《群論-常哲》群論課程大綱.doc

窗體頂端課程大綱課程編號：310104H-1課時：60學分：5.0課程屬性：專業(yè)核心課主講教師：常哲等課程名稱：群論14-15秋季教學目的、要求 本課程為理論物理學二級學科研究生的專業(yè)核心課，及其它相關專業(yè)研究生的專業(yè)普及課。主要學習群論與群論方法在物理學對稱性研究中的基本應用，重點要求掌握群及其線性表示的基本理論，掌握點群、三維轉(zhuǎn)動群、置換群及SU(N)群的基本性質(zhì)。通過本課程的學習，希望學生掌握群論的基本知識，特別是學會用群論研究物理系統(tǒng)對稱性質(zhì)的方法。 預修課程 線性代數(shù)、量子力學 教材 物理學中的群論，馬中騏著，第二版，科學出版社。 主要內(nèi)容 第零章 群論與對稱性 （1課時） 教學目標：本章介紹群的定義，并結(jié)合具體物理系統(tǒng)中對稱變換與對稱性實例闡明群論是物理系統(tǒng)中對稱性研究的系統(tǒng)工具。 主要內(nèi)容：（按每課時內(nèi)容分節(jié)） 1. 群的定義、群論與對稱性的關系、及其在具體物理系統(tǒng)中的應用。 第一章 數(shù)學準備 （3課時） 教學目標：綜述本課程必備的集合論與線性代數(shù)基礎知識，為后續(xù)群、矩陣群和群表示論做好數(shù)學準備。 主要內(nèi)容：（按每課時內(nèi)容分節(jié)） 1. 集合論復習：集合、集合上的映射、映射的復合、等價關系和劃分； 2. 線性代數(shù)復習：線性空間及線性空間的基底、線性空間的直和與直積、線性映射(變換)與矩陣、矩陣的若干運算和性質(zhì)； 3. 線性代數(shù)復習：線性空間的基底變換與相似變換、方陣的對角化與本征值問題、矩陣的直乘等概念。 重點：線性空間和線性變換 難點：線性映射的矩陣表示、線性映射的不變子空間概念。 第二章 群的基本概念 （12課時） 教學目標：學習群的定義及相關性質(zhì)、群的各種重要子集、群之間的同態(tài)與同構(gòu)映射關系。通過具體例子了解物理系統(tǒng)中的有限群和連續(xù)群，特別是點群。從群論的角度研究晶體的對稱性，討論32種晶格點群、7種晶系、14種布拉菲格子和73種簡單空間群的性質(zhì)。 主要內(nèi)容：（按每課時內(nèi)容分節(jié)） 1. 群的定義及一般性質(zhì)、物理系統(tǒng)中經(jīng)常用到的群、群的簡單分類、生成元與秩； 2. 有限群的重排定理及乘法表、由重排定理給出一些低階群的乘法表； 3. 子群、陪集、拉格朗日定理； 4. 共軛元素、共軛等價類、不變子群和商群； 5. 同態(tài)映射和同構(gòu)映射的定義及相關概念； 6. 群的同態(tài)定理、群的直積； 7. 點群簡介(1)：點群的定義及分類，N階循環(huán)群CN 的定義、構(gòu)造、生成元、子群、類等概念； 8. 點群簡介(2)：正N邊形對稱群DN 的定義、構(gòu)造、生成元、子群、類等概念，以及在正多邊形系統(tǒng)中的應用； 9. 點群簡介(3)：正多面體對稱群T群、O群和I群 的定義、構(gòu)造、生成元、子群、類等概念，以及在正多面體系統(tǒng)中的應用； 10. 點群簡介(4)：I型和P型非固有點群的定義及構(gòu)造； 11. 晶體的對稱性與空間群：從晶體結(jié)構(gòu)的數(shù)學抽象談起，介紹晶體系統(tǒng)中的一般對稱性操作：平移、旋轉(zhuǎn)、及其復合；介紹平移群、空間群、簡單空間群、晶體點群等概念；由平移操作對旋轉(zhuǎn)的限制，給出所有可能的晶體點群（11種固有點群和21種非固有點群）； 12. 7大晶系與14種布拉菲格子： 通過點群操作對晶格形狀的限制，給出七大晶系；并進一步討論點群操作對原始格子上增加不破壞原始格子對稱性點的限制，給出14種布拉菲格子和73種空間群。 重點：群的定義、子集、同態(tài)映射，平移群、空間群、晶體點群、主軸、晶系、布拉菲格子 難點：共軛等價類、商群、同態(tài)定理，非固有晶體點群、倒格矢、布拉菲格子 第三章 群的線性表示理論 （14課時） 教學目標：掌握群的線性表示基本理論，包括等價表示和表示的幺正性、不可約表示及表示的約化、舒爾定理與有限群的不等價不可約表示、有限群的特征標表、表示的直接乘積及其約化、維格納-埃伽定理、克萊布施-戈登級數(shù)與系數(shù)。 主要內(nèi)容： 1. 線性表示的定義、特征標；真實表示、非真實表示、恒等表示、自身表示、幺正表示、實正交表示； 2. 群的表示空間、等價表示、有限群表示的幺正性； 3. 群空間、群函數(shù)、群代數(shù)； 4. 有限群的正則表示及其性質(zhì)、內(nèi)稟正則表示； 5. 有限群的可約表示與不可約表示的定義及一般性質(zhì)； 6. 舒爾定理及其推論； 7正交定理及其推論； 8. 表示的完備性； 9. 有限群不可約表示的特征標表的構(gòu)造； 10. 循環(huán)群、D2群、D3群的特征標表； 11. 物理應用(1)：定態(tài)波函數(shù)按對稱群表示分類、有限群直乘表示的約化、克萊布施-戈登級數(shù)與系數(shù)； 12. 物理應用(2)：維格納-埃伽定理、不可約張量算符及其矩陣元； 13. 物理應用(3)：正則簡并與偶然簡并、選擇定則； 14. 物理應用舉例。 重點：(不)可約表示、特征標、表示空間、不可約張量、C-G級數(shù)與系數(shù)、維格納-埃伽定理 難點：有限群的特征標表、舒爾引理、正交定理、可約表示的約化 第四章 三維轉(zhuǎn)動群 14 課時 教學目標：三維轉(zhuǎn)動群是最簡單并且在物理上最常用的李群。本章通過對三維轉(zhuǎn)動群及其表示的系統(tǒng)研究，介紹李群及其表示理論的一些基本概念，并展示群論方法在物理學中應用的一般途徑。 主要內(nèi)容： 1. 李群定義、組合函數(shù)的性質(zhì)、一些李群的例子； 2. 群空間及其一般整體性質(zhì)、緊致李群上的積分； 3. 李群的線性表示、生成元、不可約表示； 4. 李氏第一和第二定理、李代數(shù)； 5. 李氏第三定理、李群的伴隨表示； 6. SO(3)群的定義、參數(shù)化及群空間； 7. SO(3)群李代數(shù)、自身表示及群上的積分； 8. SO(3)群的歐拉角參數(shù)化； 9. SU(2)群的參數(shù)化、群空間、李代數(shù)； 10. SU(2)群與SO(3)群的同態(tài)對應關系、SU(2)群上的積分； 11. SU(2)群在二元齊次多項式復函數(shù)空間上的作用及這些表示的不可約性及完備性； 12. SU(2)群不可約表示的生成元、直乘表示的約化、克萊布施-戈登(C-G)級數(shù)與系數(shù)； 13. SO(3)群、SU(2)群與角動量理論的聯(lián)系； 14. 標量場、矢量場、旋量場、張量場及其在空間轉(zhuǎn)動下的變換規(guī)則。 重點：李群的群空間、組合函數(shù)、生成元、李代數(shù)、SO(3)群(SU(2)群)的不可約表示、克萊布施-戈登級數(shù) 難點：Haar測度、李氏三定理、角動量理論 第五章 置換群 （6課時） 教學目標：了解置換群的基本結(jié)構(gòu)與性質(zhì)；學習代數(shù)的一般理論及群代數(shù)的分解；掌握利用楊算符構(gòu)造置換群不可約表示的方法。 主要內(nèi)容： 1. 置換群的基本概念、輪換和輪換結(jié)構(gòu)； 2. 置換群的類、交變子群、置換群的生成元； 3. 代數(shù)的一般理論、結(jié)合代數(shù)、群代數(shù)和正則表示； 4. 群代數(shù)的理想和冪等元、不等價的原始冪等元； 5. 楊圖、楊表、楊算符、置換群代數(shù)的原始冪等元； 6. 置換群的不可約表示。 重點：楊圖、楊表、楊算符、置換群的不可約表示 難點：群代數(shù)和正則表示、群代數(shù)的理想和冪等元 第六章 SU(N)群的不可約表示 （6課時） 教學目標：了解U(N)群和SU(N)群的基本性質(zhì)，學習U(N)群和SU(N)群的張量表示及其約化。 主要內(nèi)容： 1. 矩陣群、U(N)群和SU(N)群； 2. U(N)群和SU(N)群的一般性質(zhì)； 3. U(N)群和SU(N)群的張量表示、外尓互反性； 4. 張量楊表、不可約對稱張量作為U(N)群和SU(N)群的表示空間； 5. 特征標與直乘表示的約化、立特武德-理查森規(guī)則； 6. 協(xié)變和逆變張量、SU(N)群的單純性； 重點：不可約對稱張量作為U(N)群和SU(N)群的表示空間、立特武德-理查森規(guī)則 難點：外尓互反性、張量楊表 第七章 洛倫茲群與龐卡萊群簡介（2課時） 教學目標：初步了解洛倫茲群與龐卡萊群及其表示。 主要內(nèi)容： 1. SO(N)群簡介、SO(4)群和洛倫茲群； 2. 洛倫茲群的表示、龐卡萊群簡介；