2008年全國數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題詳細(xì)參考答案.doc

中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2008年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案題 號(hào)一二三總 分156101112 1314得 分評(píng)卷人復(fù)查人答題時(shí)注意：1用圓珠筆或鋼筆作答.2解答書寫時(shí)不要超過裝訂線.3草稿紙不上交.一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里. 不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1已知實(shí)數(shù)滿足 ，則的值為（ ）（A）7 （B） （C） （D）5【答】（A）解：因?yàn)椋?，由已知條件得， ，所以 7另解：由已知得：，顯然，以為根的一元二次方程為，所以故2把一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個(gè)正面朝上的編號(hào)分別為m，n，則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）【答】（C）解：基本事件總數(shù)有6636，即可以得到36個(gè)二次函數(shù). 由題意知0，即4.通過枚舉知，滿足條件的有17對(duì). 故.3有兩個(gè)同心圓，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)，小圓周上有2個(gè)不同的點(diǎn)，則這6個(gè)點(diǎn)可以確定的不同直線最少有( ) （A）6條 （B） 8條 （C）10條 （D）12條（第3題）【答】（B）解：如圖，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)中，至少有一個(gè)不是四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，則它與A，B，C，D的連線中，至少有兩條不同于A，B，C，D的兩兩連線從而這6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線不少于8條當(dāng)這6個(gè)點(diǎn)如圖所示放置時(shí)，恰好可以確定8條直線所以，滿足條件的6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線最少有8條（第4題）4已知是半徑為1的圓的一條弦，且以為一邊在圓內(nèi)作正，點(diǎn)為圓上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且，的延長線交圓于點(diǎn)，則的長為（ ）（A） （B）1 （C） （D）a【答】（B）解：如圖，連接OE，OA，OB 設(shè)，則 又因?yàn)?，所以，于是另解：如圖，作直徑EF，連結(jié)AF，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作B，因?yàn)锳BBCBD，則點(diǎn)A，C，D都在B 上，由所以5將1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（ ）（A）2種 （B）3種 （C）4種 （D）5種【答】（D）解：設(shè)是1，2，3，4，5的一個(gè)滿足要求的排列首先，對(duì)于，不能有連續(xù)的兩個(gè)都是偶數(shù)，否則，這兩個(gè)之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾又如果（1i3）是偶數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說明一個(gè)偶數(shù)后面一定要接兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇數(shù)，除非接的這個(gè)奇數(shù)是最后一個(gè)數(shù)所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6對(duì)于實(shí)數(shù)u，v，定義一種運(yùn)算“*”為：若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答】，或解：由，得，依題意有 解得，或7小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時(shí)間是 分鐘【答】4解：設(shè)18路公交車的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為米每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則 每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則 （第8題5數(shù)，段成比例，所以）由，可得 ，所以 即18路公交車總站發(fā)車間隔的時(shí)間是4分鐘8如圖，在中，AB=7，AC=11，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)， AD是BAC 的平分線，MFAD，則FC的長為 （第8題答案5數(shù)，段成比例，所以）【答】9解：如圖，設(shè)點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接MN，則MNAB又，所以 ，所以 因此 9另解：如圖，過點(diǎn)C作AD的平行線交BA的延長線為E，延長MF交AE于點(diǎn)N.則所以.又，所以四邊形是等腰梯形，即9ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心I作DEBC，分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，則DE的長為 （第9題答案5數(shù)，段成比例，所以）【答】解：如圖，設(shè)ABC的三邊長為a，b，c，內(nèi)切圓I的半徑為r，BC邊上的高為，則，所以 因?yàn)锳DEABC，所以它們對(duì)應(yīng)線段成比例，因此，所以 ，故 另解： （這里）所以，由ADEABC，得，即10關(guān)于x，y的方程的所有正整數(shù)解為 【答】解：因?yàn)?08是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù)設(shè)，則，同上可知，a，b都是偶數(shù)設(shè)，則，所以，c，d都是偶數(shù)設(shè)，則，于是 ，其中s，t都是偶數(shù)所以所以可能為1，3，5，7，9，進(jìn)而為337，329，313，289，257，故只能是289，從而7于是 因此 另解：因?yàn)閯t有又y正整數(shù)，所以 令因?yàn)槿魏瓮耆椒綌?shù)的個(gè)位數(shù)為：1，4，5，6，9由知的個(gè)位數(shù)只能是1和1或6和6；當(dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)是1和1時(shí)，則的個(gè)位數(shù)字可以為1或9但個(gè)位數(shù)為1和9的數(shù)的平方數(shù)的十位數(shù)字為偶數(shù)，與的十位數(shù)字為3矛盾。當(dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)是6和6時(shí)，則的個(gè)位數(shù)字可以為4或6。由，取106，114，116，124，126，134，136，144，146代入得，只有當(dāng)136時(shí)，=56，即解得三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得OAB的面積值等于（1） 用b表示k；（2） 求OAB面積的最小值 解：（1）令，得；令，得所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，于是，OAB的面積為由題意，有，解得 ， 5分 （2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)，時(shí)，不等式中的等號(hào)成立 所以，ABC面積的最小值為 15分 12是否存在質(zhì)數(shù)p，q，使得關(guān)于x的一元二次方程有有理數(shù)根？ 解：設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)令，其中n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)則 5分 由于1q+n，且與同奇偶，故同為偶數(shù)因此，有如下幾種可能情形： 消去n，解得 10分對(duì)于第1，3種情形，從而q5；對(duì)于第2，5種情形，從而q4（不合題意，舍去）；對(duì)于第4種情形，q是合數(shù)（不合題意，舍去）又當(dāng)，q5時(shí)，方程為，它的根為，它們都是有理數(shù)綜上所述，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù) 15分12、已知為正整數(shù)，關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且滿足.求的最小值.另解：由韋達(dá)定理，得；即解得：把的值分別代入得或（不成立）即，因?yàn)樗杂谑怯屑匆驗(yàn)閍,b都是正整數(shù)，所以分別解得：經(jīng)檢驗(yàn)只有：符合題意.所以b的最小值為：13是否存在一個(gè)三邊長恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角2倍的ABC？證明你的結(jié)論解：存在滿足條件的三角形 當(dāng)ABC的三邊長分別為，時(shí)， 5分如圖，當(dāng)時(shí)，延長BA至點(diǎn)D，使連接CD，則為等腰三角形因?yàn)闉榈囊粋€(gè)外角，所以由已知，所以（第13（A）題答案5數(shù)，段成比例，所以）所以為等腰三角形又為與的一個(gè)公共角，有，于是， 即 ，所以 而，所以此三角形滿足題設(shè)條件，故存在滿足條件的三角形 15分說明：滿足條件的三角形是唯一的若，可得有如下三種情形：（i）當(dāng)時(shí)，設(shè)，（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得，有，；（）當(dāng)時(shí)，設(shè)，（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得 ，有，此時(shí)不能構(gòu)成三角形；（）當(dāng)時(shí)，設(shè)，（為大于1的正整數(shù)），代入，得，即 ，此方程無整數(shù)解所以，三邊長恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍的三角形存在，而且只有三邊長分別為4，5，6構(gòu)成的三角形滿足條件13、如圖，ABC的三邊長都是整數(shù)，且的最大公約數(shù)是2。點(diǎn)G和點(diǎn)I分別為ABC的重心和內(nèi)心，且，求ABC的周長.另解：如圖，連結(jié)GA，GB，過G，I作直線交BC、AC于點(diǎn)E、F，作ABC的內(nèi)切圓I，切BC邊于點(diǎn)D。記ABC的半周長為P，內(nèi)切圓半徑為r，BC，AC邊上的高線長為易知：,在中，即又，所以CECF由得：即整理得，即設(shè)ABC的周長為，則為整數(shù)。由已知，設(shè)，代入上式，得，是12的約數(shù)，即1，2，3，4，6，12不妨設(shè)，則，得經(jīng)檢驗(yàn)，只有符合題意，所以：或，即所求ABC的周長為35。14從1，2，9中任取n個(gè)數(shù)，其中一定可以找到若干個(gè)數(shù)（至少一個(gè)，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n的最小值解：當(dāng)n4時(shí)，數(shù)1，3，5，8中沒有若干個(gè)數(shù)的和能被10整除 5分當(dāng)n5時(shí)，設(shè)是1，2，9中的5個(gè)不同的數(shù)若其中任意若干個(gè)數(shù)，它們的和都不能被10整除，則中不可能同時(shí)出現(xiàn)1和9；2和8；3和7；4和6于是中必定有一個(gè)數(shù)是5若中含1，則不含9于是不含4（41510），故含6；于是不含3（36110），故含7；于是不含2（21710），故含8但是57820是