高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 第六節(jié)古典概型課件 理.ppt

第六節(jié)古典概型 第十章計(jì)數(shù)原理 概率 隨機(jī)變量及其分布 考綱要求 1 理解古典概型及其概率計(jì)算公式 2 會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 課前自修 知識(shí)梳理 1 基本事件 一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果都是隨機(jī)事件 這類隨機(jī)事件稱為基本事件 一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件 2 古典的概率模型的定義 我們把具有 1 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè) 每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果 2 每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為 簡(jiǎn)稱古典概型 3 古典概型的概率計(jì)算公式 如果試驗(yàn)的所有可能結(jié)果 基本事件 數(shù)為n 隨機(jī)事件a包含的基本事件數(shù)為m 那么事件a發(fā)生的概率為p a 古典的概率模型 基礎(chǔ)自測(cè) 1 2011 課標(biāo)全國(guó)卷 有3個(gè)興趣小組 甲 乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組 每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同 則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為 a b c d 解析 甲 乙兩名同學(xué)參加小組的情況共有9種 參加同一小組的情況有3種 所以參加同一小組的概率為 故選a 答案 a 2 2012 東莞市二模 將一顆骰子擲兩次 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m 第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n 向量p m n q 3 6 則向量p與q共線的概率為 解析 將一顆骰子擲兩次 所得點(diǎn)數(shù)記為 m n 則所有不同的結(jié)果有36種 p m n 與向量q 3 6 平行的有三種 1 2 2 4 3 6 所以 所求概率為p 答案 3 2011 桂林市模擬 若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m n作為點(diǎn)p的坐標(biāo) 則點(diǎn)p落在圓x2 y2 16內(nèi)的概率是 解析 基本事件的總數(shù)為6 6 36個(gè) 記事件a 點(diǎn)p m n 落在圓x2 y2 16內(nèi) 則a所包含的基本事件為 1 1 2 2 1 3 1 2 2 3 3 1 3 2 2 1 共8個(gè) 所以所求概率為答案 4 2012 上海卷 三位同學(xué)參加跳高 跳遠(yuǎn) 鉛球項(xiàng)目的比賽 若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目 則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是 結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示 解析 所有的可能情況有種 滿足條件有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的情況有種 由古典概率公式得p 答案 考點(diǎn)探究 考點(diǎn)一 古典概型概念的理解 例1 下列命題正確的個(gè)數(shù)是 先后拋擲兩枚均勻硬幣 有人說(shuō)一共出現(xiàn) 兩枚正面 兩枚反面 一枚正面 一枚反面 三種結(jié)果 因此出現(xiàn) 一枚正面 一枚反面 的概率是 射擊運(yùn)動(dòng)員向一靶心進(jìn)行射擊 試驗(yàn)的結(jié)果為 命中10環(huán) 命中9環(huán) 命中0環(huán) 這個(gè)試驗(yàn)是古典概型 袋中裝有大小均勻的4個(gè)紅球 3個(gè)白球 2個(gè)黑球 那么每種顏色的球被摸到的可能性相同a 0b 1c 2d 3 思路點(diǎn)撥 弄清基本事件的個(gè)數(shù) 古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)及概率計(jì)算公式 解析 應(yīng)為4種結(jié)果 還有一種是 一反一正 不是古典概型 因?yàn)槊?0環(huán) 命中9環(huán) 命中0環(huán)不是等可能的 摸到紅球的概率為 白球的概率為 黑球的概率為 所以三個(gè)命題都是錯(cuò)的 故選a 答案 a 點(diǎn)評(píng) 弄清每一次試驗(yàn)的意義及每個(gè)基本事件的含義是解決問(wèn)題的前提 正確把握各個(gè)事件的相互關(guān)系是解決問(wèn)題的重要方面 判斷一次試驗(yàn)中的基本事件 一定要從其可能性入手 加以區(qū)分 而一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型要看其是否滿足有限性和等可能性 變式探究 1 下列命題正確的是 某袋中裝有大小均勻的3個(gè)紅球 2個(gè)黑球 1個(gè)白球 那么每種顏色的球被摸到的可能性相同 從 4 3 2 1 0 1 2中任取一數(shù) 取到的數(shù)小于0和不小于0的可能性相同 5人抽簽 甲先抽 乙后抽 那么乙與甲抽到某號(hào)中獎(jiǎng)簽的可能性肯定不同 用紅 黃 藍(lán)三種不同顏色給圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色 每個(gè)矩形只涂一種顏色 則所有基本事件有27個(gè)a b c d 解析 1 摸到紅球的概率為 摸到黑球的概率為 摸到白球的概率為 2 取到小于0的數(shù)字的概率為 不小于0的數(shù)字的概率為 3 抽簽有先有后 但每人抽到某號(hào)的概率是相同的 理由 假設(shè)5號(hào)簽為中獎(jiǎng)簽 甲先抽到中獎(jiǎng)簽的概率為 乙接著抽 其抽中5號(hào)簽的概率為 4 所有可能的基本事件共27個(gè) 如下圖 所以 只有 4 正確 故選d 答案 d 考點(diǎn)二 簡(jiǎn)單的古典概型的概率 例2 1 2012 江蘇卷 現(xiàn)有10個(gè)數(shù) 它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng) 3為公比的等比數(shù)列 若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù) 則它小于8的概率是 2 2012 上海十校聯(lián)考 若實(shí)數(shù)m n 2 1 1 2 3 且m n 則方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的概率是 解析 1 由通項(xiàng)公式an 1 3 n 1得 滿足條件的數(shù)有1 3 33 35 37 39 共6個(gè) 從而所求概率為p 2 m n的所有取值的情況有 20 滿足n 0 m 0的有 6種 所以所求概率為p 答案 1 2 點(diǎn)評(píng) 計(jì)算古典概型事件的概率可分三步 算出基本事件的總個(gè)數(shù)n 求出事件a所包含的基本事件個(gè)數(shù)m 代入公式求出概率p 變式探究 2 1 2011 陜西卷 甲乙兩人一起去游 2011西安世園會(huì) 他們約定 各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽 每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí) 則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是 a b c d 2 2012 泰安模擬 若a 1 2 b 2 1 0 1 2 方程x2 ax b 0的兩根均為實(shí)數(shù)的概率為 解析 1 若用 1 2 3 4 5 6 代表6處景點(diǎn) 顯然甲 乙兩人最后一小時(shí)瀏覽的景點(diǎn)可能為 1 1 1 2 1 3 6 6 共36種 其中滿足題意的 最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn) 包括 1 1 2 2 3 3 6 6 共6個(gè)基本事件 所以所求的概率為 故選d 2 若方程有兩實(shí)根 則a2 4b 0 a2 4b 則滿足條件的 a b 的基本事件有 1 0 2 1 2 0 1 1 1 2 2 2 2 1 共有7種情況 而整個(gè)基本事件空間共有10種情況 故方程有實(shí)根的概率為 答案 1 d 2 考點(diǎn)三 復(fù)雜的古典概型的概率 例3 袋中裝有黑球和白球共7個(gè) 從中任取2個(gè)球都是白球的概率為 現(xiàn)有甲 乙兩人從袋中輪流摸球 甲先取 乙后取 然后甲再取 取后不放回 直到兩人中有1人取到白球時(shí)即終止 每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的 1 求袋中原有白球的個(gè)數(shù) 2 求取球2次即終止的概率 3 求甲取到白球的概率 思路點(diǎn)撥 因?yàn)榇泄灿?個(gè)球 基本事件總數(shù)是有限的 而且每個(gè)球被抽到是等可能的 因此是古典概型 另外要注意球是不放回的摸球 每次摸出的球不能重復(fù) 解析 1 設(shè)袋中原有n個(gè)白球 從袋中任取2個(gè)球是白球的結(jié)果數(shù)為從袋中任取2個(gè)球的所有可能的結(jié)果數(shù)為由題意知 n n 1 6 解得n 3 舍去n 2 即袋中原有3個(gè)白球 2 設(shè)事件a 取球2次即終止 取球2次即終止 即乙第一次摸到的是白球而甲摸到的是黑球 所以p a 3 設(shè)事件b為 甲取到白球 第i次取到白球 為事件ai i 1 2 3 4 5 因?yàn)榧紫热?所以甲只可能在第1次 第3次和第5次取白球 p b p a1 a3 a5 p a1 p a3 p a5 點(diǎn)評(píng) 求較復(fù)雜事件的概率問(wèn)題 解題關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義 把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型 必要時(shí)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和 或者先求其對(duì)立事件的概率 進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼?變式探究 3 2011 山東卷 甲 乙兩校各有3名教師報(bào)名支教 其中甲校2男1女 乙校1男2女 1 若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名 寫出所有可能的結(jié)果 并求選出的2名教師性別相同的概率 2 若從報(bào)名的6名教師中任選2名 寫出所有可能的結(jié)果 并求選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率 解析 記甲校的兩名男教師為a1 a2 1名女教師為b1 記乙校的1名男教師為a3 兩名女教師為b2 b3 1 從甲校 乙校各選1名教師的所有可能結(jié)果為 a1 a3 a1 b2 a1 b3 a2 a3 a2 b2 a2 b3 b1 a3 b1 b2 b1 b3 共9種 其中性別相同的選法為 a1 a3 a2 a3 b1 b2 b1 b3 共4種 所以所求概率為p 2 從報(bào)名的6名教師中任選2名 所有結(jié)果為 a1 a2 a1 b1 a1 a3 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 a3 a2 b2 a2 b3 b1 a3 b1 b2 b1 b3 a3 b2 a3 b3 b2 b3 共15種 來(lái)自同一學(xué)校的情況有 a1 a2 a1 b1 a2 b1 a3 b2 a3 b3 b2 b3 共6種 則所求概率為p 1 隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列條件 1 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)做下去 2 試驗(yàn)的所有結(jié)果都是明確可知的 并且不止一個(gè) 3 每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè) 但在實(shí)驗(yàn)之前卻不能肯定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果 所以 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)事件 這類隨機(jī)事件叫做基本事件 基本事件是事件的最小單位 所有事件都是由基本事件組成 基本事件有下列兩個(gè)特點(diǎn) 1 任何兩個(gè)基本事件都是互斥的 2 任何事件都可以表示成基本事件的和 不可能事件除外 2 基本事件的概率 在基本事件總數(shù)為n的古典概型中 每一基本事件發(fā)生的概率都是 3 古典概型是一種特殊的概率模型 其特征是 1 有限性 即在一次試驗(yàn)中 可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè) 也就是只有有限個(gè)不同的基本事件 2 等可能性 即每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的 所以一次試驗(yàn)是否為古典概型 在于這個(gè)試驗(yàn)否具有古典概型的兩個(gè)特征 有限性和等可能性 4 古典概型的解題步驟 1 求出總的基本事件數(shù)n 2 求出事件a所包含的基本事件數(shù)m 然后利用公式 5 利用公式p a 計(jì)算概率時(shí) 關(guān)鍵在于求n m 因此首先要正確理解基本事件和事件a的相互關(guān)系 基本事件是一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件 這里特別要強(qiáng)調(diào)指出的是 一個(gè)基本事件是某一次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果 千萬(wàn)不可以把幾次試驗(yàn)的結(jié)果混為一個(gè)結(jié)果 例如同拋兩枚硬幣 一共出現(xiàn)四個(gè)等可能結(jié)果 正正 反反 正反 反正 而不能把一正環(huán)純醋饕桓齷 臼錄 因?yàn)檫@一事件包括 正反 反正 這兩種結(jié)果 否則基本事件就不等可能了 而事件a則不同 它可能僅含一個(gè)基本事件 也可能包含多個(gè)基本事件 因此在求n時(shí)必須強(qiáng)調(diào)n個(gè)基本事件必須等可能 否則n就求錯(cuò)了 同時(shí)在求m時(shí) 事件a中所包含的每個(gè)基本事件也必須是等可能的 可以從集合的觀點(diǎn)來(lái)考察事件a發(fā)生的概率 在一次試驗(yàn)中 等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個(gè)集合i 基本事件的個(gè)數(shù)n就是集合i的元素個(gè)數(shù) 事件a是集合i的一個(gè)包含m個(gè)元素的子集 故 其中i為所有基本事件的集合 a為事件a所含基本事件的集合 感悟高考 品味高考 1 盒中裝有形狀 大小完全相同的5個(gè)球 其中紅色球3個(gè) 黃色球2個(gè) 若從中隨機(jī)取出2個(gè)球 則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于 解析 從盒中隨機(jī)取出2個(gè)球 有種取法 所取出的2個(gè)球顏色不同 有種取法 則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率是p 答案 2 2012 重慶卷 某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文 數(shù)學(xué) 外語(yǔ)三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié) 則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 用數(shù)字作答 解析 6節(jié)課隨機(jī)安排 共有 720種排法 課表上相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法分三類 1 兩節(jié)相鄰文化課之間沒有藝術(shù)課間隔 可將三節(jié)文化課捆綁為一個(gè)元素 然后再與另外三節(jié)藝術(shù)課進(jìn)行全排列 排法有 144種 2 三節(jié)文化課間都有1節(jié)藝術(shù)課間隔 有 文藝文藝文藝 與 藝文藝文藝文 兩種形式 其排法有2 72種 3 三節(jié)文化課中有兩節(jié)之間有一節(jié)藝術(shù)課 而另一節(jié)文化課與前兩節(jié)文化課之一無(wú)間隔 可先對(duì)文化課進(jìn)行全排 然后從3節(jié)藝術(shù)課選一節(jié)放入排好的3節(jié)文化課之間 再將此4節(jié)課看作一個(gè)元素與余下的2節(jié)藝術(shù)課進(jìn)行全排 其排法有 216種 綜上可知 相鄰兩節(jié)文化課間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課排法有144 72 216 432種 所以課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為答案 高考預(yù)測(cè) 1