（試題 試卷 真題）2012年高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)專題講座9

高考要求 直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何最基礎(chǔ)的部分，本章的基本概念；基本公式；直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合的判定都是解析幾何重要的基礎(chǔ)內(nèi)容 應(yīng)達(dá)到熟練掌握、靈活運(yùn)用的程度，線性規(guī)劃是直線方程一個方面的應(yīng)用，屬教材新增內(nèi)容，高考中單純的直線方程問題不難，但將直線方程與其他知識綜合的問題是學(xué)生比較棘手的 重難點(diǎn)歸納 1 對直線方程中的基本概念，要重點(diǎn)掌握好直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問題；直線平行和垂直的條件；與距離有關(guān)的問題等 2 對稱問題是直線方程的一個重要應(yīng)用，中學(xué)里面所涉及到的對稱一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)或點(diǎn)關(guān)于直線的對稱 中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具 3 線性規(guī)劃是直線方程的又一應(yīng)用 線性規(guī)劃中的可行域，實(shí)際上是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設(shè)t=ax+by,則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優(yōu)解 4 由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)等代數(shù)問題往往借助直線方程進(jìn)行，考查學(xué)生的綜合能力及創(chuàng)新能力 典型題例示范講解 例1某校一年級為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫成果展覽室，為節(jié)約經(jīng)費(fèi)，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A斜角為(90180)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m,b m,(ab) 問學(xué)生距離鏡框下緣多遠(yuǎn)看畫的效果最佳？命題意圖 本題是一個非常實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，它不僅考查了直線的有關(guān)概念以及對三角知識的綜合運(yùn)用，而且更重要的是考查了把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力 知識依托 三角函數(shù)的定義，兩點(diǎn)連線的斜率公式，不等式法求最值 錯解分析 解決本題有幾處至關(guān)重要，一是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題求解；二是把問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求tanACB的最大值 如果坐標(biāo)系選擇不當(dāng)，或選擇求sinACB的最大值 都將使問題變得復(fù)雜起來 技巧與方法 欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一個三角函數(shù)值 解 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點(diǎn)，在x軸的正半軸上找一點(diǎn)C(x,0)(x0),欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使ACB取得最大值 由三角函數(shù)的定義知 A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(acos,asin)、(bcos,bsin),于是直線AC、BC的斜率分別為 kAC=tanxCA=,于是tanACB=由于ACB為銳角，且x0,則tanACB,當(dāng)且僅當(dāng)=x，即x=時，等號成立，此時ACB取最大值，對應(yīng)的點(diǎn)為C(,0),因此，學(xué)生距離鏡框下緣 cm處時，視角最大，即看畫效果最佳 例2預(yù)算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數(shù)盡可能的多，但椅子不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1 5倍，問桌、椅各買多少才行？命題意圖 利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問題屬于直線方程的一個應(yīng)用，本題主要考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)、準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直觀求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解 知識依托 約束條件，目標(biāo)函數(shù)，可行域，最優(yōu)解 錯解分析 解題中應(yīng)當(dāng)注意到問題中的桌、椅張數(shù)應(yīng)是自然數(shù)這個隱含條件，若從圖形直觀上得出的最優(yōu)解不滿足題設(shè)時，應(yīng)作出相應(yīng)地調(diào)整，直至滿足題設(shè) 技巧與方法 先設(shè)出桌、椅的變數(shù)后，目標(biāo)函數(shù)即為這兩個變數(shù)之和，再由此在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解 解 設(shè)桌椅分別買x,y張，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件為由A點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)由B點(diǎn)的坐標(biāo)為(25，)所以滿足約束條件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(如右圖)由圖形直觀可知，目標(biāo)函數(shù)z=x+y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為(25，)，但注意到xN,yN*,故取y=37 故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇 例3拋物線有光學(xué)性質(zhì) 由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p0) 一光源在點(diǎn)M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，折射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l 2x4y17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M(如下圖所示) (1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明 y1y2=p2；(2)求拋物線的方程；(3)試判斷在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 命題意圖 對稱問題是直線方程的又一個重要應(yīng)用 本題是一道與物理中的光學(xué)知識相結(jié)合的綜合性題目，考查了學(xué)生理解問題、分析問題、解決問題的能力 知識依托 韋達(dá)定理，點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)式方程 錯解分析 在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時 技巧與方法 點(diǎn)關(guān)于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關(guān)鍵 (1)證明 由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知光線PQ必過拋物線的焦點(diǎn)F(，0)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x) 由式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韋達(dá)定理，y1y2=p2 當(dāng)直線PQ的斜率角為90時，將x=代入拋物線方程，得y=p,同樣得到y(tǒng)1y2=p2 (2)解 因?yàn)楣饩€QN經(jīng)直線l反射后又射向M點(diǎn)，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對稱，設(shè)點(diǎn)M(，4)關(guān)于l的對稱點(diǎn)為M(x,y)，則解得直線QN的方程為y=1,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)y2=1，由題設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1=4，且由(1)知 y1y2=p2,則4(1)=p2,得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x (3)解 將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)將y=1代入直線l的方程為2x4y17=0,得x=,故N點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)由P、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y12=0,設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直線NP的對稱點(diǎn)M1(x1,y1)又M1(,1)的坐標(biāo)是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(diǎn)(，1)與點(diǎn)M關(guān)于直線PN對稱 例3已知|a|1,|b|1,|c|1,求證 abc+2a+b+c 證明 設(shè)線段的方程為y=f(x)=(bc1)x+2bc,其中|b|1,|c|1,|x|1,且1a1 f(1)=1bc+2bc=(1bc)+(1b)+(1c)0f(1)=bc1+2bc=(1b)(1c)0線段y=(bc1)x+2bc(1x1)在x軸上方，這就是說，當(dāng)|a|1,|b|1,|c|1時，恒有abc+2a+b+c 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 設(shè)M=，則M與N的大小關(guān)系為( )A MN B M=N C MN D 無法判斷2 三邊均為整數(shù)且最大邊的長為11的三角形的個數(shù)為( )A 15B 30C 36D 以上都不對3 直線2xy4=0上有一點(diǎn)P，它與兩定點(diǎn)A(4，1)，B(3，4)的距離之差最大，則P點(diǎn)坐標(biāo)是_ 4 自點(diǎn)A(3，3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y24x4y+7=0相切，則光線l所在直線方程為_ 5 函數(shù)f()=的最大值為_，最小值為_ 6 設(shè)不等式2x1m(x21)對一切滿足|m|2的值均成立，則x的范圍為_ 7 已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn) (1)證明 點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一直線上 (2)當(dāng)BC平行于x軸時，求點(diǎn)A的坐標(biāo) 8 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=na+n(n1)b，(n=1,2,),a、b是常數(shù)且b0 (1)證明 an是等差數(shù)列 (2)證明 以(an,1)為坐標(biāo)的點(diǎn)Pn(n=1,2,)都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程 (3)設(shè)a=1,b=,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r0)，求使得點(diǎn)P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍 參考答案:1 解析 將問題轉(zhuǎn)化為比較A(1，1）與B(102001，102000）及C(102002，102001）連線的斜率大小，因?yàn)锽、C兩點(diǎn)的直線方程為y=x，點(diǎn)A在直線的下方，kABkAC,即MN 答案 A2 解析 設(shè)三角形的另外兩邊長為x,y,則點(diǎn)(x,y）應(yīng)在如右圖所示區(qū)域內(nèi)當(dāng)x=1時，y=11；當(dāng)x=2時，y=10,11；當(dāng)x=3時，y=9,10,11；當(dāng)x=4時，y=8,9,10,11;當(dāng)x=5時，y=7,8,9,10,11 以上共有15個，x,y對調(diào)又有15個，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六組，所以共有36個 答案 C3 解析 找A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A，AB與直線l的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn) 答案 P(5，6）4 解析 光線l所在的直線與圓x2+y24x4y+7=0關(guān)于x軸對稱的圓相切 答案 3x+4y3=0或4x+3y+3=05 解析 f()=表示兩點(diǎn)(cos,sin)與(2,1)連線的斜率 答案 06 解析 原不等式變?yōu)?x21)m+(12x)0,構(gòu)造線段f(m)=(x21)m+12x,2m2,則f(2)0,且f(2)0 答案 7 (1)證明 設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，由題設(shè)知x11,x21,點(diǎn)A(x1,log8x1),B(x2,log8x2) 因?yàn)锳、B在過點(diǎn)O的直線上，所以,又點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x1,log2x1）、(x2,log2x2) 由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,則由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直線上 (2)解 由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1x2=x13將其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x10,故x13=3x1x2=,于是A(，log8) 9 (1)證明 由條件，得a1=S1=a,當(dāng)n2時，有an=SnSn1=na+n(n1)b(n1)a+(n1)(n2)b=a+2(n1)b 因此，當(dāng)n2時，有anan1=a+2(n1)ba+2(n2)b=2b 所以an是以a為首項(xiàng)，2b為公差的等差數(shù)列 (2)證明 b0,對于n2,