數(shù)字信號處理(方勇)第三章習(xí)題答案.doc

31 畫出級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：32 畫出級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：33 已知某三階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，試畫出其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：將系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)為實系數(shù)一階，二階子系統(tǒng)之和，即：由上式可以畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3-3圖所示：題3-3圖34 已知一FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，畫出該FIR濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)。解： 因為，所以由第二類線性相位結(jié)構(gòu)畫出該濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)，如題3-4圖所示：題3-4圖35 已知一個FIR系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：求用級聯(lián)形式實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)流圖并用MATLAB畫出其零點分布及其頻率響應(yīng)曲線。解： 由轉(zhuǎn)移函數(shù)可知，且偶對稱，故為線性相位系統(tǒng)，共有5個零點，為5階系統(tǒng)，因而必存在一個一階系統(tǒng)，即為系統(tǒng)的零點。而最高階的系數(shù)為+1，所以為其零點。中包含項。所以：。 為一四階子系統(tǒng)，設(shè)，代入等式，兩邊相等求得，得出系統(tǒng)全部零點，如圖3-5（b）所示。 系統(tǒng)流圖如題3-5（a）圖所示。題3-5（a）圖MATLAB程序如下，結(jié)果如題3-5（b）圖所示： b=1 1.25 -2.75 -2.75 1.25 1; a=1; figure(1) zplane(b,a); figure(2); OMEGA=-pi:pi/100:pi; H=freqz(b,a,OMEGA);subplot(2,1,1),plot(OMEGA,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEGA,180/pi*unwrap(angle(H);題3-5（b）圖36 給定，確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解：根據(jù)給定的平方幅度響應(yīng)，得與比較，得到。取左半平面的三個極點，得，極點； ，極點；因此由，得對共軛極點，有代入上式，得37 模擬低通濾波器的參數(shù)如下：，用巴特沃斯近似求。解：已知，確定巴特沃斯濾波器的階數(shù)如下： 取 。本題由于正好是，故低通濾波器的截止頻率為：或者，由下式來求取。將代入五階巴特沃斯模擬低通傳遞函數(shù)38 已知，使用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性方法分別設(shè)計數(shù)字低通濾波器，使得截止頻率為=。解：（1）雙線性變換法：3截止頻率為=，于是 =0.2920參數(shù)不參與設(shè)計（2）脈沖響應(yīng)不變法：3截止頻率為=，于是因為脈沖響應(yīng)不變法是由下面的映射完成的：所以39 用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換為，采樣周期為，其中為任意整數(shù)解： 上式遞推可得：310 要求設(shè)計一個數(shù)字低通濾波器，在頻率低于的范圍內(nèi)，低通幅度特性為常數(shù)，并且不低于0.75，在頻率和之間，阻帶衰減至少為20。試求出滿足這些指標(biāo)的最低階巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)，采用雙線性變換。解：令為模擬濾波器的平方幅度函數(shù)，且由于采用雙線性變換，若，故我們要求因此巴特沃斯濾波器的形式為：所以因此：指標(biāo)放松一點，可以取，代入上式得對于這個值，通帶技術(shù)指標(biāo)基本達(dá)到，阻帶技術(shù)指標(biāo)剛好滿足，在s平面左半部由三個極點對，其坐標(biāo)為。極點對1：；極點對2：；極點對3：。于是以代入上式，最后可得311 試設(shè)計一巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，設(shè)計指標(biāo)為：在0.3通帶頻率范圍內(nèi)，通帶幅度波動小于1，在0.5阻帶頻率范圍內(nèi)，阻帶衰減大于12。解： 由題意可以得出： 0.3 , 1 0.5 , 12（1）頻率預(yù)畸變 1.019/ 2/（2）確定濾波器階數(shù)： 0.1321 1.9627 3.002 ， 取 3（3）查表求歸一化低通濾波器函數(shù) （4）求模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)（） (5) 求系統(tǒng)函數(shù)將 代入得：=312 用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器，等效模擬濾波器指標(biāo)參數(shù)如下：輸入模擬信號的最高頻率；選用巴特沃斯濾波器，3截止頻率，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減20。解：（1）因為采用雙線性變換法設(shè)計，數(shù)字頻率與相應(yīng)的模擬頻率之間為非線性關(guān)系。但采樣數(shù)字濾波器要求其中的數(shù)字濾波器與總等效模擬濾波器之間的頻率映射關(guān)系為線性關(guān)系。所以，不能直接按等效模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)設(shè)計相應(yīng)模擬濾波器，再將其雙線性變換法映射成數(shù)字濾波器。因此，我們必須按將等效模擬濾波器指標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)換成采樣數(shù)字濾波器系統(tǒng)中數(shù)字濾波器指標(biāo)參數(shù)，再用雙線性變換法的一般步驟設(shè)計該數(shù)字濾波器。通帶邊界頻率：；通帶最大衰減：3 阻帶截至頻率：；阻帶最小衰減：20 以下為雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器的一般過程。（2）預(yù)畸變校正，確定相應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)參數(shù)：800800，3 8001931.37，20（3）確定濾波器階數(shù)：0.10032.4142.609取 3。（4）查表求歸一化低通濾波器函數(shù)（5）求模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) (6) 求系統(tǒng)函數(shù)313 試設(shè)計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶下限頻率rad。阻帶上限頻率為，通帶衰減不大于3，阻帶衰減不小于20。 解：（1）已知數(shù)字高通濾波器指標(biāo)：0.8rad ， 30.44rad ， 20 （2）由于設(shè)計的是高通數(shù)字濾波器，所以采用雙線性變換法，所以要進(jìn)行預(yù)畸變校正，確定相應(yīng)的模擬高通濾波器指標(biāo)（為了計算方便，取T2s）：3.0777rad/s 0.8273rad/s（3）將高通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)。高通歸一邊界頻率為（本題）：1低通指標(biāo)為：13.7203（4）設(shè)計歸一化低通: 0.1003 3.7203 1.75，取2查表可得（5）頻率變換，求模擬高通： （6）用雙線性變換法將轉(zhuǎn)換成： |s3-14 一個數(shù)字系統(tǒng)的抽樣頻率，試設(shè)計一個為此系統(tǒng)使用的帶通數(shù)字濾波器，希望采用巴特沃斯濾波器，通帶范圍為到，在帶邊頻率處的衰減不大于3；在以下和以上衰減不小18。解：（1）確定帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)：因為，所以得出： ， ， 通帶內(nèi)最大衰減，阻帶內(nèi)最小衰減。（2）確定相應(yīng)模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)。為計算簡單，設(shè)。 通帶中心頻率 帶寬 將以上邊界頻率對歸一化，得到相應(yīng)歸一化帶通邊界頻率： ， ， （3）由歸一化帶通指標(biāo)確定相應(yīng)模擬歸一化低通技術(shù)指標(biāo)。歸一化阻帶截止頻率為：歸一化通帶截止頻率為， （4）設(shè)計模擬歸一化低通 取，因為1.9394很接近2，所以取基本滿足要求，且系統(tǒng)簡單。查表可得歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)：（5）頻率變換，將轉(zhuǎn)換成模擬帶通（6）用雙線性變換公式將轉(zhuǎn)換成 3-15 一個數(shù)字系統(tǒng)的抽樣頻率為1000,已知該系統(tǒng)受到頻率為100的噪聲干擾，現(xiàn)設(shè)計一帶阻濾波器去掉該噪聲。要求3的帶邊頻率為95和105，阻帶衰減不小于14，阻帶的下邊和上邊頻率分別為99和101。解： （1）確定帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)：因為，所以得出： ， ， 通帶內(nèi)最大衰減，阻帶內(nèi)最小衰減。（2）確定相應(yīng)模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)。為計算簡單，設(shè)。 阻帶中心頻率 帶阻帶寬 將以上邊界頻率對歸一化，得到相應(yīng)歸一化帶阻邊界頻率： ， ， （3）由歸一化帶阻指標(biāo)確定相應(yīng)模擬歸一化低通技術(shù)指標(biāo)。歸一化阻帶截止頻率為：，取，。（4）設(shè)計模擬歸一化低通， 取，因為1.055很接近1，所以取，基本滿足要求，且系統(tǒng)簡單。查表可得歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)：（5）頻率變換，將轉(zhuǎn)換成模擬帶阻（6）用雙線性變換公式將轉(zhuǎn)換成=316 試用矩形窗口設(shè)計法設(shè)計一個FIR線形相位低通數(shù)字濾波器，已知，。畫出和曲線，再計算正、負(fù)肩峰值的位置和過渡帶寬度。解： 寫出理想的頻響為 求得理想沖激響應(yīng)為 計算得加矩形窗： 所以即正、負(fù)肩峰值的位置如題3-16表所示。題3-16表軸上的位置值正肩峰（A點）臨界頻率（B點）負(fù)肩峰（C點）過渡帶寬度為利用MATLAB演示其結(jié)果如題3-16圖所示：N=21;a=(N-1)/2;Wc=0.5*pi;n=0:1:(N-1);m=n-a+eps;避免被零除hd=sin(Wc*m)./(pi*m);H1,W=freqz(hd,1);figure(1);subplot(211);stem(n,hd);xlabel(n);ylabel(h(n);subplot(212);plot(W/pi,20*log10(abs(H1)/max(H1);xlabel(頻率);ylabel(幅頻響應(yīng));題3-16圖 加矩形窗時的脈沖響應(yīng)及其頻譜圖317 試用窗函數(shù)法設(shè)計一個第一類線性相位FIR數(shù)字高通濾波器，已知，對于矩形窗，過渡帶寬度為。（1）確定的長度；（2）求的表達(dá)式；（3）？解： （1） 偶數(shù)，取=65 (2) (3) 318 用矩形窗設(shè)計線性相位數(shù)字低通濾波器，理想濾波器傳輸函數(shù)為：（1）求出相應(yīng)的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。（2）求出用矩形窗函數(shù)法設(shè)計的FIR濾波器的表達(dá)式。 解：（1） （2）為滿足線性相位條件，要求，為矩形窗函數(shù)的長度。加矩形窗函數(shù)得。319 用矩形窗設(shè)計線性相位高通濾波器，逼近濾波器傳輸函數(shù)為 （1） 求出相應(yīng)于理想低通的單位脈沖響應(yīng)； （2） 求出矩形窗設(shè)計法的表達(dá)式，確定與之間的關(guān)系；（3） 的取值有什么限制？為什么？解： （1） 直接IDTFT計算：表達(dá)式中第2項正好是截止頻率為的理想低通濾波器的單位脈沖相應(yīng)。而對應(yīng)于一個線性相位全通濾波器：即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實現(xiàn)。（2）用N表示為了滿足線性相位條件：要求滿足（3）必須取奇數(shù)。因為N為偶數(shù)時（情況2），0，不能實現(xiàn)高通。320 使用頻率取樣設(shè)計法（第一種形式取樣）設(shè)計一個FIR線性相位低通數(shù)字濾波器。已知。解： 理想低通0到和到處幅度函數(shù)為1，其余為0。采樣頻率間隔為，的位置在，即和之間，其對稱點位置是，即和之間。對理想低通采樣，可得 第一類FIR DF的相位特性為 綜合幅度和相位，F(xiàn)IR DF的離散頻域抽樣值為 321 用頻率采樣法設(shè)計第一類線性相位FIR低通濾波器，要求通帶截止頻率 =，阻帶最大衰減25，過渡帶寬度=，問濾波器長度至少為多少才可能滿足要求解： 因為阻帶最大衰減為25 所以需要一個過渡點即 ，所以得出濾波器長度為322 利用頻率采樣法設(shè)計線性相位FIR低通濾波器，設(shè)N16，給定希望逼近濾波器的幅度采樣為解：有希望逼近的濾波器幅度采樣可構(gòu)造出的：IDFT= = 阻帶最小衰減接近40dB。323 一個IIR網(wǎng)絡(luò)的差分方程為，當(dāng)輸入序列時。（1） 試求在無限精度運算下網(wǎng)絡(luò)輸出,以及時的輸出穩(wěn)態(tài)值。（2） 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)采用位字長的定點運算時，尾數(shù)采取截尾處理，試計算以內(nèi)點輸出值。并求其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解： （1）由題中已知條件，可以得到該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 因此 故 （2）為了求，我們首先求出，可以用下式進(jìn)行迭代未量化則有： 量化后，有 可見其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值為，所以實際實現(xiàn)時穩(wěn)態(tài)值為。324 在用模型表示數(shù)字濾波器中舍入和截尾效應(yīng)時，把量化變量表示，式中 表示舍入或截尾操作，表示量化誤差。在適當(dāng)?shù)募俣l件下，可以假設(shè)是白噪聲序列，即。舍入誤差的一階概率分別是如題3-24（a）圖所示的均勻分布，截尾誤差是如題3-24（b）圖所示的均勻分布。 題3-24圖 （1） 求輸入噪聲的均值和方差。（2） 求截尾噪聲的均值和方差。解：（1）舍入噪聲的均值和方差分別為：（2）用相似的方法可以求得，截尾噪聲的均值和方差分別為 325 一因果LTI系統(tǒng)有系統(tǒng)函數(shù)為 該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？若對系統(tǒng)系數(shù)小數(shù)點后第二位按“四舍五入”舍入，所得系統(tǒng)是穩(wěn)定的嗎？解： matlab演示程序如下：% 系統(tǒng)穩(wěn)定性演示程序% 設(shè)a,b分別是系統(tǒng)的零點極點系數(shù)% 設(shè)z,p,k為系統(tǒng)的零點，極點和增益系數(shù)a=1,0,0;b=1,-0.08,0.96;%求系統(tǒng)的零點極點z,p,k=tf2zp(a,b)；%畫出系統(tǒng)的零點極點圖figure(1)zplane(a,b);%-系統(tǒng)系數(shù)經(jīng)過四舍五入-a=1,0,0;b=1,-0.08,0.96;%對小數(shù)后第二位四舍五入后零點極點系數(shù)a1,b1temp_a=a*10;temp_b=b*10;a1=round(temp_a)/10;b1=round(temp_b)/10;%求系統(tǒng)的零點極點z,p,k=tf2zp(a1,b1)；%畫出系統(tǒng)的零點極點圖figure(2)zplane(a1,b1);程序結(jié)果顯示：原系統(tǒng)極點為：，經(jīng)過四舍五入之后：，極點零點如題3-25圖所示，原系統(tǒng)兩極點在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過四舍五入，系統(tǒng)極點位于單位圓上，系統(tǒng)處于非穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。題3-25（a）圖題3-25（b）圖326 理想離散時間Hilbert變換器是一個對引入-90相移，而對引入+90相移的系統(tǒng)，其頻響幅度為常量（單位1），這類系統(tǒng)也稱為90移相器。(1) 試舉出一個理想離散時間Hilbert變換器的理想頻率響應(yīng)，并畫出該系統(tǒng)在的相位響應(yīng)曲線。(2) 可用哪類FIR線性相位系統(tǒng)來逼近(1)中的理想Hilbert變換器？(3) 假設(shè)用窗函數(shù)法設(shè)計一個逼近理想Hilbert變換器的線性相位系統(tǒng)，若FIR是當(dāng)和時，試?yán)?1)中給出的求理想脈沖響應(yīng)。(4) 當(dāng)時該系統(tǒng)的延遲是多少？若采用矩形窗，試畫出在這種情況下的FIR逼近的頻率響應(yīng)之幅度曲線。解： （1）（2）只能用，型FIR去進(jìn)行逼近，因為必然是奇對稱的。（是虛奇對稱的）（3） （4）當(dāng)時，系統(tǒng)的延遲為個樣本，采用矩形窗的FIR逼近頻響幅度，相位曲線如題3-26圖所示。 補充一個采用21點（），的Kaiser窗設(shè)計結(jié)果，以便與（3）中所得結(jié)果進(jìn)行比較。，%320clear all;close all;M=21;n1=0:M;h1=(n1-(M/2)*pi/2).*(sinc(n1-(M/2)/2).2);n11=0:(100*(M+1)-1);H1=fft(h1,100*(M+1);figuresubplot(3,1,1)stem(n1,h1,.);grid ontitle(M=21點時FIR逼近的時域特性)subplot(3,1,2)plot(n11,abs(H1)grid ontitle(M=21點時FIR逼近的幅度特性)subplot(3,1,3)plot(n11,angle(