勾股定理培優(yōu)題.docx

學(xué)習(xí)貴在落實 勾股定理一、知識要點1、勾股定理勾股定理在西方又被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，它有著悠久的歷史，蘊(yùn)含著豐富的文化價值，勾股定理是數(shù)學(xué)史上的一個偉大的定理，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，被人譽(yù)為“千古第一定理” .勾股定理反映了直角三角形（三邊分別為a、b、c，其中c為斜邊）的三邊關(guān)系，即a2+b2=c2，它的變形式為c2-a2=b2或c2-b2=a2.勾股定理是平面幾何中最重要的幾何定理之一，在幾何圖形的計算和論證方面，有著重要的應(yīng)用，它溝通了形與數(shù)，將幾何論證轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算，是一種重要的數(shù)學(xué)方法.2、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，則這個三角形是以c為斜邊的直角三角形.勾股定理的逆定理給出了判定一個三角形是直角三角形的方法，這種方法與前面學(xué)過的一些判定方法不同，它是通過代數(shù)運(yùn)算“算”出來的，實際上利用計算證明幾何問題在幾何里也是很重要的，這是里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的重要思想數(shù)形結(jié)合思想，突破了利用角與角之間的轉(zhuǎn)化計算直角的方法，建立了通過求邊與邊的關(guān)系來判斷直角的新方法，它將數(shù)形之間的聯(lián)系體現(xiàn)得淋漓盡致.因此也有人稱勾股定理的逆定理為“數(shù)形結(jié)合的第一定理”.二、基本知識過關(guān)測試1.如果直角三角形的兩邊為3，4，則第三邊a的值是 .2.如圖，圖形A是以直角三角形直角邊a為直徑的半圓，陰影SA= .3.如圖，有一個圓柱的高等于12cm，底面半徑3cm，一只螞蟻要從下底面上B點處爬至上底與B點相對的A點處，所需爬行的最短路程是 .4.如圖.在 ABC中，CDAB于D，AB=5，CD=，BCD=30 ，則AC= .5.作長為 ， ， 的線段.6.在下列各組數(shù)中 5，12，13 ；7，24，25；32，42，52；3a，4a，5a；a2+1，a2-1，2a(a1)；m2-n2，2mn，m2+n2(mn0)可作直角三角形三邊長的有 組.7.如圖，四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，ABBC，則四邊形ABCD的面積是 . 第2題圖 第3題圖 第4題圖 第7題圖8.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC中點，E為BC上一點，且EC=BC，試判斷 AEF的形狀.三、綜合.提高.創(chuàng)新【例1】（1）在三角形紙片ABC中，C=90，A=30，AC=3，折疊該紙片，使點A與點B重合，折痕與AB、AC分別相交于點D和點E（如圖），折痕DE的長是多少？（2）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，按如圖所示折疊，使點D落在BC上的點E處，求折痕AF的長.（3）如圖，正三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是BC邊上任意一點，PA+PM的最大值和最小值分別記作S和T，求S2-T2的值.【練】如圖，四邊形ABCD是長方形，把ACD沿AC折疊到ACD，AD與BC交于E，若AD=4，DC=3，求BE.【例2】（1）如圖，ABC中，C=60，AB=70，AC=30，求BC的長.（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60， B=D=90，求四邊形ABCD的面積.【練】如圖，ABC中，A=150，AB=2，BC=，求AC的長.【例3】（1）如圖，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D為BC上一點，ADAB，求CD.（2）如圖，在Rt ABC中，C=90，D、E分別是BC、AC中點，AD=5，BE=，求AB.【例4】如圖，ABC中，ACB=90，CDAB于D，設(shè)AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求證：（1）；（2）a+bc+h；（3）以a+b，h和c+h為邊的三角形是直角三角形.【例5】（1）如圖，ABCD為矩形，P為矩形ABCD所在平面上一點，求證：PA2-PB2=PD2 -PC2.（2）銳角ABC中，ADBC于D，若B=2C，求證：AC 2=AB 2+ABBC.變式：如圖，AM是ABC的BC邊上的中線，求證：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).（3）如圖，ABC中，AB=AC，P為線段BC上一動點，試猜想AB 2，AP2， PB，PC 有何關(guān)系，并加以證明.變式：若點P在BC的延長線上，如圖，（3）中結(jié)論是否仍然成立？并證明.（4）在等腰RtABC的斜邊AB所在的直線上取點P并設(shè)s =AP2+BP2，試探求P點位置變化時，s與2CP2的大小關(guān)系，并證明.變式：若點P在BA的延長線上，如圖中，（4）中結(jié)論是否仍然成立？并證明.【例6】（1）如圖，ABC中，D為BC邊上的中點，以D為頂點作EDF=90，DE、DF分別交AB、AC于E、F，且BE2+FC2=EF2，求證：BAC=90.（2）在RtABC中，BAC=90，AB=AC，E，F(xiàn)分別是BC上兩點，若EAF=45，試推斷BE，CF，EF之間的關(guān)系，并證明.變式一:將（2）中AEF旋轉(zhuǎn)至如圖所示，上述結(jié)論是否仍然成立？試證明. 變式二：如圖，AEF中EAF=45，AGEF于G，且GF=2，GE=3，求SAEF.【例7】（1）在ABC中，ACB=90，AC=BC，P為ABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度數(shù).（2）如圖，在四邊形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=CD，求證BD2=AB2+BC2.【例8】在等腰ABC中，AB=AC，邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角度m，得到線段AD.（1）如圖1，若BAC=30，30m80，連接BD，請用含m的式子表示DBC;（2）如圖2，若BAC=90，0m360，射線AD與直線BC相交于點E，是否存在旋轉(zhuǎn)角度m，使，若存在，求出所有符合條件的m的值；若不存在，請說明理由.【例9】（1）已知點P在一、三象限的角平分線上，且點P到點A（3，6）的距離為PA=15，求點P的坐標(biāo)；（2）已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（-1，4），B（-4，-2），C（2，-2），試判斷ABC的形狀；（3）求代數(shù)式的最小值；（4）已知a0，b0，求以，為三邊長的三角形的面積.自我歸納： 四、課后練習(xí)1.如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在北偏西30，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達(dá)B處，測得燈塔M在北偏西45，問該貨輪到達(dá)燈塔正東方向D處時，貨輪與燈塔M的距離是多少？2.在ABC中，A=30，B=45，BC=10cm，求AB，AC及ABC的面積.3.（1）如圖，把長方形沿ABCD對角線折疊，重合部分為EBD.1）求證和：EBD為等腰三角形；2）若AB=2，BC=8，求AE.（2）如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊上，已知AB=8cm，CE=4cm，求AD.4如圖，ABC是等腰三角形，BAC=90，AB=AC，D.E.是BC上的兩點，且DAE=45，若BD=6，EC=8，求DE的長.5如圖，在等腰三角形中，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E 、F分別為AB，AC邊上的點，且DEDF.（1）求證：BE2+CF2=EF2；（2）若BE=12，CF=5，試求DEF的面積.6如圖，等腰RtABC中，A=90，P為ABC內(nèi)一點，PA=1，PB=3，PC= ，求CPA.7（1）如圖1，已知點P是矩形ABCD內(nèi)一點，求證：PA2+PC2=PB2+PD2.（2）如果點P移動到矩形的一邊或頂點時，如圖2，（1）中結(jié)論仍成立；如果點P移動到矩形ABCD的外部時，如圖3，（1）中結(jié)論仍成立.請在以上兩個結(jié)論中任選一個并給出證明.歸納結(jié)論：8如圖，ABC中，AD是BC邊的中點，AE是BC邊上的高，求證：AB2-AC