點的坐標；（2）以為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？（3）探究坐標軸上是否存在點，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，請指出符合條件的點的位置，并直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由【解析】 （1）設(shè)該拋物線的解析式為，由拋物線與軸交于點,可知. 即拋物線的解析式為 1分把、代入, 得 解得. 拋物線的解析式為 3分 頂點的坐標為. 4分說明：只要學(xué)生求對，不寫“拋物線的解析式為”不扣分.（2）以為頂點的三角形是直角三角形. 5分理由如下：過點分別作軸、軸的垂線，垂足分別為.在中， . 6分在中， . 7分在中， . 8分， 故為直角三角形. 9分（3）連接，可知，得符合條件的點為 10分過作交軸正半軸于，可知，求得符合條件的點為 11分過作交軸正半軸于，可知，求得符合條件的點為 12分符合條件的點有三個：，.家庭作業(yè)1 如圖，在直角坐標系中，點的坐標為，連結(jié)，將線段繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段（1）求點的坐標；（2）求經(jīng)過、三點的拋物線的解析式；（3）在中拋物線的對稱軸上是否存在點，使的周長最?。咳舸嬖?，求出點的坐標；若不存在，請說明理由（4）如果點是中的拋物線上的動點，且在軸的下方，那么是否有最大面積？若有，求出此時點的坐標及的最大面積；若沒有，請說明理由CBAOyx DBAOyxP【解析】 （1） （2）設(shè)拋物線的解析式為，代入點，得，因此（3）如圖，拋物線的對稱軸是直線，當點位于對稱軸與線段的交點時，的周長最小設(shè)直線為所以解得，因此直線為，當時，因此點的坐標為（4）如圖，過作軸的平行線交于當時，的面積的最大值為，此時 2 如圖 12，已知直線過點和，是軸正半軸上的動點，的垂直平分線交于點，交軸于點 （1）直接寫出直線的解析式； （2）設(shè)，的面積為，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；并求出當時，的最大值； （3）直線過點且與軸平行，問在上是否存在點， 使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點C的坐標，并證明；若不存在，請說明理由LAOMPBxyL1圖12Q【解析】 （1）2分（2），點的橫坐標為，當，即時，3分當時，4分當，即時，當時，有最大值6分（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，所以，又軸，則，兩點關(guān)于直線對稱，所以，得7 分LAOPBxyL123題圖-1QC下證連，則四邊形是正方形 法一：（i）當點在線段上，在線段上（與不重合）時，如圖1 由對稱性，得， ， 8分（ii）當點在線段的延長線上，在線段上時，如圖2，如圖3 ， 9分 （iii）當點與點重合時，顯然 綜合（i）（ii）（iii）， yLAOPBxL123題圖-3QC21在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形11 分 LAOPBxL123題圖-2QC21y法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，所以，又軸， 則，兩點關(guān)于直線對稱，所以，得 7 分 延長與交于點 （i）如圖4，當點在線段上（與不重合）時，四邊形是正方形， 四邊形和四邊形都是矩形，和都是等腰直角三角形 LAOPBxyL123題圖-1QC又， ， ， ， 又， 8分（ii）當點與點重合時，顯然 9分 （iii）在線段的延長線上時，如圖5， ，1=2 綜合（i）（ii）（iii）， 在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形 11分yLAOPB