高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 第六節(jié)古典概型課件 理.ppt

第六節(jié)古典概型 第十章計數(shù)原理 概率 隨機變量及其分布 考綱要求 1 理解古典概型及其概率計算公式 2 會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 課前自修 知識梳理 1 基本事件 一次試驗中所有可能的結(jié)果都是隨機事件 這類隨機事件稱為基本事件 一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件 2 古典的概率模型的定義 我們把具有 1 試驗的所有可能結(jié)果只有有限個 每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果 2 每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等兩個特點的概率模型稱為 簡稱古典概型 3 古典概型的概率計算公式 如果試驗的所有可能結(jié)果 基本事件 數(shù)為n 隨機事件a包含的基本事件數(shù)為m 那么事件a發(fā)生的概率為p a 古典的概率模型 基礎(chǔ)自測 1 2011 課標(biāo)全國卷 有3個興趣小組 甲 乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組 每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同 則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為 a b c d 解析 甲 乙兩名同學(xué)參加小組的情況共有9種 參加同一小組的情況有3種 所以參加同一小組的概率為 故選a 答案 a 2 2012 東莞市二模 將一顆骰子擲兩次 觀察出現(xiàn)的點數(shù) 并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為m 第二次出現(xiàn)的點數(shù)為n 向量p m n q 3 6 則向量p與q共線的概率為 解析 將一顆骰子擲兩次 所得點數(shù)記為 m n 則所有不同的結(jié)果有36種 p m n 與向量q 3 6 平行的有三種 1 2 2 4 3 6 所以 所求概率為p 答案 3 2011 桂林市模擬 若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m n作為點p的坐標(biāo) 則點p落在圓x2 y2 16內(nèi)的概率是 解析 基本事件的總數(shù)為6 6 36個 記事件a 點p m n 落在圓x2 y2 16內(nèi) 則a所包含的基本事件為 1 1 2 2 1 3 1 2 2 3 3 1 3 2 2 1 共8個 所以所求概率為答案 4 2012 上海卷 三位同學(xué)參加跳高 跳遠 鉛球項目的比賽 若每人都選擇其中兩個項目 則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是 結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示 解析 所有的可能情況有種 滿足條件有且僅有兩人選擇的項目完全相同的情況有種 由古典概率公式得p 答案 考點探究 考點一 古典概型概念的理解 例1 下列命題正確的個數(shù)是 先后拋擲兩枚均勻硬幣 有人說一共出現(xiàn) 兩枚正面 兩枚反面 一枚正面 一枚反面 三種結(jié)果 因此出現(xiàn) 一枚正面 一枚反面 的概率是 射擊運動員向一靶心進行射擊 試驗的結(jié)果為 命中10環(huán) 命中9環(huán) 命中0環(huán) 這個試驗是古典概型 袋中裝有大小均勻的4個紅球 3個白球 2個黑球 那么每種顏色的球被摸到的可能性相同a 0b 1c 2d 3 思路點撥 弄清基本事件的個數(shù) 古典概型的兩個特點及概率計算公式 解析 應(yīng)為4種結(jié)果 還有一種是 一反一正 不是古典概型 因為命中10環(huán) 命中9環(huán) 命中0環(huán)不是等可能的 摸到紅球的概率為 白球的概率為 黑球的概率為 所以三個命題都是錯的 故選a 答案 a 點評 弄清每一次試驗的意義及每個基本事件的含義是解決問題的前提 正確把握各個事件的相互關(guān)系是解決問題的重要方面 判斷一次試驗中的基本事件 一定要從其可能性入手 加以區(qū)分 而一個試驗是否是古典概型要看其是否滿足有限性和等可能性 變式探究 1 下列命題正確的是 某袋中裝有大小均勻的3個紅球 2個黑球 1個白球 那么每種顏色的球被摸到的可能性相同 從 4 3 2 1 0 1 2中任取一數(shù) 取到的數(shù)小于0和不小于0的可能性相同 5人抽簽 甲先抽 乙后抽 那么乙與甲抽到某號中獎簽的可能性肯定不同 用紅 黃 藍三種不同顏色給圖中3個矩形隨機涂色 每個矩形只涂一種顏色 則所有基本事件有27個a b c d 解析 1 摸到紅球的概率為 摸到黑球的概率為 摸到白球的概率為 2 取到小于0的數(shù)字的概率為 不小于0的數(shù)字的概率為 3 抽簽有先有后 但每人抽到某號的概率是相同的 理由 假設(shè)5號簽為中獎簽 甲先抽到中獎簽的概率為 乙接著抽 其抽中5號簽的概率為 4 所有可能的基本事件共27個 如下圖 所以 只有 4 正確 故選d 答案 d 考點二 簡單的古典概型的概率 例2 1 2012 江蘇卷 現(xiàn)有10個數(shù) 它們能構(gòu)成一個以1為首項 3為公比的等比數(shù)列 若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù) 則它小于8的概率是 2 2012 上海十校聯(lián)考 若實數(shù)m n 2 1 1 2 3 且m n 則方程表示焦點在y軸上的雙曲線的概率是 解析 1 由通項公式an 1 3 n 1得 滿足條件的數(shù)有1 3 33 35 37 39 共6個 從而所求概率為p 2 m n的所有取值的情況有 20 滿足n 0 m 0的有 6種 所以所求概率為p 答案 1 2 點評 計算古典概型事件的概率可分三步 算出基本事件的總個數(shù)n 求出事件a所包含的基本事件個數(shù)m 代入公式求出概率p 變式探究 2 1 2011 陜西卷 甲乙兩人一起去游 2011西安世園會 他們約定 各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽 每個景點參觀1小時 則最后一小時他們同在一個景點的概率是 a b c d 2 2012 泰安模擬 若a 1 2 b 2 1 0 1 2 方程x2 ax b 0的兩根均為實數(shù)的概率為 解析 1 若用 1 2 3 4 5 6 代表6處景點 顯然甲 乙兩人最后一小時瀏覽的景點可能為 1 1 1 2 1 3 6 6 共36種 其中滿足題意的 最后一小時他們同在一個景點 包括 1 1 2 2 3 3 6 6 共6個基本事件 所以所求的概率為 故選d 2 若方程有兩實根 則a2 4b 0 a2 4b 則滿足條件的 a b 的基本事件有 1 0 2 1 2 0 1 1 1 2 2 2 2 1 共有7種情況 而整個基本事件空間共有10種情況 故方程有實根的概率為 答案 1 d 2 考點三 復(fù)雜的古典概型的概率 例3 袋中裝有黑球和白球共7個 從中任取2個球都是白球的概率為 現(xiàn)有甲 乙兩人從袋中輪流摸球 甲先取 乙后取 然后甲再取 取后不放回 直到兩人中有1人取到白球時即終止 每個球在每一次被取出的機會是等可能的 1 求袋中原有白球的個數(shù) 2 求取球2次即終止的概率 3 求甲取到白球的概率 思路點撥 因為袋中共有7個球 基本事件總數(shù)是有限的 而且每個球被抽到是等可能的 因此是古典概型 另外要注意球是不放回的摸球 每次摸出的球不能重復(fù) 解析 1 設(shè)袋中原有n個白球 從袋中任取2個球是白球的結(jié)果數(shù)為從袋中任取2個球的所有可能的結(jié)果數(shù)為由題意知 n n 1 6 解得n 3 舍去n 2 即袋中原有3個白球 2 設(shè)事件a 取球2次即終止 取球2次即終止 即乙第一次摸到的是白球而甲摸到的是黑球 所以p a 3 設(shè)事件b為 甲取到白球 第i次取到白球 為事件ai i 1 2 3 4 5 因為甲先取 所以甲只可能在第1次 第3次和第5次取白球 p b p a1 a3 a5 p a1 p a3 p a5 點評 求較復(fù)雜事件的概率問題 解題關(guān)鍵是理解題目的實際含義 把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型 必要時將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和 或者先求其對立事件的概率 進而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼?變式探究 3 2011 山東卷 甲 乙兩校各有3名教師報名支教 其中甲校2男1女 乙校1男2女 1 若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名 寫出所有可能的結(jié)果 并求選出的2名教師性別相同的概率 2 若從報名的6名教師中任選2名 寫出所有可能的結(jié)果 并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率 解析 記甲校的兩名男教師為a1 a2 1名女教師為b1 記乙校的1名男教師為a3 兩名女教師為b2 b3 1 從甲校 乙校各選1名教師的所有可能結(jié)果為 a1 a3 a1 b2 a1 b3 a2 a3 a2 b2 a2 b3 b1 a3 b1 b2 b1 b3 共9種 其中性別相同的選法為 a1 a3 a2 a3 b1 b2 b1 b3 共4種 所以所求概率為p 2 從報名的6名教師中任選2名 所有結(jié)果為 a1 a2 a1 b1 a1 a3 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 a3 a2 b2 a2 b3 b1 a3 b1 b2 b1 b3 a3 b2 a3 b3 b2 b3 共15種 來自同一學(xué)校的情況有 a1 a2 a1 b1 a2 b1 a3 b2 a3 b3 b2 b3 共6種 則所求概率為p 1 隨機試驗滿足下列條件 1 試驗可以在相同的條件下重復(fù)做下去 2 試驗的所有結(jié)果都是明確可知的 并且不止一個 3 每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個 但在實驗之前卻不能肯定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果 所以 隨機試驗的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果是一個隨機事件 這類隨機事件叫做基本事件 基本事件是事件的最小單位 所有事件都是由基本事件組成 基本事件有下列兩個特點 1 任何兩個基本事件都是互斥的 2 任何事件都可以表示成基本事件的和 不可能事件除外 2 基本事件的概率 在基本事件總數(shù)為n的古典概型中 每一基本事件發(fā)生的概率都是 3 古典概型是一種特殊的概率模型 其特征是 1 有限性 即在一次試驗中 可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個 也就是只有有限個不同的基本事件 2 等可能性 即每個基本事件發(fā)生的可能性是均等的 所以一次試驗是否為古典概型 在于這個試驗否具有古典概型的兩個特征 有限性和等可能性 4 古典概型的解題步驟 1 求出總的基本事件數(shù)n 2 求出事件a所包含的基本事件數(shù)m 然后利用公式 5 利用公式p a 計算概率時 關(guān)鍵在于求n m 因此首先要正確理解基本事件和事件a的相互關(guān)系 基本事件是一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件 這里特別要強調(diào)指出的是 一個基本事件是某一次試驗出現(xiàn)的結(jié)果 千萬不可以把幾次試驗的結(jié)果混為一個結(jié)果 例如同拋兩枚硬幣 一共出現(xiàn)四個等可能結(jié)果 正正 反反 正反 反正 而不能把一正環(huán)純醋饕桓齷 臼錄 因為這一事件包括 正反 反正 這兩種結(jié)果 否則基本事件就不等可能了 而事件a則不同 它可能僅含一個基本事件 也可能包含多個基本事件 因此在求n時必須強調(diào)n個基本事件必須等可能 否則n就求錯了 同時在求m時 事件a中所包含的每個基本事件也必須是等可能的 可以從集合的觀點來考察事件a發(fā)生的概率 在一次試驗中 等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個集合i 基本事件的個數(shù)n就是集合i的元素個數(shù) 事件a是集合i的一個包含m個元素的子集 故 其中i為所有基本事件的集合 a為事件a所含基本事件的集合 感悟高考 品味高考 1 盒中裝有形狀 大小完全相同的5個球 其中紅色球3個 黃色球2個 若從中隨機取出2個球 則所取出的2個球顏色不同的概率等于 解析 從盒中隨機取出2個球 有種取法 所取出的2個球顏色不同 有種取法 則所取出的2個球顏色不同的概率是p 答案 2 2012 重慶卷 某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文 數(shù)學(xué) 外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié) 則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 用數(shù)字作答 解析 6節(jié)課隨機安排 共有 720種排法 課表上相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法分三類 1 兩節(jié)相鄰文化課之間沒有藝術(shù)課間隔 可將三節(jié)文化課捆綁為一個元素 然后再與另外三節(jié)藝術(shù)課進行全排列 排法有 144種 2 三節(jié)文化課間都有1節(jié)藝術(shù)課間隔 有 文藝文藝文藝 與 藝文藝文藝文 兩種形式 其排法有2 72種 3 三節(jié)文化課中有兩節(jié)之間有一節(jié)藝術(shù)課 而另一節(jié)文化課與前兩節(jié)文化課之一無間隔 可先對文化課進行全排 然后從3節(jié)藝術(shù)課選一節(jié)放入排好的3節(jié)文化課之間 再將此4節(jié)課看作一個元素與余下的2節(jié)藝術(shù)課進行全排 其排法有 216種 綜上可知 相鄰兩節(jié)文化課間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課排法有144 72 216 432種 所以課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為答案 高考預(yù)測 1