量子力學復習提綱.doc

量子力學復習提綱一、簡答題1、什么是黑體？答：在任何溫度下，對入射的任何波長的輻射全部吸收的物體。2、簡述光的波粒二象性。答：吸收、發(fā)射以微粒形式，傳播c 。描述波動性的力學量與描述粒子的力學量之間的聯(lián)系為，。3、試簡述Bohr的量子理論。答：（1）定態(tài)假設：電子只能在一組特殊的軌道上運動，在這組軌道上電子處于穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱定態(tài)。 （2）頻率條件：當電子從一個定態(tài)躍遷到另一個定態(tài)時，吸收或發(fā)射的輻射頻率滿足： 。（3）量子化條件：電子在軌道上運動時，其角動量必須是的整數(shù)倍。4、簡述德布羅意假設。答：具有能量E和動量的自由粒子與一個頻率為、波長為的平面波相聯(lián)系。，。5、粒子的德布羅意波長是否可以比其本身線度長或短? 答：由基本假設，波長僅取決于粒子的動量而與粒子本身線度無必然聯(lián)系。6、波函數(shù)模的平方的物理意義是什么？答：表示在時刻點附近單位體積中粒子出現(xiàn)的概率，即概率密度。7、按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，試給出波函數(shù)應滿足的條件。答：波函數(shù)應滿足的條件是：連續(xù)，有限，單值。8、簡述態(tài)疊加原理。答：若是體系的可能狀態(tài)，則也是體系的可能狀態(tài)。這一結論稱為態(tài)疊加原理。9何謂定態(tài)？答：能量具有確定值的狀態(tài)稱為定態(tài)。它用定態(tài)波函數(shù)描寫。10、簡述定態(tài)的特性。答：定態(tài)的特性有：能量具有確定值。幾率密度及幾率流密度不隨t變化。任何力學量（不含t）的平均值不隨t 變化。任何力學量（不含t）取各種可能測量值的幾率分布不隨t變化。11、簡要解釋一維線性諧振子的零點能。 答：一維線性諧振子的零點能為，它是諧振子基態(tài)的能量，是一種量子效應，是測不準關系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具體體現(xiàn)，諧振子永遠不會靜止。12、一維定態(tài)解包括幾個量子數(shù)？量子數(shù)數(shù)目取決于什么？答：一維定態(tài)解只是有一個能量量子數(shù)。一般說來，量子態(tài)的量子數(shù)數(shù)目等于體系的自由度數(shù)目，也即等于描述體系狀態(tài)的力學量完全集中所包含的力學量數(shù)目。13、量子力學定態(tài)解在什么條件下過渡到經(jīng)典解？答：量子力學的定態(tài)解在量子數(shù)時，即過渡到經(jīng)典解，此即玻爾對應原理。14、什么是束縛態(tài)？它有何特性？答：當粒子被外力（勢場）約束于特定的空間區(qū)域內(nèi)，即在無窮遠處波函數(shù)等于零的態(tài)叫束縛態(tài)。束縛態(tài)的能級是離散的。15、是否當入射粒子由低勢能區(qū)射向高勢能區(qū)時會在交界面發(fā)生反射，而由高勢能區(qū)射向低勢能區(qū)時不會發(fā)生反射？答：無論粒子由低勢能區(qū)射向高勢能區(qū)，或由高勢能區(qū)射向低勢能區(qū)，都會發(fā)生反射。16、何謂勢壘貫穿？答：微觀粒子在能量E小于勢壘高度U0時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象，稱為勢壘貫穿。17、為什么表示力學量的算符必須要求是線性厄米算符？答：表示力學量的算符必須是線性算符。這是由態(tài)疊加原理所要求的。真實力學量的任何測量值當然必須是實數(shù)，這就決定了力學量必須由厄米算符來表達。18、什么是算符的本征值方程、本征值和本征函數(shù)？ 答：含有算符的方程稱為算符的本征值方程，而則稱為算符的本征值，函數(shù)則稱為屬于本征值的本征函數(shù)。19、厄米算符有那些特性？答：厄米算符有如下性質(zhì)：（1）厄米算符的本征值是實數(shù)；（2）厄米算符在任何態(tài)的平均值也為實數(shù)；（3）厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交；（4）描寫力學量的厄米算符的本征函數(shù)是完全系。20、簡述算符與力學量的關系。答：量子力學中表示力學量的算符都是厄米算符，它們的本征函數(shù)組成完全系。當體系處于算符的本征態(tài)時，測量力學量的數(shù)值是確定的，恒等于；當體系處于波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時，測量力學量所得的數(shù)值，必定是算符的本征值之一，測得的概率是。21、試述力學量完全集的概念。答：能夠完全描述體系狀態(tài)的、彼此相互對易的一組力學量稱為力學量完全集。它的特點是：（1）力學量完全集的共同本征函數(shù)系構成一個希爾伯特空間；（2）力學量完全集所包含力學量的數(shù)目等于量子數(shù)組（）所包含的量子數(shù)數(shù)目，即體系的自由度數(shù)；（3）力學量完全集中所有力學量是可以同時測量的。22、試給出不確定關系（測不準關系）的數(shù)學表達式。答：若，則：，稱為不確定關系（測不準關系）。23、如何用矩陣表示量子態(tài)與力學量，并說明理由。答: 矩陣表示一般用于本征值為分立譜的表象（相應希爾伯特空間的維數(shù)是可數(shù)的）。具體說，如果力學量的本征函數(shù)為，相應本征值為。任意態(tài)矢可展開為態(tài)矢在表象的表示為展開系數(shù)組成的一列矩陣 其意義是：在態(tài)中，力學量取值的幾率為，與坐標表象波函數(shù)的意義相類似。力學量用厄密矩陣表示 可見列矩陣與方陣維數(shù)與希爾伯特空間維數(shù)相同。 用矩陣表示力學量，理由如下： （1）可以反映力學量作用一個量子態(tài)而得到另一個量子態(tài)的事實。設，則 簡記為； （2）矩陣乘法一般不滿足交換律，這恰好能滿足兩個力學量一般不對易的要求； （3）厄密矩陣的性質(zhì)能體現(xiàn)力學量算符的厄密性。24、算符（力學量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?答：力學量本征值是分立譜時，它在其自身表象中的表示是對角化的，對角元素就是它的本征值。 本征矢為單一元素列矩陣。 25、狄拉克符號中，引入了右矢，為什么又引入左矢，右矢和左矢能夠相加嗎？答：在量子力學中，態(tài)空間是具有內(nèi)積的矢量空間，類似于希爾伯特空間波函數(shù)和的內(nèi)積，和的內(nèi)積記為，是對應于的左矢，屬于伴隨空間的一個矢量。由于左矢和右矢是分屬于不同空間的矢量，它們不能相加。26簡述定態(tài)微擾論的基本思想。答：量子力學體系的哈密頓算符不是時間的顯函數(shù)時，通過求解定態(tài)薛定諤方程，討論定態(tài)波函數(shù)。除少數(shù)特例外，定態(tài)薛定諤方程一般很難嚴格求解。求解定態(tài)薛定諤方程 時，若可以把不顯函時間的分為大、小兩部分 ，其中 ，即的本征值和本征函數(shù)是可以精確求解的，或已有確定的結果。滿足上述條件的基礎上，常引入一個很小參數(shù)（），將微擾寫成 ，以逐步近似的精神求解薛定諤方程。將能級和波函數(shù)以的冪級數(shù)展開 與稱為零級近似能量和零級近似波函數(shù)，是未受微擾時的本征能量和本征函數(shù)，也是我們求解微擾問題的必備基本條件，后面各項按的冪次稱為一級修正、二級修正、。27非簡并定態(tài)微擾論的適用條件是什么？答：非簡并定態(tài)微擾論的適用條件為，一是要求微擾本身應很小，二是要求能級間隔較大。28簡并態(tài)微擾與非簡并態(tài)微擾的主要區(qū)別是什么？什么條件下，簡并能級情況可用非簡并態(tài)微擾處理？答：簡并態(tài)微擾與非簡并態(tài)微擾的主要區(qū)別是零級近似能量給定后，對應的零級近似波函數(shù)一般說來是不能完全確定的。對于度簡并能級如選擇的個獨立的已使對角化，即，此時，對應的零級近似波函數(shù)為，雖然能級是簡并的，仍可用非簡并定態(tài)微擾論處理一級近似問題。29、研究微觀粒子間的碰撞現(xiàn)象有什么意義？ 答：微觀粒子（單一的及復合的）間的碰撞實驗是量子物理中最重要的實驗技術，是研究物質(zhì)結構、深刻認識微觀過程的重要手段。歷史上，由于粒子散射實驗，建立了原子的有核模型。電子與原子的碰撞實驗（夫蘭克-赫茲實驗）證實了原子中定態(tài)能級的存在。原子核及基本粒子的許多重要性質(zhì)都是經(jīng)過各種碰撞實驗得出的，并且碰撞實驗也是產(chǎn)生基本粒子的主要方法。量子碰撞理論是量子物理中一個非常重要的分支。30、一維勢壘貫穿中，是否存在散射截面的概念？ 答：一維勢壘問題中，只有兩個方向，所以，不存在散射截面的概念，與之相當?shù)母拍顬榉瓷湎禂?shù)。31自旋可在坐標空間中表示嗎？它與軌道角動量性質(zhì)上有何差異？答：（1）自旋是內(nèi)稟角動量，它不能在坐標空間中表示出來。（2）軌道角動量是微觀粒子的外部空間角動量，它可在坐標表象中表示出來，量子數(shù)為整數(shù)，本征態(tài)為球諧函數(shù)；自旋是內(nèi)稟角動量，量子數(shù)為整數(shù)或半奇整數(shù)，自旋函數(shù)需用多分量波函數(shù)表示。此外，二者的旋磁比不同。32量子力學中，角動量是如何定義的？答：量子力學中，角動量是按下式定義 =i任何滿足此式的算符所代表的力學量，都可以認為是角動量。此定義較之角動量的仿佛經(jīng)典定義=更具普遍性。后者只能適用于軌道角動量而不能適用于自旋。33電子的本征態(tài)常被寫為，；它們的含義是什么？答：的本征態(tài)是自旋波函數(shù)的特例。由于在的本征態(tài)中，本征值僅有與量子數(shù)對應，分別記為，；是電子的兩個線性獨立的自旋態(tài)，組成一組正交完備基矢，以此為基矢的表象為表象。任一自旋態(tài)在表象中可展開為。34泡利矩陣中，與為實矩陣，為純虛矩陣。問：是否可經(jīng)表象變換，使三個泡利矩陣都是實的；或者兩個是虛的，另一個是實矩陣。答：因為與表象無關。而乘積結果中的出現(xiàn)使在任何表象中，三個泡利矩陣、 不可能都是實的，也不可能兩個是純虛數(shù)的另一個實矩陣。35何謂全同粒子？答：所有固有物理性質(zhì)如質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、均相同的粒子。 36微觀粒子的全同性原理表述為：“全同粒子體系中，體系的物理狀態(tài)不因交換任意兩個粒子而改變”。問：（1）“物理狀態(tài)”是指宏觀態(tài)還是微觀態(tài)？（2）“交換任意兩個粒子”的準確含義是什么？（3）它與全同粒子的不可區(qū)分性有什么聯(lián)系？答：（1）物理狀態(tài)不變是指體系的微觀態(tài)和宏觀態(tài)都不因全同粒子間的交換而改變，全同性原理中強調(diào)的是微觀態(tài)（量子態(tài)）的不變；（2）交換任意兩個粒子是指在描述全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)中交換兩個粒子的包括自旋在內(nèi)的全部坐標；（3）實質(zhì)相同。所以，全同性原理往往也被稱為不可區(qū)分（分辨）原理。37簡述pauli原理。答：在Fermi子體系中，不允許有兩個或兩個以上的Fermi子處于同一量子態(tài)。二、證明題1、設質(zhì)量為的粒子在勢場中運動。(1)試證明粒子的能量平均值為，其中， (能量密度)。(2)證明能量守恒公式。其中 (能流密度)。證明：(1) 三維粒子的能量算符是:，由于，將此式代入前一式：最末一式按高斯定理化為面積分：，由波函數(shù)的標準條件可知，S考慮為無限遠處的界面。結果證得。(2) （ ：幾率密度） （定態(tài)波函數(shù)，幾率密度不隨時間改變）所以 。2、 一維粒子波函數(shù)是定態(tài)薛定諤方程的一個解，對應的能量本征值為E，則也是定態(tài)薛定諤方程的一個解，對應的能量本征值也為E。證明：定態(tài)薛定諤方程為： 對方程兩邊取復共軛（E，V為實數(shù)），得： 說明也是方程的解，能量本征值還是E。3、 一維粒子波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程，若、都是方程的解，則有。證明：按照假設 （1） （2），得：或，積分，得：常數(shù) （與x無關）。4、證明在定態(tài)中，概率流密度與時間無關。證明：對于定態(tài)，可令 可見無關。5、證明算符是厄密算符。證明：，因為是厄密算符，所以是厄密算符。6、證明角動量算符是厄密算符。證明：對于同理： 所以，是厄密算符。7、試證明：厄米算符的本征值必為是實數(shù)。證明：設 （即體系處于算符的本征態(tài)）由，左端右端=若是厄米算符，則左=右， 證完8、試證明：厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。證明：設分別是屬于厄米算符本征值的兩個本征函數(shù)則，且又是厄米算符，則 又厄米算符的本征值是實數(shù) 因此 代入得： 9、試證明：證明：=10、證明：在的本征態(tài)下。證明：假設是的本征態(tài)，相應的本征值是，。根據(jù)角動量的對易關系，可得：類似，利用，可以證明 。11、求證：，分別為角動量算符的本征值為的本征態(tài)。證明：因為，因此，可見，是的本征值為的本征態(tài)。同理可證明， ，。12、設力學量A不顯含t，為體系的Hamilton量，證明：。證明：對于不顯含t的力學量A，有： 上式兩邊再對t求導，則有：即：13、設力學量A不顯含t，證明在束縛定態(tài)下：。證明：定態(tài)是能量本征態(tài)，滿足。對于束縛態(tài)，是可以歸一化的，即取有限值。而對于不顯含t的力學量A，有：因此，14、設算符具有性質(zhì)。求證：（1）本征值必為實數(shù)。（2）（3）的本征值為0或者1。證明：（1）因為，所以是一個厄米算符，它的本征值必為實數(shù)。（2）。（3）設的本征值為n，本征矢量為，則因為：所以，從而得到n2-n = 0,可見，的本征值為n = 0或n = 1。15、證明：非簡并定態(tài)微擾中，基態(tài)能量的二級修正永為負值。證明：能量的二級修正，若為基態(tài)能量，當然其數(shù)值為最小，因而在求和中的任一項，故永為負值。16、證明：對于自旋為1/2的粒子，使的態(tài)是不存在的。證明：首先令在態(tài)中， 設，得； 再由 由于無法同時滿足，所以，對于自旋為的粒子，使態(tài)是不存在的。17、證明：證明：由對易關系： 將式兩邊左乖得： 即： 又， 將式兩邊右乖得： 即： 又， +得： 18、證明：證明：由對易關系及反對易關系 ，得： 上式兩邊左乘，得： 三、計算題1、設質(zhì)量為的粒子在一維無限深方勢阱中運動，試求粒子的能量本征值和對應的本征函數(shù)。2、繞一固定軸轉(zhuǎn)動的剛性轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是，L為角動量，求與此對應的量子體系的定態(tài)能量及波函數(shù)。3、設質(zhì)量為的粒子在一維無限深勢阱中運動，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，求：歸一化常數(shù)A；粒子的位置平均值；粒子的能量平均值；粒子的動量平均值。4、一維諧振子處在基態(tài)，求： (1)勢能的平均值； (2)動能的平均值； (3)動量的幾率分布函數(shù)。5、氫原子處在基態(tài)，求：(1) r的平均值；(2)勢能的平均值；(3)最可幾半徑；(4)動能的平均值；(5)動量的幾率分布函數(shù)。6、設氫原子處于狀態(tài) 求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學量的平均值。7、設粒子（能量）從左入射，碰到勢阱。求阱壁處的反射系數(shù)。8、設粒子（能量）從左入射，碰到勢阱。求阱壁處的反射系數(shù)。9、已知厄密算符，滿