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用主成分分析模型構造中學考試綜合評價指數(shù) 摘要 在中學考試的綜合評價中，使用較多的指標進行描述使分析復雜化，難以對眾多指標的影響作出正確的判斷，需要少量幾個“綜合評價指標”。通過簡單加權的合成方法，難以得到科學的結果。主成分分析是一種多元統(tǒng)計方法，可以將眾多指標簡化濃縮為少量幾個甚至一個綜合評價指標，使簡化的指標既能基本包括全部指標具有的信息，又使指標之間相互無關，較好地解決了這一課題。關鍵詞 考試評價；主成分分析；數(shù)學模型；計算步驟，指數(shù)構造方法一、問題的提出在中學考試評價中，通常使用各學科的“平均分”、“優(yōu)秀率”、“及格率”和“低分率”等指標?？紤]到成績的分布狀況（“優(yōu)秀率”與“及格率”之間的差距偏大，可能失去部分信息量），某些地區(qū)還使用了“良好率”指標。這樣，k個學科的考試評價的p項指標將多達kp個。在對考試進行綜合的評價時，使用較多的指標進行描述不僅會增加評價的工作量，而且會因評價指標間的相關性造成評價信息重疊，相互干擾，其結果使分析復雜化，難以對眾多指標的影響作出正確的判斷。因此，需要少數(shù)幾個甚至一個“綜合評價指標”來代替眾多的且相互之間具有相關關系的指標，同時又需要不失去原有指標具有的信息量，這是考試評價中具有現(xiàn)實意義的課題。某些地區(qū)采用一種“降維”的方法，較成功地把kp維指標降為p維指標，即在使用“總分平均分”的同時，用“科平均率”取代各科的“率”（計算方法見備注1）。如何把p維指標再合成為一個“綜合評價指標”？采用一些簡單加權的合成方法時，由于對各指標的影響不容易作出正確的定量化的判斷，及權數(shù)產生的科學性等問題，往往難以得到令人信服的科學的結果。主成分分析是一種多元統(tǒng)計方法，可以將眾多指標簡化濃縮為少數(shù)幾個甚至一個綜合評價指標，使簡化的指標既能基本包括全部指標具有的信息，又使指標之間相互無關。較好地解決了這一課題。二、主成分分析的數(shù)學模型= （X1，X2，Xp） （式11）設有n個樣品，每個樣品觀測p個指標（變量）：X1，X2，Xp, 得到原始數(shù)據(jù)矩陣：（i = 1，2，p）其中用數(shù)據(jù)矩陣X的p個列向量（即p個指標向量）作線形組合（即綜合指標向量）為：（i = 1，2，p）上述方程組要求：且系數(shù)ij由下列原則決定：、Fi與Fj（ij，i，j=1，p）不相關；、F1是X1，X2，Xp的一切線性組合（系數(shù)滿足上述方程組）中方差最大的，F(xiàn)2是與F1不相關的X1，X2，Xp的一切線性組合中方差最大的，F(xiàn)p是是與F1，F(xiàn)2，F(xiàn)p-1都不相關的X1，X2，Xp的一切線性組合中方差最大的。這樣決定的綜合變量F1，F(xiàn)2，F(xiàn)p分別稱為原變量的第一，第二，第p主成分，其中F1的方差在總方差中占的比例最大，其余主成分F2，F(xiàn)3，F(xiàn)p的方差依次遞減。在實際工作中挑選前幾個甚至一個最大主成分F1，就能夠基本包括全部指標所具有的信息，達到了將眾多指標簡化濃縮為少數(shù)幾個甚至一個綜合評價指標的目的。三、主成分分析的計算步驟及實例求解滿足上述要求的方程組系數(shù)ij的運算，在數(shù)學上可以變?yōu)榍蠓匠探M中的系數(shù)向量，即矩陣的特征值及其相應的單位特征向量的問題。建立模型時，首先將原始數(shù)據(jù)寫成矩陣，如（式11）。注意：原始數(shù)據(jù)矩陣X的p個指標需要有一定的聯(lián)系，而且為正相關（如果為負相關，需要進行相應的轉化）。1、將原始數(shù)據(jù)標準化。2、建立變量的相關系數(shù)矩陣：R =（rij）pp 不妨設R=XX3、求R的特征值12p 0 及其相應的單位特征向量：4、寫出主成分： Fi = a1iX1 + a2iX2 + + aPiXP i = 1, ，p5、計算第j個主成分（特征值）的方差貢獻率及前幾個主成分的累計方差貢獻率。選取累計貢獻率大于某值（如定為90%、95%、99%等）的前幾個主成分。6、對選取的主成分進行解釋或分析。主成分分析計算過程舉例：對青島市中考的5項指標作主成分分析，原始數(shù)據(jù)如附表1：由于“低分率”指標與其他指標之間呈顯著的“負相關”，直接代入必然產生嚴重的干擾，故實際寫入矩陣時該指標以“100% - 低分率”的形式出現(xiàn)。第一步、將原始數(shù)據(jù)標準化。第二步、建立變量的相關系數(shù)矩陣R如下：X1X2X3X4X5X11.0000.8850.9420.9790.989X20.8851.0000.9660.9330.818X30.9420.9661.0000.9830.889X40.9790.9330.9831.0000.949X50.9890.8180.8890.9491.000表1、相關系數(shù)矩陣R第三步、求特征值、特征向量和方差貢獻率主成分特征根方差貢獻率累計貢獻率14.735094.7094.7020.22984.6099.3030.02870.5799.8740.00510.1099.9750.00130.03100.00表2、特征根和方差貢獻率從表2看，前2個特征值累計貢獻率已達99.30%，說明前2個主成分包括了全部指標具有的99.30%的信息，我們取前2個特征值，并計算出相應的特征向量。第一特征向量第二特征向量0.4530120.3363460.434557-0.6421300.451546-0.3209310.4576400.0089460.4388760.609478表3、單位特征向量第四步、寫出主成分：第一主成分 F1 = 0.453012X1 + 0.434557X2 + 0.451546X3 +0.457640X4 + 0.438876X5第二主成分 F2 = 0.336346X1 - 0.642130X2 - 0.320931X3 + 0.008946X4 + 0.609478X5 第五步、分析。從第一主成分F1的各項指標的系數(shù)大小基本相當可見：這5個指標對F1的作用也基本相當?！傲己寐省敝笜说南禂?shù)（0.451546）甚至略大于“優(yōu)秀率”指標的系數(shù)（0.434557）。從第二主成分F2的各項指標的系數(shù)分析可見：“低分率”指標（0.609478）對F2的作用最大。本例說明把“良好率”和“低分率”納入指標考核的體系是有必要的（某些地區(qū)未采用這2個指標）。四、構造綜合評價指數(shù)的方法 方法一：利用主成分F1， ，F(xiàn)m作線性組合，并以每個主成分Fi的方差貢獻率i作為權數(shù)構造一個綜合評價函數(shù)： y = a1F1 + amFm y也稱為評估指數(shù)，可以依據(jù)對每個樣品計算出的y值大小進行排序或分類劃級。在上述例子中，青島市中考指標主成分分析的綜合評價函數(shù)可以表述為： y = 4.7350 F1 + 0.2298 F2方法二：只用第一主成分F1作綜合評價指數(shù)。在本例中，第1個特征值累計貢獻率已達94.70%，說明第一主成分已經(jīng)基本包括了主要指標具有的信息。當主成分特征向量的各分量符號不一致時（如本例第二主成分F2），只用F1作綜合評價指數(shù)是適宜的。青島市中考指標主成分分析的結果見附表1。該表中分別列出了“第一主成分F1指數(shù)”和“綜合評估指數(shù)”的數(shù)值、標準分值Z及其排序名次。用一個權數(shù)陣而得出去乘當原來的指標X1，XP 的重要程度存在較大差異時，可以對原來指標輔以加權“加權主成分分析”，相當于：其中 m = m1 + + mp =1，然后對y值作主成分分析。五、用計算機軟件自動實現(xiàn)主成分分析的過程掌握主成分分析的數(shù)學模型需要一定的高等代數(shù)如矩陣運算的基礎知識；進行實際計算的工作量十分繁雜；以通用的Excel軟件不可能實現(xiàn)其計算過程；等等，都限制了該方法在基層教研部門的普及應用，甚至在國內中心城市教研室中的應用也尚不普遍。曾見有關文獻介紹“陜西省高中會考綜合評價的主成分分析模型及應用”的經(jīng)驗。用計算機軟件實現(xiàn)主成分分析綜合評價的過程，并在基層教研部門甚至重點中學進行普及應用具有重要的意義。筆者設計的大中型城市教研室成績匯總、統(tǒng)計分析系統(tǒng)GSAS 軟件設有“主成分分析綜合評價”模塊，可完成數(shù)據(jù)采集、負相關轉化、標準化、計算分析、構造評價指數(shù)和排序的全部過程，主要功能有：1、選擇評估對象?？蛇x擇“全部地區(qū)”（以市、縣、區(qū)為單位評估），也可選擇“全部學?！被颉澳车貐^(qū)學?！保ㄒ詫W校為單位評估），也可以在軟件的“學校版” 內運行，即在校內以班級為單位評估等。2、選擇評估科目?？蛇x擇“匯總指標”，對考試進行評估，也可選擇“單科指標”，對某個科目評估。3、加權主成分分析。模塊具有“權數(shù)”設置的條件。例如某次考試為了強調“及格率”在整體評價目標中的作用，可加大該指標的權數(shù)，而相應減小其他指標的權數(shù)。如果想把“考試評價”擴展為更廣義的“教學評價”，在評價指標體系中加入“鞏固率”（實際考試人數(shù)/在冊學生人數(shù)）、“科平差生轉化率”、等指標，也是完全可以實現(xiàn)的。參考文獻、于秀林 任雪松編著多元統(tǒng)計分析中國統(tǒng)計出版社2003年4月、劉新平 劉存?zhèn)b編著教育統(tǒng)計與測評導論科學出版社 2003年6月、王漢瀾主編 教育評價學 河南大學出版社 1995年版 附表1、青島市中考指標主成分分析統(tǒng)計表學?？偡制骄挚破絻?yōu)秀率科平良好率科平及格率科平低分率第1主成分指數(shù)第1主成分指數(shù)Z第1主成分指數(shù)名次綜合評價指數(shù)綜合評價指數(shù)Z綜合評價指數(shù)名次育才444.9440.6268.4384.444.393.8561.77213.6091.7511超銀439.7439.7267.4884.384.123.7421.72023.5041.7002育文436.934.7668.6685.474.273.5311.63233.3221.612326中425.4738.3163.1378.618.443.0991.42442.8921.4034求真425.1732.9459.5179.824.752.8521.31152.6881.3055育賢422.5629.8561.5380.515.722.7291.25462.5801.2526智榮422.1932.2259.878.436.822.6941.23872.5361.2317長泰421.9131.458.1578.386.282.6091.19982.4621.1958志成416.929.8257.3877.917.072.4221.11392.2891.111939中412.5930.7355.7274.499.12.2131.017102.0831.01110新興404.8825.9851.971.989.251.6980.780111.6140.78311七中396.8326.9850.0468.9310.671.4860.683121.4060.68212濱海396.8623.8451.770.4511.421.4020.644131.3360.6481347中386.9224.1247.1966.8613.211.0210.469140.9710.4711459中380.5625.748.1364.7516.230.9240.425150.8650.4201549中302.929.5425.5739.3134.94-2.643-1.21452-2.491-1.2095227中283.676.5218.3932.7938.86-3.513-1.61553-3.312-1.6075364中273.758.6220.7232.7242.51-3.