指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪函數(shù).doc

中科教育2010年高中數(shù)學(xué)秋季講義指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù).指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)運(yùn)算法則：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）2. 指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù) 0a1圖 象表達(dá)式定義域值 域過(guò)定點(diǎn)單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】類(lèi)型一：指數(shù)運(yùn)算的計(jì)算題此類(lèi)習(xí)題應(yīng)牢記指數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算法則，注意分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，在根式運(yùn)算或根式與指數(shù)式混合運(yùn)算時(shí)，將根式化為指數(shù)運(yùn)算較為方便1、的平方根是_2、 已知，則的值為( )A B C D3、化簡(jiǎn)的結(jié)果是( ) A、 B、 C、D、4、已知，求：=_ 5、已知，求（1）=_（2）=_6、若，其中，則_類(lèi)型二：指數(shù)函數(shù)的定義域、表達(dá)式指數(shù)函數(shù)的定義域主要涉及根式的定義域，注意到負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；此外應(yīng)牢記指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)的定義域與的定義域相同1、若集合A=,B=_ 2、如果函數(shù)的定義域是,那么函數(shù)的定義域是_ 3、下列函數(shù)式中，滿(mǎn)足f(x+1)=f(x)的是( ) A、B、C、 D、 4、若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A、B、C、D、任意實(shí)數(shù)類(lèi)型三：復(fù)合函數(shù)形如的方程，換元法求解函數(shù)的定義域與的定義域相同先確定的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，單調(diào)性，可確定的值域涉及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，應(yīng)弄清函數(shù)是由那些基本函數(shù)符合得到的，求出復(fù)合函數(shù)的定義域，然后分層逐一求解內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意“同增異減”（1） 外函數(shù)是二次函數(shù)，內(nèi)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)1、求函數(shù)的值域2、當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是_，最小值是_ 3、已知，求f(x)=的最大值是_，最小值是_ （2）外函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，內(nèi)函數(shù)是二次函數(shù)1、函數(shù)y=() (-3)的值域是_，單調(diào)遞增區(qū)間是_ 2、已知函數(shù)y=()，求其單調(diào)區(qū)間_及值域_ 類(lèi)型四：奇偶性的判定 利用奇偶性的定義，注意計(jì)算過(guò)程中將根式化為分式指數(shù)冪后通分 1、函數(shù)是( ) A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)C、非奇非偶函數(shù)D、既奇且偶函數(shù) 2、已知函數(shù)f(x)= (1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求該函數(shù)的值域；(3)證明f(x)是R上的增函數(shù)。3、設(shè)aR,f(x)= ，試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù)類(lèi)型五：分類(lèi)討論思想在指數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用1、已知，且，解不等式 2、已知f(x)=,g(x)= (a0且a1),確定x的取值范圍,使得f(x)g(x). .對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算：1、 互化：2、 恒等：3、 換底： 推論1 推論2 推論3 4、 5、2對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù) 0a1圖 象表達(dá)式定義域值 域過(guò)定點(diǎn)(1，0)單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】類(lèi)型一：對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算此類(lèi)習(xí)題應(yīng)牢記對(duì)數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算法則，注意常用對(duì)數(shù)：將以10為底的對(duì)數(shù)叫常用對(duì)數(shù)，記為自然對(duì)數(shù)：以e=2.71828為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)，記為零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，且1、(1)、 (2)、 (3)、 2、已知,求 的值類(lèi)型二：指數(shù)，對(duì)數(shù)的混合運(yùn)算指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、若則_ 2、若且，則不等式的解集為_(kāi) 3、已知且，則A的值是_ 4、已知，那么用表示是( ) A、 B、 C、 D、 【能力提升】類(lèi)型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與解析式注意復(fù)合函數(shù)的定義域的求法，形如的復(fù)合函數(shù)可分解為基本初等函數(shù)，分別確定這兩個(gè)函數(shù)的定義域。1、函數(shù)的定義域是_ 2、已知，則=_ 3、已知，那么=_ 類(lèi)型四：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域注意復(fù)合函數(shù)的值域的求法，形如的復(fù)合函數(shù)可分解為基本初等函數(shù)，分別確定這兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域。1. 函數(shù)的值域是_ 2. 設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則=_ 3. 函數(shù)在上最大值和最小值之和為，則的值為_(kāi) 類(lèi)型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性1、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_ ; 函數(shù)的遞增區(qū)間是_ 2、下列各函數(shù)中在（0，1）上為增函數(shù)的是( )A. B. C. D.3、函數(shù)的圖像關(guān)于( )A、軸對(duì)稱(chēng) B、軸對(duì)稱(chēng) C、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D、直線對(duì)稱(chēng)4、函數(shù)是 （奇、偶）函數(shù)。5、已知函數(shù)，判斷的奇偶性和單調(diào)性。類(lèi)型六：對(duì)數(shù)中的不等關(guān)系比較同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大??；比較兩個(gè)同真數(shù)的對(duì)數(shù)值的大小1、設(shè)，則的大小關(guān)系是_ 2、設(shè)則的大小關(guān)系是_3、如果，那么的取值范圍是_ 4、如果，那么的關(guān)系是( ) A. B. C. D. 5、已知，則不等式解集為_(kāi) 6、若在上恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 類(lèi)型七：其它題型（奇偶性，對(duì)數(shù)方程，抽象函數(shù)）1、設(shè)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍是_2、已知集合，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中= _. 3、若滿(mǎn)足2x+=5, 滿(mǎn)足2x+2=5, +( ) A. B.3 C. D.4冪函數(shù)一、冪函數(shù)圖象的作法：根據(jù)冪函數(shù)的定義域、奇偶性，先作出其在第一象限的圖象，再根據(jù)其奇偶性作出其他象限的圖形.如果冪函數(shù)的解析式為或（、，、互質(zhì)）的形式，先化為，或的形式，再確定函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)，從而能比較準(zhǔn)確地作出冪函數(shù)的圖象.二、冪函數(shù)圖象的類(lèi)型：（共有11種情況）奇函數(shù)、都是奇數(shù)偶函數(shù)是奇數(shù)，是偶數(shù)非奇非偶函數(shù)是偶數(shù)，是奇數(shù)三、冪函數(shù)圖象特征：（1）當(dāng)時(shí)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象為凹的曲線；（2）當(dāng)時(shí)，圖象是一條不包括點(diǎn)（0，1）的直線；（3）當(dāng)時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象單調(diào)遞增，圖象為凸的曲線；（4）當(dāng)時(shí)，圖象是一、三象限的角平分線；（5）當(dāng)時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象單調(diào)遞增，圖象為凹的曲線.（6）冪函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第四象限；（7）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（1，1）（8）如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，則；（9）如果冪函數(shù)（、都是正整數(shù)，且、互質(zhì)）的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，則可取任意正整數(shù)，、中一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù).四、冪函數(shù)典型問(wèn)題：1概念問(wèn)題：【例1】1已知冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，則冪函數(shù)_【變式】當(dāng)m為何值時(shí)，冪函數(shù)y=(m2-5m+6)的圖象同時(shí)通過(guò)點(diǎn)(0，0)和(1，1).2定義域問(wèn)題：【例2】函數(shù)的定義域?yàn)?【變式】.求函數(shù)y=的定義域.3單調(diào)性問(wèn)題：【例3】已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【變式1】討論函數(shù)的單調(diào)性.【變式2】討論函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性4圖象問(wèn)題：【例4】若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求函數(shù)的解析式.【例5】利用函數(shù)的圖象確定不等式的解集：（1） 不等式的解集為 （2） 不等式的解集為 說(shuō)明：先在同一坐標(biāo)系中作出不等式兩邊函數(shù)的圖象，并確定交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而能較容易地寫(xiě)出不等式的解集5函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱(chēng)、翻折變換問(wèn)題：說(shuō)明：很多較復(fù)雜函數(shù)的圖象，都是通過(guò)將下列函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)、翻折變換而得到； 【例6】作出下列函數(shù)的大致圖象，并結(jié)合圖象寫(xiě)出函數(shù)的值域、奇偶性和單調(diào)區(qū)間.（1） （2）（3）， （4）， （5）