金融工程 第06章 期權(quán)定價.doc

第六章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型期權(quán)定價是所有衍生金融工具定價中最復(fù)雜的，它涉及到隨機過程等較為復(fù)雜的概念。我們將由淺入深，盡量深入淺出地導(dǎo)出期權(quán)定價公式，并找出衍生證券定價的一般方法。第一節(jié)證券價格的變化過程由于期權(quán)定價用的相對定價法，即相對于證券價格的價格，因此要為期權(quán)定價首先必須研究證券價格的變化過程。目前，學(xué)術(shù)界普遍用隨機過程來描述證券價格的變化過程。本節(jié)將由淺入深地加以介紹。一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價格變動是相互獨立的。效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。弱式效率市場假說認為，證券價格變動的歷史不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。半強式效率市場假說認為，證券價格會迅速、準確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。強式效率市場假說認為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對挑選證券都沒有用處。效率市場假說提出后，許多學(xué)者運用各種數(shù)據(jù)對此進行了實證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）來表述。所謂隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。根據(jù)時間是否連續(xù)隨機過程可分為離散時間和連續(xù)時間隨機過程，前者是指變量只能在某些分離的時間點上變化的過程，后者指變量可以在連續(xù)的時間段變化的過程。根據(jù)變量取值范圍是否連續(xù)劃分，隨機過程可分為離散變量和連續(xù)變量過程，前者指變量只能取某些離散值，而后者指變量可以在某一范圍內(nèi)取任意值。從嚴格意義上說，證券價格的變化過程屬于離散變量的離散時間隨機過程，但我們?nèi)钥砂阉茷檫B續(xù)變量的連續(xù)時間的隨機過程。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。在這個過程中，只有變量的當前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格。二、布朗運動布朗運動（Brownian Motion）起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運動的描述，以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象的英國植物學(xué)家羅伯特布朗（Robert Brown）命名。然而真正用于描述布朗運動的隨機過程的定義是維納（Wiener）給出的，因此布朗運動又稱維納過程。（一）標準布朗運動設(shè)代表一個小的時間間隔長度，代表變量z在時間內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足（6.1）： = （6.1）其中，代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。特征2：對于任何兩個不同時間間隔，的值相互獨立。從特征1可知，本身也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，標準差為，方差為。從特征2可知，標準布朗運動符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式?，F(xiàn)在我們來考察遵循標準布朗運動的變量z在一段較長時間T中的變化情形。我們用z（T）z(0)表示變量z在T中的變化量，它可被看作是在N個長度為的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/，因此， （6.2）其中(i=1，2，N）是標準正態(tài)分布的隨機抽樣值。從特征2可知，是相互獨立的，因此z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為N=T，標準差為。由此我們可以發(fā)現(xiàn)兩個特征：在任意長度的時間間隔T中，遵循標準布朗運動的變量的變化值服從均值為0、標準差為的正態(tài)分布。對于相互獨立的正態(tài)分布，方差具有可加性，而標準差不具有可加性。當0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動： （6.3）（二）普通布朗運動為了得到普通的布朗運動，我們必須引入兩個概念：漂移率和方差率。漂移率（Drift Rate）是指單位時間內(nèi)變量z均值的變化值。方差率（Variance Rate）是指單位時間的方差。標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。漂移率為0意味著在未來任意時刻z的均值都等于它的當前值。方差率為1.0意味著在一段長度為T的時間段后，z的方差為1.0T。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運動： （6.4）其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。這個過程指出變量x關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程。其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。從式（6.1）和（6.4）可知，在短時間后，x值的變化值為：因此，x也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標準差為，方差為。同樣，在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標準差為，方差為b2T。三、伊藤過程普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式（6.4）得到伊藤伊藤（K.Ito）是一位數(shù)學(xué)家，它在1951年提出伊藤過程及下文的伊藤引理。過程（Ito Process）： （6.5）其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。四、證券這里的“證券”專指無收益證券，證券收益對證券價格和期權(quán)定價影響將在下文專門討論。價格的變化過程證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為S2的伊藤過程來表示：兩邊同除以S得： （6.6）其中S表示證券價格，表示證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率） 這是因為，當=0時，公式（6.6）變?yōu)?。解得：。顯然，是連續(xù)復(fù)利收益率。， 表示證券收益率單位時間的方差，表示證券收益率單位時間的標準差，簡稱證券價格的波動率（Volatility），dz表示標準布朗運動。公式（6.6）又被稱為幾何布朗運動。從（6.6）可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為：可見，也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標準差為，方差為。換句話說 （6.7）其中表示均值為m，標準差為s的正態(tài)分布。在式（6.6），我們涉及兩個符號：，其大小取決于時間計量單位。在本書中，若無特別申明，我們通常以年為時間的計量單位。根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，值取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、無風(fēng)險利率水平、以及市場的風(fēng)險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此的決定本身就較復(fù)雜。然而幸運的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價與標的資產(chǎn)的預(yù)期收益率（）是無關(guān)的。相反，證券價格的波動率（）對于衍生證券的定價則是相當重要的。證券價格的波動率可理解為證券價格的“脾氣”，我們可以通過歷史數(shù)據(jù)來觀察各種證券“脾氣”的大小，然后通過公式（6.6）來確定其未來價格的概率分布。應(yīng)該注意的是，公式（6.6）把當作常數(shù)，實際上，證券價格的脾氣是會變的。會隨時間變化而變化。因此用歷史數(shù)據(jù)估計值時，應(yīng)盡量用最新一段時間的數(shù)據(jù)，而且要注意這只是一種近似。例6.1設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運動，其波動率為每年18%，預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計為每年20%，其目前的市價為100元，求一周后該股票價格變化值的概率分布。在本例中，=0.20，=0.18，其股價過程為：在隨后短時間時隔后的股價變化為：由于1周等于0.0192年，因此上式表示一周后股價的增加值是均值為0.384元，標準差為2.49元的正態(tài)分布的隨機抽樣值。應(yīng)該注意的是，由于比例變化不具有可加性（例如股價先增長10%，再增長15%，其總增長幅度不是25%，而應(yīng)該是26.5%），因此我們并不能象以前一樣推導(dǎo)出在任意時間長度T后證券價格比例變化的標準差為。五、伊藤引理在伊藤過程的基礎(chǔ)上，伊藤進一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： （6.8）其中，dz是一個標準布朗運動。由于 和都是x和t的函數(shù)，因此函數(shù)G也遵循伊藤過程，它的漂移率為：，方差率為。公式（6.8）就是著名的伊藤引理伊藤引理的證明過程請參見Hull，J.C.，Options，F(xiàn)utures， and Derivative Securities , 5th ed., Prentice Hall，2002。從式（6.5）中，我們可得： （6.9）其中，和為常數(shù)。我們知道，衍生證券的價格是標的證券價格S和時間t的函數(shù)。根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應(yīng)遵循如下過程： （6.10）比較式（6.9）和(6.10)可看出，衍生證券價格G和標的證券價格S都受同一個不確定性來源dz的影響，這點對于以后推導(dǎo)衍生證券的定價公式很重要。六、證券價格自然對數(shù)變化過程我們可用伊藤引理來推導(dǎo)證券價格自然對數(shù)lnS變化所遵循的隨機過程。令，由于代入式（6.10），我們就可得出證券價格對數(shù)G所遵循的隨機過程為：由于和是常數(shù)，所以上式說明證券價格對數(shù)G也遵循普通布朗運動，它具有恒定的漂移率和恒定的方差率。由前面的分析可知，在當前時刻t和將來某一時刻T之間G的變化都是正態(tài)分布的，其均值為，方差為。令t時刻G的值為lnS，T時刻G的值為lnST，其中S表示t時刻（當前時刻）的證券價格，ST表示T時刻（將來時刻）的證券價格，則在Tt期間G的變化為：這意味著： （6.11）也就是說，證券價格對數(shù)的變化呈正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)正態(tài)分布的特性，從式（6.11）可以得到： （6.12）這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。lnST的標準差與成比例，這說明證券價格對數(shù)的不確定性（用標準差表示）與我們考慮的未來時間的長度的平方根成正比。這就解決了前面所說的證券價格比例變化的標準差與時間不成正比的問題。例6.2設(shè)A股票價格的當前值為50元,預(yù)期收益率為每年18%,波動率為每年20%,該股票價格遵循幾何布朗運動,且該股票在6個月內(nèi)不付紅利，請問該股票6個月后的價格ST的概率分布。由式（6.12）可知，6個月后ST的概率分布為：由于一個正態(tài)分布變量取值位于均值左右兩個標準差范圍內(nèi)的概率為95%，因此，置信度為95%時：因此，6個月后A股票價格落在40.85元到71.81元之間的概率為95%。根據(jù)式（6.12）和對數(shù)正態(tài)分布的特性,可知ST的期望值E(ST)為： （6.13）這與作為預(yù)期收益率的定義相符。ST的方差var(ST)為： （6.14）例6.3請問在例6.2中，A股票在6個月后股票價格的期望值和標準差等多少？半年后，A股票價格的期望值為54.71元，標準差為或7.78。第二節(jié) 布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型現(xiàn)在，我們就可以根據(jù)上述隨機過程的有關(guān)知識推導(dǎo)著名的布萊克舒爾斯（BlackScholes）微分方程及期權(quán)定價公式。一、布萊克舒爾斯微分方程由于衍生證券價格和標的證券價格都受同一種不確定性（dz）影響，若匹配適當?shù)脑?，這種不確定性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立一個包括一單位衍生證券空頭和若干單位標的證券多頭的投資組合。若數(shù)量適當?shù)脑?，標的證券多頭盈利（或虧損）總是會與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險的。那么，在無套利機會的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無風(fēng)險利率。推導(dǎo)布萊克舒爾斯微分方程需要用到如下假設(shè)：1證券價格遵循幾何布朗運動，即和為常數(shù)；2允許賣空標的證券；3沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的；4在衍生證券有效期內(nèi)標的證券沒有現(xiàn)金收益支付；5不存在無風(fēng)險套利機會；6證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；7在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。實際上，有些假設(shè)條件我們可以放松，如、和r可以是t的函數(shù) 詳見第7章。（一）布萊克舒爾斯微分方程的推導(dǎo)由于我們假設(shè)證券價格S遵循幾何布朗運動，因此有：其在一個小的時間間隔中，S的變化值為： （6.15）假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則f一定是S和t的函數(shù)，從式（6.10）可得：在一個小的時間間隔中，f的變化值為： （6.16）從上面分析可以看出，（6.15）和（6.16）中的相同，都等于。因此只要選擇適當?shù)难苌C券和標的證券的組合就可以消除不確定性。為了消除，我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價值，則： （6.17）在時間后，該投資組合的價值變化為： （6.18）將式（6.15）和（6.16）代入式（6.18），可得： （6.19）由于式（6.19）中不含有，該組合的價值在一個小時間間隔后必定沒有風(fēng)險，因此該組合在中的瞬時收益率一定等于中的無風(fēng)險收益率。否則的話，套利者就可以通過套利獲得無風(fēng)險收益率。因此，在沒有套利機會的條件下：把式（6.17）和（6.19）代入上式得：化簡為： （6.20）這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。應(yīng)該注意的是，當S和t變化時， 的值也會變化，因此上述投資組合的價值并不是永遠無風(fēng)險的，它只是在一個很短的時間間隔中才是無風(fēng)險的。在一個較長時間中，要保持該投資組合無風(fēng)險，必須根據(jù)的變化而相應(yīng)調(diào)整標的證券的數(shù)量。當然，推導(dǎo)布萊克舒爾斯微分方程并不要求調(diào)整標的證券的數(shù)量，因為它只關(guān)心中的變化。（二）風(fēng)險中性定價原理從式（6.20）可以看出，衍生證券的價值決定公式中出現(xiàn)的變量為標的證券當前市價（S）、時間（t）、證券價格的波動率（）和無風(fēng)險利率，它們?nèi)际强陀^變量，獨立于主觀變量風(fēng)險收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。于是，我們就可以利用布萊克舒爾斯微分方程所揭示的這一特性，作出一個可以大大簡化我們工作的簡單假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。在所有投資者都是風(fēng)險中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，這是因為風(fēng)險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險。同樣，在風(fēng)險中性條件下，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。應(yīng)該注意的是，風(fēng)險中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。為了更好地理解風(fēng)險中性定價原理，我們可以舉一個簡單的例子來說明。假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權(quán)價值為0.5元；若3個月后該股票價格等于9元，則該期權(quán)價值為0。為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和單位的標的股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于（110.5）元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9元。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當?shù)闹担?個月后該組合的價值不變，這意味著：110.5=9=0.25因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標的股票。無論3個月后股票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。在沒有套利機會情況下，無風(fēng)險組合只能獲得無風(fēng)險利率。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此：這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為0.31元，否則就會存在無風(fēng)險套利機會。從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險中性世界中，無風(fēng)險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求：P=62.66%。又如，如果在現(xiàn)實世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：P=69.11%?？梢?，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于0.31元。二、布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式1973年，布萊克和舒爾斯成功地求解了他們的微分方程，從而獲得了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的精確公式詳見：Black，F(xiàn). and M. Scholes，“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”（期權(quán)和公司負債的定價），Journal of Political Economy，81（MayJune 1973），63759.。在風(fēng)險中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為：其中，表示風(fēng)險中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： （6.21）在風(fēng)險中性條件下，我們可以用r取代式（6.12）所表示lnST概率分布中的，即： （6.22）對式（6.21）右邊求值是一種積分過程 詳細推導(dǎo)過程請見本章附錄A。，結(jié)果為： （6.23）其中，N（x）為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)（即這個變量小于x的概率），根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有。這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式。B-S公式看起來很復(fù)雜，為了幫助理解，我們可以從三個角度來理解這個公式的金融含義。首先，從附錄A的推導(dǎo)過程可以看出，N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。其次，是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負債的價值。最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)的價值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)空頭的價值 關(guān)于資產(chǎn)或無價值期權(quán)和現(xiàn)金或無價值期權(quán)，詳見第9章。在標的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式（6.23）也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價值。根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式 ： （6.24）由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴密的平價關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)的定價還沒有得到一個精確的解析公式，但可以用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出 詳見第8章。三、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價公式到現(xiàn)在為止，我們一直假設(shè)期權(quán)的標的資產(chǎn)沒有現(xiàn)金收益。那么，對于有收益資產(chǎn)，其期權(quán)定價公式是什么呢？實際上，如果收益可以準確地預(yù)測到，或者說是已知的，那么有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價并不復(fù)雜。（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式在收益已知情況下，我們可以把標的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風(fēng)險部分。當期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險部分的證券價格。表示風(fēng)險部分遵循隨機過程的波動率從理論上說,風(fēng)險部分的波動率并不完全等于整個證券價格的的波動率,有風(fēng)險部分的波動率近似等于整個證券價格波動率乘以S/(SV)，這里V是紅利現(xiàn)值。但在本書中，為了方便起見，我們假設(shè)兩者是相等的。，就可直接套用公式（6.23）和（6.24）分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。當標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替式（6.23）和（6.24）中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。當標的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將代替式（6.23）和（6.24）中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格，從而使布萊克舒爾斯的歐式期權(quán)定價公式適用歐式貨幣期權(quán)和股價指數(shù)期權(quán)的定價。對于歐式期貨期權(quán)，布萊克教授也給出了定價公式： （6.25） （6.26）其中，例6.4假設(shè)當前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運動，其波動率為10%，求6個月期協(xié)議價格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權(quán)價格。由于英鎊會產(chǎn)生無風(fēng)險收益，現(xiàn)在的1英鎊等于6個月后的英鎊，而現(xiàn)在的英鎊等于6個月后的1英鎊，因此可令，并代入式（6.23）就可求出期權(quán)價格。通過查累積正態(tài)分布函數(shù)N（x）的數(shù)據(jù)表，我們可以得出：c=1.42680.4298-1.44840.4023=0.0305=3.05美分因此,6個月期英鎊歐式看漲期權(quán)價格為3.05美分。（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價1美式看漲期權(quán)當標的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計算在T時刻和tn時刻到期的歐式看漲期權(quán)的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯。例6.5假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標的股票在5個月和11個月后各有一個除權(quán)日，每個除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標的股票當前的市價為50元，期權(quán)協(xié)議價格為50元，標的股票波動率為每年30%，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價值。首先我們要看看該期權(quán)是否應(yīng)提前執(zhí)行。根據(jù)第5章的結(jié)論，美式看漲期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：在本例中，D1=D2=1.0元，而第一次除權(quán)日前不等式右邊為：由于2.43851.0元，因此在第一個除權(quán)日前期權(quán)不應(yīng)當執(zhí)行。第二次除權(quán)日前不等右邊為：由于0.4148c12，因此該美式看漲期權(quán)價值近似為7.2824元。2美式看跌期權(quán)由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。第三節(jié) 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的實證研究和應(yīng)用一個大家都關(guān)心的問題是布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的精確度有多高，在實踐中用處有多大。一、布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式實證研究對于精度問題，我們可以運用布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式計算出期權(quán)價格的理論值，然后與市場上的期權(quán)價格進行比較。如果兩者不存在顯著的差別，那么這個定價公式的精度應(yīng)該是令人滿意的。布萊克和舒爾斯的研究參見Black, F and M. Sholes, 1972, “The Value of Option Contracts and a Test of Market Efficiency,” Journal of Finance, 27, 399418。發(fā)現(xiàn)布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低的期權(quán)。蓋爾特基等人參見Gultekin, N., R. Rogalski, and Inic, 1982, “Option Pricing Model Estimates: Some Empirical Results,” Financial Manangement, 11, 5869。也得出了類似的結(jié)論，此外他們還發(fā)現(xiàn)布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式會高估實值期權(quán)的價格，低估虛值期權(quán)的價格。開勒斯參見Chiras, D., and S.Manaster, 1978, “The Information Content of Option Prices and a Test of Market Efficiency,” Journal of Financial Economics, 6, 213234。等人則發(fā)現(xiàn)改變波動率的估計的方式會提高布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式在預(yù)測實際價格時的表現(xiàn)。雖然上述研究證實布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式存在一定偏差，但它依然是迄今為止解釋期權(quán)價格動態(tài)的最佳模型之一。與CAPM解釋股票價格差異的能力相比，布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式可以較好地解釋期權(quán)的價格差異。造成用布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式估計的期權(quán)價格與市場價格存在差異的原因主要有以下幾個：1. 計算錯誤；2. 期權(quán)市場價格偏離均衡；3. 使用的錯誤的參數(shù)；4. 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式建立在眾多假定的基礎(chǔ)上。二、布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的應(yīng)用布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式除了可以用來估計期權(quán)價格，在其它一些方面也有重要的應(yīng)用。主要包括評估組合保險成本、給可轉(zhuǎn)換債券定價和為認股權(quán)證估值。（一）評估組合保險成本證券組合保險是指事先能夠確定最大損失的投資策略。比如在持有相關(guān)資產(chǎn)的同時買入看跌期權(quán)就是一種組合保險。假設(shè)你掌管著價值1億的股票投資組合，這個股票投資組合于市場組合十分類似。你擔(dān)心類似于1987年10月19日的股災(zāi)會吞噬你的股票組合，這時購買一份看跌期權(quán)也許是合理的。顯然，期權(quán)的執(zhí)行價格越低，組合保險的成本越小，不過也許我們需要一個確切的評估，市場上可能根本就沒有對應(yīng)的期權(quán)，要準確估算成本十分困難，此時布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式就十分有用。比如也許10的損失是可以接受的，那么執(zhí)行價格就可以設(shè)為9000萬，然后再將利率、波動率和保值期限的數(shù)據(jù)代進公式，就可以合理估算保值成本。（二）給可轉(zhuǎn)換債券定價可轉(zhuǎn)換債券是一種可由債券持有者轉(zhuǎn)換成股票的債券，因此可轉(zhuǎn)換債券相當于一份普通的公司債券和一份看漲期權(quán)的組合。即其中表示可轉(zhuǎn)換債券的價值，代表從可轉(zhuǎn)換債券中剝離出來的債券的價值，代表從可轉(zhuǎn)換債券中剝離出來的期權(quán)的價值。在實際中的估計是十分復(fù)雜的，因為對利率非常敏感，而布萊克_舒爾斯期權(quán)定價公式假定無風(fēng)險利率不變，對顯然不適用。其次，從可轉(zhuǎn)換債券中隱含的期權(quán)的執(zhí)行與否會因為股票股利和債券利息的問題復(fù)雜化。第三，許多可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換比例會隨時間變化。還有就是絕大多數(shù)可轉(zhuǎn)換債券是可贖回的。可贖回債券的分解更加復(fù)雜。對債券持有者而言，它相當于一份普通的公司債券、一份看漲期權(quán)多頭（轉(zhuǎn)換權(quán)）和一份看漲期權(quán)空頭（贖回權(quán)）的組合。可贖回的可轉(zhuǎn)換債券對股票價格變動很敏感，而且對利率也非常敏感。當利率下降的時候，公司可能會選擇贖回債券。當然，利率上升的時候債券價值也會上升。（三）為認股權(quán)證估值認股權(quán)證通常是與債券或優(yōu)先股一起發(fā)行的，它的持有人擁有在特定時間以特定價格認購一定數(shù)量的普通股，因此認股權(quán)證其實是一份看漲期權(quán)，不過兩者之間還是存在細微的差別，看漲期權(quán)執(zhí)行的時候，發(fā)行股票的公司并不會受到影響，而認股權(quán)證的執(zhí)行將導(dǎo)致公司發(fā)行更多的股票，因此，認股權(quán)證的執(zhí)行存在稀釋效應(yīng)，在估值的時候必須考慮這一點。小結(jié)1. 效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。2. 證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為S2的伊藤過程來表示：3. 若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：4. 證券價格對數(shù)呈正態(tài)分布:5. 為了給期權(quán)定價，我們假設(shè)期權(quán)標的資產(chǎn)遵循幾何布朗運動，據(jù)此可以推導(dǎo)出著名的布萊克舒爾斯微分方程：6. 在對衍生證券定價時，我們可以假設(shè)所有投資者都是風(fēng)險中性的，這就是風(fēng)險中性定價原理。它可大大簡化衍生證券的定價，然而得出的結(jié)論也適用于厭惡風(fēng)險情況。7. 布萊克舒爾斯定價公式可用于看跌期權(quán)和美式看漲期權(quán)定價。對美式看跌期權(quán)定價只能用二叉樹、蒙特卡羅模擬、有限差分以及解析近似方法求出。 習(xí)題：1假設(shè)某不付紅利股票價格遵循幾何布朗運動，其預(yù)期年收益率16%，年波動率30%，該股票當天收盤價為50元，求：第二天收盤時的預(yù)期價格，第二天收盤時股價的標準差，在量信度為95%情況下，該股票第二天收盤時的價格范圍。2.變量X1和X2遵循普通布朗運動，漂移率分別為m1和m2，方差率分別為s12和s22。請問在下列兩種情況下，X1+X2分別遵循什么樣的過程？（1）在任何短時間間隔中X1和X2的變動都不相關(guān)；（2）在任何短時間間隔中X1和X2變動的相關(guān)系數(shù)為r。3假設(shè)某種不支付紅利股票的市價為50元，風(fēng)險利率為10%，該股票的年波動率為30%，求該股票協(xié)議價格為50元、期限3個月的歐式看跌期權(quán)價格。4請證明布萊克舒爾斯看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價公式符合看漲期權(quán)和看跌期權(quán)平價公式。5某股票市價為70元，年波動率為32%，該股票預(yù)計3個月和6個月后將分別支付1元股息，市場無風(fēng)險利率為10%。現(xiàn)考慮該股票的美式看漲期權(quán)，其協(xié)議價格為65元，有效期8個月。請證明在上述兩個除息日提前執(zhí)行該期權(quán)都不是最優(yōu)的，并請計算該期權(quán)價格。6某股票目前價格為40元，假設(shè)該股票1個月后的價格要么為42元、要么38元。連續(xù)復(fù)利無風(fēng)險年利率為8%。請問1個月期的協(xié)議價格等于39元歐式看漲期權(quán)價格等于多少？習(xí)題答案：1、 由于在本題中，S50，m0.16,s=0.30,Dt=1/365=0.00274.因此，DS/50f(0.160.00274,0.30.002740.5)=f(0.0004,0.0157)DSf(0.022,0.785)因此，第二天預(yù)期股價為50.022元，標準差為0.785元，在95的置信水平上第2