復變函數 課程教學大綱.doc

復變函數 課程教學大綱適用專業(yè)： 本科數學各專業(yè) 學 時： 50 先修課程： 數學分析、高等代數 制定日期： 2002年9月 一、本課程的地位和作用復變函數論是數學各專業(yè)的一門重要基礎課，也是數學分析的一門后繼課程。本課程用分析的、幾何的、代數的等方法研究復變量的解析函數的有關問題，已經形成了十分豐富、系統、完美、和諧的理論體系，其理論和方法已經滲入到純粹數學和應用數學的各個分支，同時在流體力學、空氣動力學、彈性力學、電磁學、熱學、電工及通訊等方面都有著極其重要的應用。另外，還可以利用復變函數論知識解決中學數學中的問題。學習復變函數論這門課程，可以使學生獲得必要的數學知識修養(yǎng)，提高數學素質，鍛煉邏輯思維和復雜的計算能力，并為學生學習后繼課程打下良好的基礎。二、本課程的教學目標通過講授本課程，使學生獲得：（1）復變函數的積分理論；（2）復變函數的級數理論；（3）復變函數的幾何理論等方面的基本概念、基本理論和基本方法。認識到高等數學對初等數學的指導作用；認識到一些不同數學分支之間的內在聯系和互相影響。培養(yǎng)學生的運算能力，抽象思維能力和邏輯推理能力。三、課程內容和基本要求（一）復數與復變函數1教學基本要求（1）詳細介紹引進復數的過程以及復數在整個數學發(fā)展過程中所起的重要作用；（2）熟練掌握復數的三種形式的表示法，復數的代數運算。（3）掌握用復數解決幾何問題的思想和方法。（4）了解復平面上點集的一般概念，能用復數方程或不等式表示常見的區(qū)域和曲線。（5）能精確敘述復變函數的極限與連續(xù)的概念，掌握其基本性質。（6）詳細介紹引進擴充復平面的思想和方法，說明緊化的重要作用。2教學內容（1）*復數及其運算。復平面。*復數的模與輻角及其三種表示法。（2）復數的乘冪與方根。（3）復數在幾何中的應用。（4）復平面上點集的有關概念。*區(qū)域、曲線的有關概念，約當定理。復數方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域。（5）*復變函數與映射（或變換）的概念，一個復變函數與一對二元實變函數的關系。（6）復變函數的極限的概念及性質。（7）復變函數連續(xù)性的概念、運算法則及性質。（8）無遠點，擴充復平面與球面，擴充復平面上的四則運算。（二）解析函數1教學基本要求（1）要求學生深刻理解復解析函數的概念以及可導的定義，弄清這兩個概念之間的聯系與區(qū)別。（2）牢固掌握Caucly-Riemann方程與復值函數可微解析的等價刻畫，并要求學生能熟練運用Caucly-Riemann方程判定函數的可微性、解析性以及論證解析函數的一些基本性質。（3）熟練掌握和運用解析函數的求導法則和求導公式。（4）牢固掌握三類初等解析函數（即指數函數、三角函數和雙曲函數）的定義、基本性質及其相互關系與內在聯系。（5）介紹初等多值函數的概念以及它們的性質，了解其多值性。2教學內容（1）復變函數的導數與微分。（2）*解析函數的概念與基本性質。（3）*Cauchy-Riemann方程與Cauchy-Riemann條件。（4）解析函數的求導公式與求導法則。（5）*復變函數的可微性與解析性的等價刻畫、充分條件與必要條件。（6）初等解析函數：指數函數，三角函數，雙曲函數（7）初等多值函數：根式函數，對數函數，一般冪函數，反三角函數。（三）復變函數的積分1教學基本要求（1）掌握沿有向曲線上復變函數積分的概念與基本性質，計算方法以及復變函數積分與二元實變函數的第二型線積分的聯系。（2）解析函數的Cauchy積分定理是本章的核心。要求學生熟練掌握和運用Cauchy積分定理，柯西積分公式和高階導數分式。（3）理解解析函數在單連通區(qū)域內的不定積分的概念。（4）掌握Cauchy不等式，Liourille定理，了解Morera定理，并會利用這些結論解決一些問題。尤其用Lioarille定理證明代數學基本定理，通過用復分析的方法證明代數學基本定理這一事實，讓學生認識到不同數學分支間的相互聯系和相互滲透。（5）掌握調和函數的概念以及解析函數與調和函數的關系。2教學內容（1）復變函數積分的定義及其基本性質與計算。（2）*單連通區(qū)域內的Cauchy積分定理。（3）不定積分。（4）多連通區(qū)域內的Cauchy積分定理。（5）*Cauchy積分公式。*解析函數的無窮可微性定理。高階導數公式。（6）Cauchy不等式。Liourille定理。代數學基本定理的證明。Morera定理。（7）調和函數的概念。解析函數與調和函數的關系。（四）解析函數的冪級數表示法1教學基本要求（1）理解復函數項級數的概念，掌握一致收效性的判別法。（2）掌握冪級數的基本性質，會利用公式求冪級數的收斂半徑。（3）理解解析函數的冪級數定義的等價性。（4）牢記常用初等解析函數的冪級數展開式，并能熟練運用。（5）掌握解析函數的零點孤立性定理，解析函數的唯一性定理。（6）掌握解析函數論中最有用的定理之一最大模原理。2教學內容（1）復數項級數的基本概念及其收斂性判別準則。（2）復函數項級數的概念，收斂、一致收斂性的概念及其判別準則。（3）冪級數的收斂狀況，收斂圓、收斂半徑以及在收斂圓內的性質。（4）*解析函數在一點鄰域內的泰勒展式。（5）常用初等解析函數的泰勒展式。（6）冪級數的和函數在其收斂圓周上的狀況。（7）*解析函數的零點孤立性，內部唯一性，最大模原理。（五）解析函數的Laurent展式與孤立奇點1教學基本要求（1）理解雙邊冪級數的概念。（2）能求出一些較簡單的Laurent級數的收斂圓環(huán)以及解析函數的Laurent展式。（3）掌握解析函數的三種類型奇點的定義，特征以及判別方法。了解解析函數在無窮遠點的性質。（4）知道整函數和亞純函數的概念。2教學內容（1）雙邊冪級數的概念，收斂圓環(huán)。（2）*解析函數的Laurent展式，系數公式，收斂域。（3）*解析函數的三種類型（可去奇點、極點、本性奇點）的孤立奇點的定義，判別方法及其特征性質。（4）解析函數在無窮遠點的性質。（5）整函數與亞純函數的概念。（六）殘數理論及其應用1教學基本要求（1）掌握殘數的概念，深刻理解殘數定理。（2）熟練掌握殘數的計算方法（包括在無窮遠點的殘數）。（3）了解應用殘數定理計算實積分的方法（三種），并能計算簡單的實積分。（4）了解輻角原理及Rouche定理，并能利用這此結論判定解析函數零點位置。2教學內容（1）*殘數的定義。殘數定理。（2）*殘數的計算（含無窮點處的殘數的計算）。（3）*關于三種類型實積分的計算。（4）輻角原理，儒歇定理。（5）解析函數零點位置的判定。注：按全國自然科學名詞審定委員會1993年頒布的數學名詞，“殘數”應為“留數”。（七）保形變換1教學基本要求（1）理解導數的模與輻角的幾何意義，理解解析變換的特性保域性與保角性。（2）理解線性變換（也稱為Mobius變換或分式線性變換）的特性。（3）能求一些簡單的單連通區(qū)域與單位圓或半平面之間的變換。（4）了解黎曼映射定理，邊界對應定理。2教學內容（1）導數的幾何意義。保形變換的概念。（2）線性變換及其應用。（3）某些初等函數所構成的保形變換。（4）黎曼存在定理。邊界對應定理。（八）解析開拓（本章只作了解即可）1教學基本要求（1）了解解析開拓的概念。（2）了解解析開拓的冪級數方法，以及透弧直接解析開拓。（3）了解對稱原理和黎曼面的概念。2教學內容（1）解析開拓的概念。（2）冪級數開拓法；透弧直接解析開拓的定理。（3）對稱原理。（4）黎曼面。四、學時分配序號名稱教學環(huán)節(jié)時學講 課習 題實 驗上 機課 程設 計小 計一復數與復變函數426二解析函數538三復變函數積分538四解析函數冪級表示法426五解析函數的羅朗展式與孤立奇點527六殘數理論及其應用6410七保形變換314八解析開拓11總計331750注：本課程面授教學為50學時，自學時數至少100學時。五、教學方法的建議1在講授復變函數論這門課程過程中，應注意與數學分析中的相應知識作比較，注意兩者之間的異同。對于化為實的情形去處理的問題以及與實的情形類似的部分可以指導學生自己去完成學習。2講授本課程時，注意盡可能用新觀念與新方法處理老問題。3講授本課程采用詳細講授與講座講授相結合的辦法。如初等多值函數，整函數與亞純函數，解析開拓等部分就宜采用講座式講授。六、主要教材及參考書1主要教材：復變函數論（第二版），鐘玉泉編，高等教育出版社。2參考書：（1）復變函數學習指導書，鐘玉泉編，高等教育出版社。（2）復變函數、積分變換 李建林編，西北工業(yè)大學出版社。（3）復變函數，李慶忠主編，科學出版社。（4）復變函數論，張錦豪等編，高等教育出版社，施普林格出版社。七、說明：本大綱中“*”表示重點內容，“”表示難點內容。大綱撰寫人：徐州師范大學數學系 蘇簡兵（教授）4 復變函數 課程教學大綱適用專業(yè)： ?？茢祵W各專業(yè) 學 時： 36 先修課程： 數學分析、高等代數 制定日期： 2002年9月 一、本課程的地位和作用復變函數論是數學各專業(yè)的一門重要基礎課，也是數學分析的一門后繼課程。本課程用分析的、幾何的、代數的等方法研究復變量的解析函數的有關問題，已經形成了十分豐富、系統、完美、和諧的理論體系，其理論和方法已經滲入到純粹數學和應用數學的各個分支，同時在流體力學、空氣動力學、彈性力學、電磁學、熱學、電工及通訊等方面都有著極其重要的應用。另外，還可以利用復變函數論知識解決中學數學中的問題。學習復變函數論這門課程，可以使學生獲得必要的數學知識修養(yǎng)，提高數學素質，鍛煉邏輯思維和復雜的計算能力，并為學生學習后繼課程打下良好的基礎。二、本課程的教學目標通過講授本課程，使學生獲得：（1）復變函數的積分理論；（2）復變函數的級數理論；（3）復變函數的幾何理論等方面的基本概念、基本理論和基本方法。認識到高等數學對初等數學的指導作用；認識到一些不同數學分支之間的內在聯系和互相影響。培養(yǎng)學生的運算能力，抽象思維能力和邏輯推理能力。三、課程內容和基本要求（一）復數與復變函數1教學基本要求（1）詳細介紹引進復數的過程以及復數在整個數學發(fā)展過程中所起的重要作用；（2）熟練掌握復數的三種形式的表示法，復數的代數運算。（3）掌握用復數解決幾何問題的思想和方法。（4）了解復平面上點集的幾個概念，能用復數方程或不等式表示常見的區(qū)域和曲線。（5）能精確敘述復變函數的極限與連續(xù)的概念，掌握其基本性質。（6）了解引進擴充復平面的思想和方法。2教學內容（1）*復數及其運算。復平面。（2）*復數的模與輻角。（3）復數的乘冪與方根。（4）*復數在幾何中的應用。（5）復平面上點集的幾個概念。*區(qū)域，曲線，約當定理。（6）*復變函數的概念，極限與連續(xù)性。（7）擴充復平面與復球面。（二）解析函數1教學基本要求（1）要求學生深刻理解復解析函數的概念以及可導的定義，弄清這兩概念之間的聯系與區(qū)別。（2）牢固掌握Cauchy-Riemann方程、復值函數可微與解析的等價刻畫，以及充分條件和必要條件，并能利用這些結論判定函數的可微性與解析性。（3）熟練掌握和運用解析函數的求導法則和求導公式。（4）牢固掌握二類初等解析函數（即指數函數與三角函數）的定義、基本性質及其相互關系。（5）介紹初等多值函數的概念以及它們的性質，了解其多值性。2教學內容（1）復變函數的導數與微分。（2）*解析函數的概念與基本性質。（3）*Cauchy-Riemann方程與Cauchy-Riemann條件。（4）解析函數的求導公式與求導法則。（5）*復變函數的可微性與解析性的等價刻畫、充分條件與必要條件。（6）初等解析函數：指數函數，三角函數。（7）初等多值函數：根式函數，對數函數。（三）復變函數的積分1教學基本要求（1）掌握沿有向曲線上復變函數積分的概念與基本性質，計算方法以及復變函數積分與二元實變函數的第二型線積分的聯系。（2）解析函數的Cauchy積分定理是本章的核心。要求學生熟練掌握和運用Cauchy積分定理，柯西積分公式和高階導數分式。（3）理解解析函數在單連通區(qū)域內的不定積分的概念。（4）掌握Cauchy不等式，Liouville定理，Morera定理以及用Loiuville定理證明代數學基本定理。（5）了解調和函數的概念以及解析函數與調和函數的關系。2教學內容（1）復變函數積分的定義及其基本性質與計算。（2）*單連通區(qū)域內的Cauchy積分定理。（3）不定積分。（4）多連通區(qū)域內的Cauchy積分定理。（5）*Cauchy積分公式。*解析函數的無窮可微性定理。高階導數公式。（6）Cauchy不等式。Liourille定理。代數學基本定理的證明。Morera定理。（7）調和函數的概念。解析函數與調和函數的關系。（四）解析函數的級數表示法1教學基本要求（1）理解復函數項級數的概念。（2）掌握一致收斂性的判別法。（3）掌握冪級數的基本性質（斂散性、解析性），會利用公式求簡單冪級數的收斂半徑。（4）牢記常用初等解析函數的冪級數展開式，并能熟練運用。（5）了解解析函數的零點孤立性定理，解析函數的唯一性定理。（6）理解雙邊冪級數的概念。（7）能求出較簡單的解析函數的Laurent展式。（8）掌握解析函數的三種類型奇點的定義、特征以及判別方法。（9）了解解析函數在無窮遠點的性質。（10）了解整函數及亞純函數的概念。2教學內容（1）復數項級數的概念及其收斂性判別準則。（2）復函數項級數的概念，收斂、一致收斂性的概念及其判斷準則。（3）冪級數的收斂狀況，收斂圓、收斂半徑以及冪級數和函數的解析性。（4）解析函數在一點鄰域內或區(qū)域內的泰勒展式。（5）初等解析函數的泰勒展式。（6）解析函數的零點孤立性定理、唯一性定理。（7）雙邊冪級數的概念。（8）解析函數的Laurent展式。（9）解析函三種類型的孤立奇點（即可去奇點、極點、本性奇點）的定義、判別方法及其特征性質。（10）整函數及亞純函數的概念。（五）殘數理論及其應用1教學基本要求（1）掌握殘數的概念，深刻理解殘數定理。（2）熟練掌握殘數的計算方法。（3）了解應用殘數定理計算實積分的方法（前兩種）。（4）了解輻角原理、Rouche定理。2教學內容（1）*殘數的定義。殘數定理。（2）*殘數的計算（含無窮點處的殘數的計算）。（3）前兩種類型實積分的計算。（4）輻角原理，儒歇定理。注：按全國自然科學名詞審定委員會1993年頒布的數學名詞，“殘數”應為“留數”。（六）保形變換（本章僅供學員了解內容，不作其它要求）1教學基本要求（1）了解導數的模與輻角的幾何意義，理解解析變換的特性保域性與